Что называют показателем искажения
Черчение. 10 класс
§ 17. Основные положения аксонометрического проецирования
Основные положения аксонометрического проецирования
Проецирование предмета на плоскости проекций дает нам представление о форме самого предмета только с одной стороны. Чтобы получить представление о форме предмета в целом, нужно проанализировать и сравнить между собой отдельные его проекции. Предмет можно спроецировать на плоскость проекций таким образом, чтобы на созданном изображении было видно сразу несколько его сторон. Полученное таким образом изображение называется наглядным. Его используют для реализации технического замысла автора при выполнении проектирования и конструирования разных объектов (рис. 53).
Для получения наглядного изображения предмета используют аксонометрическую проекцию (рис. 54).
Аксонометрическая проекция — это изображение, полученное при параллельном проецировании предмета вместе с осями прямоугольных координат на произвольную плоскость.
Слово аксонометрия — греческое. В переводе оно означает «измерение по осям» (аксон — ось, метрео — измеряю).
Проецируемый предмет располагают относительно координатных осей х, у, z и вместе с ними проецируют его на произвольную плоскость. Эта плоскость называется плоскостью аксонометрических проекций. Проекции координатных осей называются аксонометрическими осями (см. рис. 54).
Виды аксонометрических проекций.
Аксонометрическое изображение предмета получается прямоугольным (а) и косоугольным (б) проецированием.
Проецирующие лучи в прямоугольной аксонометрической проекции перпендикулярны плоскости проекции. К прямоугольным аксонометрическим проекциям относятся изометрическая и диметрическая проекции.
Проецирующие лучи в косоугольной аксонометрической проекции направлены под углом к плоскости проекций. К косоугольным аксонометрическим проекциям относятся фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая и фронтальная диметрическая проекции.
Какой вид аксонометрической проекции (прямоугольную или косоугольную) вы будете использовать для наглядного изображения объекта? Свой выбор объясните.
Коэффициент искажения. Все виды аксонометрических проекций характеризуются двумя параметрами: направлением аксонометрических осей и коэффициентами искажения по этим осям.
Коэффициент искажения (k) — отношение аксонометрической единицы измерения к натуральной.
В зависимости от расположения координатных аксонометрических осей относительно аксонометрических проекций получаются различные аксонометрические проекции: прямоугольная изометрическая проекция (сокращенно — изометрия), прямоугольная диметрическая проекция (или диметрия), косоугольные фронтальная и горизонтальная изометрия и фронтальная диметрия.
Например, в прямоугольной изометрической проекции оксонометрические оси располагаются по отношению друг к другу под углом 120°.
Коэффициенты искажения различны в изометрических и диметрических аксонометрических проекциях. В изометрической проекции коэффициент (k) равен единице, т. е. по осям х, y, z выполняют проекцию без искажения. Диметрическая проекция выполняется с коэффициентом искажения (k) по оси y, равным 0,5, а по осям z и х — равным единице.
Объясните, в чем отличие изометрической проекции от диметрической.
Наиболее распространенными являются прямоугольная изометрическая (прямоугольная изометрия) и косоугольная фронтальная диметрическая (фронтальная диметрия) проекции, в которых объект изображается в трех проекциях так, чтобы можно было хорошо увидеть его форму с трех сторон.
Способы построения аксонометрических осей. При построении аксонометрических осей прямоугольной изометрии используют один из трех способов.
Правила построения аксонометрических проекций
1. Длина откладывается по оси х, высота — по оси z, ширина — по оси у.
2. Все измерения выполняются только по аксонометрическим осям или прямым, параллельным им.
3. Все прямые линии, параллельные друг другу или осям x, y, z, на комплексном чертеже в аксонометрических проекциях остаются параллельными между собой и соответствующим аксонометрическим осям
В начале 80-х гг. XX в. в компьютерных играх стала активно применяться изометрическая проекция. Это быстрая и эффективная симуляция трехмерного пространства, которая дает иллюзию глубины без большого количества дорогостоящих вычислений. Раньше большинство игр имели вид сверху или вид сбоку. Первыми играми, которые использовали изометрию, были Zaxxon и Qbert. Сейчас, несмотря на развитие 3D-технологий, игры с изометрическим видом все еще очень популярны, особенно ролевые и стратегии.
