Что называют пружинным маятником математическим маятником

Пружинный маятник

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

, где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Пружинный маятник» в других словарях:

Маятник — У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения). Колебания маятника: стрелками показаны векторы скорости (v) и ускорения (a) … Википедия

Маятник — устройство, которое, колеблясь, упорядочивает движение механизма часов. Пружинный маятник. Регулирующая деталь часов, состоящая из маятника и его пружины. До изобретения маятниковой пружины, часы приводились в движение одним маятником.… … Словарь часов

МАЯТНИК — (1) математический (или простой) (рис. 6) тело небольших размеров, свободно подвешенное к неподвижной точке на нерастяжимой нити (или стержне), масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, совершающего гармонические (см.)… … Большая политехническая энциклопедия

МАЯТНИК — твёрдое тело, совершающее под действием прилож. сил колебания ок. неподвижной точки или оси. Математическим М. наз. материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая под действием силы… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Часы с пружинным маятником — пружинный маятник регулирующая часть часов, также используется в часах средних и маленьких размеров (переносные часы, настольные, и т.д.) … Словарь часов

Период колебаний — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей … Википедия

Колебания — движения (изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости. При К. маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения. При К. пружинного маятника груза, висящего на пружине,… … Большая советская энциклопедия

Ширина распада — Ширина распада физическая величина, характеризующая нестабильную квантовомеханическую систему (распадающийся атомный уровень, радиоактивное ядро и т. п.). Имеет размерность энергии, обозначается греческой буквой Γ. Временная… … Википедия

Маятниковая пружина — маленькая спиральная пружина, прикрепленная концами к маятнику и его молоточку. Пружинный маятник регулирует часы, точность которых частично зависит от качества маятниковой пружины … Словарь часов

ГОСТ Р 52334-2005: Гравиразведка. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 52334 2005: Гравиразведка. Термины и определения оригинал документа: ( гравиметрическая ) съемка Гравиметрическая съемка, проводимая на суше. Определения термина из разных документов: ( гравиметрическая ) съемка 95… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Решение:

Ответ: 5 cек.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Математический и пружинный маятники

Урок 38. Подготовка к ЕГЭ по физике. Часть 1. Механика.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Математический и пружинный маятники»

В данной теме разговор пойдёт о математическом и пружинном маятниках и их важных характеристиках.

Рассмотрим для начала математический маятник. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу. Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь:

1) размерами подвешенного тела, по сравнению с длиной нити;

2) сопротивлением движению тела;

3) массой нити и ее деформацией.

Рассмотрим подробно колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса движется прямолинейно и равномерно или же покоится. И так, пусть в начальный момент времени маятник покоится в положении равновесия. Тогда, действующие на маятник сила упругости нити и сила тяжести материальной точки взаимно компенсируются.

Теперь отклоним маятник на некоторое расстояние от точки равновесия и отпустим его. В этом случае, сила тяжести и сила упругости нити уже не будут компенсировать друг друга. Разложим вектор силы тяжести на две составляющих — тангенциальную и нормальную.

Как видим, тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, то есть она является возвращающей силой. При этом она сообщает материальной точке тангенциальное ускорение и маятник начнет двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. А нормальная составляющая силы тяжести, как видно из рисунка, направлена вдоль нити против силы упругости. Их равнодействующая сообщает маятнику нормальное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости. В результате маятник начинает двигаться по дуге.

Чем ближе маятник будет подходить к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и тем больше становиться скорость движения маятника. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила становится равной нулю.

При этом скорость движения маятника достигает своего максимума и, не останавливаясь, маятник продолжает свое движение дальше уже по инерции, поднимаясь по дуге вверх. При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но так как возвращающая сила теперь направлена против движения маятника, то его скорость убывает и в точке D скорость маятника становится равной нулю.

Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Опять пройдя его по инерции, маятник, замедляя свое движение, дойдет до точки А, тем самым совершив одно полное колебание. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке B.