Аксонометрия
Сообщение об ошибке
СОДЕРЖАНИЕ
Аксонометрия
Аксонометрия (от греч. axcon – ось и metreo – измеряю) дает наглядное изображение предмета на одной плоскости.
Изображение предмета в аксонометрии получается путем параллельного проецирования его на одну плоскость проекций вместе с осями прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесен.
Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии определяют отношением аксонометрических координатных отрезков к их натуральной величине при одинаковых единицах измерения.
Натуральные коэффициенты искажения обозначают:
В зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрии:
Изометрия – все три коэффициента искажения равны между собой: u=v=w.
Диметрия – два коэффициента искажения равны между собой и отличаются от третьего u=v≠w; v=w≠u; u=w≠v.
Триметрия – все три коэффициента искажения не равны между собой: u≠v≠w.
В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции разделяют на прямоугольные (направление проецирования перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций) и косоугольные (направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций).
Прямоугольные проекции
Изометрия
Положение аксонометрических осей приведено на рис.1.
 Рис.1. Оси изометрии |
Коэффициент искажения по осям x, y, z равен 0,82.
Изометрию для упрощения, как правило, выполняют без искажения по осям x, y, z, т. е. приняв коэффициент искажения равным 1.
Построенное таким образом изображение будет больше самого предмета в 1,22 раза, т.е. масштаб изображения будет М 1,22:1.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.2). Если изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,22, а малая ось – 0,71 диаметра окружности. Если изометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось – 0,58 диаметра окружности.
Пример изометрической проекции детали приведен на рис.3.
 Рис.3. Деталь в изометрии |
Диметрия
Положение аксонометрических осей приведено на рис.4.
 Рис.4. Оси диметрии |
Коэффициент искажения по оси y равен 0,47, а по осям x и z – 0,94.
Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям x и z и с коэффициентом искажения 0,5 по оси y.
Аксонометрический масштаб будет М 1,06:1.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.5). Если диметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,95, эллипсов 2 и 3 – 0,35 диаметра окружности. Если диметрическую проекцию выполняют с искажением по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 – 0,9, эллипсов 2 и 3 – 0,33 диаметра окружности.
Пример диметрической проекции детали приведен на рис.6.
 Рис.6. Деталь в диметрии |
Косоугольные проекции
Изометрия фронтальная
Положение аксонометрических осей приведено на рис.7.
 Рис.7. Оси фронтальной изометрии |
Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.
Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.8). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,3, а малая ось – 0,54 диаметра окружности.
Пример фронтальной изометрической проекции детали приведен на рис.9.
 Рис.9. Деталь в фронтальной изометрии |
Изометрия горизонтальная
Положение аксонометрических осей приведено на рис.10.
 Рис.10. Оси горизонтальной изометрии |
Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45 и 60°, сохраняя угол между осями x и y 90°.
Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y и z.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций – в эллипсы (рис.11). Большая ось эллипса 1 равна 1,37, а малая ось – 0,37 диаметра окружности. Большая ось эллипса 3 равна 1,22, а малая ось – 0,71 диаметра окружности.
Пример горизонтальной изометрической проекции приведен на рис.12.
 Рис.12. Деталь в горизонтальной изометрии |
Диметрия фронтальная
Положение аксонометрических осей приведено на рис.13.
 Рис.13. Оси фронтальной диметрии |
Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.
Коэффициент искажения по оси y равен 0,5, а по осям x и z – 1.
Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.14). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07, а малая ось – 0,33 диаметра окружности.
Пример фронтальной диметрической проекции детали приведен на рис.15.
ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
В общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не равна длине их проекций. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П’ характеризуется коэффициентами искажения.
Коэффициентом искажения называется отношение длины проекции отрезка оси к его натуральной длине.
Приняты коэффициенты искажения по осям:
· По осиX:U =О’Х’/ОХ=О’А’х/ОАх=Х’АХА;
· По оси Y: V=O’Y’/OY=A’xA’/AxA=Y’A/YA
· По оси Х: W=O’Z’/OZ=A’1A/A1A=Z’AZA.
В зависимости от соотношения коэффициентов искажения по осям различают три вида аксонометрических проекций:
3) триметрические – коэффициенты искажения по всем осям различны-
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
В зависимости от направления проецирования S по отношению к плоскости проекций П’ аксонометрические проекции подразделяются на:
· ортогональные (когда проецирующие лучи направлены перпендикулярно к П’);
· косоугольные (когда проецирующие лучи направлены к П’ под углом отличным от 90˚).
Для построения аксонометрической проекции точки А необходимо построить координатную ломаную линию. Аксонометрические координаты точки будут равны: X’A=U´XA; Y’A=V´YA; Z’=W´ZA.
Основное предложение аксонометрии
При построении параллельной аксонометрической проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П’ и направление проецирования.
Любому изменению взаимного положения осей координат и плоскости проекций (или изменению направления проецирования) будет соответствовать как изменение положения аксонометрических осей, так и коэффициентов искажения по этим осям.
Между коэффициентами искажения и углом проецирования существует следующая зависимость:
U²+V²+W²=2+ctg j (теорема Польке)
где: j — угол между направлением проецирования и плоскостью проекций.
При j = 90° (ортогональная аксонометрическая проекция):
Свойства ортогональной аксонометрической проекции
Наибольшее применение в практике получили прямоугольные аксонометрические проекции, которые обладают большей наглядностью и упрощениями, которые в них достигаются. Свойств этих три. Нам сейчас важно запомнить одно:
коэффициенты искажения в ортогональной аксонометрии равны косинусам углов наклона натуральных осей к плоскости проекций
Все три коэффициента искажения ограничены поэтому крайними значениями 0 и 1.
СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
ГОСТ 2.317-69 предусматривает три частных вида аксонометрических проекций.
18.1 Прямоугольная изометрия
Аксонометрические оси в пря- моугольной изометрии образуют между собой углы 120°. Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям (рисунок 6-2) U=V=W.
Отсюда Cosa=Cosb=Cosg и a=b=g.
Это означает, что натуральные координатные оси одинаково наклонены к плоскости проекций, тогда: U²=V²=W² откуда 3U²=2 и U»0,82.
На практике пользуются приведенной прямоугольной изометрией,в которой показатели искажения приводятся к единице, т.е.U=V=W=1. Коэффициент приведения m=U/u=1,0/0,82=1,22,. Аксонометрическое изображение будет увеличено в 1.22 раза относительно оригинала.
МА=1,22:1. При U=V=W=0.82 м.о.э.=0,58d, Б.О.Э.=d.
При U=V=W=1,0 м.о.э.=0,71d, Б.О.Э.=1,22d.
Прямоугольная диметрия
Эта проекция представлена на рисунке 6-3. Здесь U=W; V¹W, V=U/2.
Тогда U²+U²/4+U²=2 откуда U=W=0.94, V=0.47.
При приведении коэффициентов к единице (округлении):
U=W=1.0, V=0.5 получим аксонометрическое изображение увеличенным в m=1/0.94=1.06 раза. МА=1.06:1.
ПриU=W=1 и V=0.5 м.о.э. = 0.35d; Б.О.Э. = 1.06d для координатных плоскостей ХОУ и YOZ, а для координатной плоскости ХOZ: м.о.э. = 0.95d, Б.О.Э. = 1.06d.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Показатели искажения
Отношение длины проекции отрезка к длине самого отрезка называется показателем искажения К отрезка (Рис.1.6), величина которого определяется из следующего соотношения:
При косоугольном проецировании длина проекции может быть равна, больше или меньше длины самого отрезка. Показатель искажения может быть равен, больше или меньше единицы, т.е. 0 ≤ К ≤ ¥ (Рис.1.8).