Его смещение от положения равновесия в этот момент равно длине дуги CB.

Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы (то есть тангенциальной составляющей силы тяжести), можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла отклонения маятника от вертикали.

Из геометрии известно, что по определению синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Также из геометрии известно, что при малых углах (то есть когда острый угол меньше десяти градусов) синус угла можно заменить его градусной мерой.

Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учетом последнего равенства.

Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Теперь применим второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории движения математического маятника.

Таким образом, имеются два уравнения, в которых равны их левые части. А раз равны левые, то и правые части этих равенств также должны быть равными. Сократив полученное равенство на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия.

Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника.

Теперь перепишем это уравнение следующим образом

А теперь сравним его с уравнением гармонических колебаний.

Из такой записи видно, что колебания математического маятника являются гармоническими. А так как рассмотренные колебания происходили только под действием внутренних сил, то это были свободные колебания. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что при малых углах отклонения свободные колебания математического маятника являются гармоническими.

Также из анализа формул следует, что циклическая частота колебаний маятника равна квадратному корню из отношения ускорения свободного падения к длине маятника.

Помня о том, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний математического маятника.

Полученная формула называется формулой Гюйгенса, так впервые была получена нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом.

Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно использовать для расчета периода при выполнении одновременно двух условий:

1) колебания маятника должны быть малыми, так как эта формула дает результаты приемлемой точности (ошибка менее одного процента) при углах, не превышающих 4º;

2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, в которой находится маятник.

Дело в том, что если точка подвеса математического маятника движется с некоторым ускорением, то изменяется сила натяжения нити. Это приводит к изменению возвращающей силы, а, следовательно, частоты и периода колебаний. В этом случае в формуле периода математического маятника ускорение свободного падения следует заменить на так называемое «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета.

«Эффективное» ускорение можно найти, как векторную сумму ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору ускорения, с которым движется маятник.

Теперь рассмотрим колебания пружинного маятника. Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и материальной точки массой m.

В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают:

1) любыми силами сопротивления;

2) размерами тела, то есть тело принимают за материальную точку;

Различают два вида пружинных маятников — горизонтальный и вертикальный.

В горизонтальном пружинном маятнике, колебания тела происходят вдоль горизонтальной прямой.

У вертикального пружинного маятника колебания происходят вдоль вертикальной прямой.

Рассмотрим более подробно колебания идеального горизонтального пружинного маятника. Пусть в начальный момент времени пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия.

Теперь выведем тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, и отпустим его. И так, со стороны деформированной пружины на тело начнет действовать сила упругости, которая всегда будет направленна к положению равновесия, и под действием этой силы тело начнет ускоренно двигаться. При этом в самом крайнем положении на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение пружины наибольшее. Значит и ускорение тела в этом положении максимальное.

При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины начинает уменьшаться, а, следовательно, уменьшается и ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия, как и в случае с математическим маятником, она будет максимальна.

Достигнув положения равновесия, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована), а будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D тело на мгновение остановится, так как его скорость окажется равной нулю. Но ускорение в этой точке максимально, так как максимальна действующая сила упругости и под действием этой силы тело начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия.

Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки A, то есть совершит одно полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

Получим уравнение, описывающее движение пружинного маятника. И так, согласно второму закону Ньютона, единственный результат действия силы упругости — это сообщение телу ускорения.

По закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна смещению тела и противоположно ему направлена.

Перепишем второй закон Ньютона с учетом определения силы упругости пружины.

Как видно из уравнения, ускорение маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему по направлению.

Перепишем уравнение следующим образом

Полученное равенство является динамическим уравнением движения пружинного маятника.

Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной

Учитывая, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний пружинного маятника.

По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника.

Рассмотрели математический и пружинный маятники. Рассмотрели условия возникновения свободных гармонических колебаний в таких системах. А также вспомнили формулы, по которым можно рассчитать период свободных колебаний математического и пружинного маятников.

Источник