Если отрезок BD параллелен плоскости проекций Р – он проецируется без искажения К=1. Если отрезок EF параллелен направлению проецирования S, он проецируется в точку К=0. Если величина угла между направлениями проецирования и плоскостью проекций близка к нулю, то длина проекции отрезка приближается к бесконечности К » ¥.
При прямоугольном проецировании длина проекции отрезка может быть равна или меньше длины самого отрезка. Показатель искажения может быть равен или меньше единицы 0 ≤ К ≤ 1 (Рис.1.9).
Из рассмотренных ранее рисунков (Рис.1.1 – Рис.1.9) видно, что при заданном направлении проецирования и плоскости проекций данная точка или система точек имеют единственную проекцию. Задав
Рис. 1.8. Коэффициент искажения Рис. 1.9. Коэффициент искаже-
Показатели искажений
Анализируя искаженность карты, можно не только установить наличие или отсутствие картографического искажения того или иного вида, но и измерить величины этих искажений. Такую задачу решают, вычислив показатели искажений.
Искажение длин, к примеру, тем более, чем сильнее частный масштаб в данном месте карты по данному направлению отличается от главного масштаба. Поэтому за показатель искажения длин принимают отношение этих масштабов. Сам показатель обозначают греческой буквой µ:
= 
Из формулы видно, что показатель искажения длин выражается отвлеченным числом, целым и дробным. Он может быть больше или меньше единицы; при равенстве частного и главного масштабов показатель равен 1.
Для вычисления показателя µ требуется узнать величину частного масштаба в данном месте карты; главный масштаб обычно на ней подписан. Вычисление проще проводить вдоль линии картографической сетки, при этом масштаб узнают из сравнения измеренной на карте длины отрезка меридианы или параллели с их длиной на поверхности земного эллипсоида (взятой из таблиц).
К примеру, длина отрезка среднего меридиана физической карты восточного полушария в атласе для 5-го класса (986 г.) на участке между параллелями 60 0 и 70 0 с. ш. равна 10,4 мм. Истинная длина этого отрезка меридианы равна (с округлением) 1115 км (111,5 км ×10). Соответственно, частный масштаб равен 10,4 м: 1115 км = 1: 107 200 000. Главный масштаб карты 1: 90 000 000, следовательно, µ = 1: 107 200 000: 1: 90 000 000 = 0,84.
Значение вычисленного показателя искажения длин меньше 1 свидетельствует о сжатии данного участка меридиана сравнительно с неискаженными его частями. На «растянутых» участках карты показатель был бы больше 1.
Показатель искажения длин µ имеет особые обозначения, если он направлен по меридиану (m), по параллели (n). Самый большой показатель искажения длин у данной точки обозначают латинской буквой а, а наименьший – буквой b. Сами же взаимно перпендикулярные направления, по которым действуют наибольший и наименьший показатели искажения длин, называют главными направлениями.
За показатель искажения улов между линиями картографической сетки принимают величину отклонения их от 90 0 и обозначают греческой буквой ε (эпсилон).
на рисунке 1 обозначено, что угол Θ равен 115°, следовательно, ε = 25°.
В точке, где угол пересечения меридианы и параллели остается на карте прямым, углы между другими направлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направления.
За общий показатель искажения углов ω (омега) принимают наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (или шара). При известных показателях a и b величину ω узнают по формуле:
= 
Показатель искажения площадей (p) вычисляют как произведение наибольшего и наименьшего показателей искажения длин в данном месте карты: р = a · b.
главные направления в данной точке карты могут совпадать с линиями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. тогда показатели a и b по известным m и n вычисляют по формулам:
,
.
Входящий в уравнения показатель искажения p узнают в этом в этом случае по произведению: 
.
Показатель искажения форм (k) зависит от различия наибольшего (a) и наименьшего (b) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:
.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет