Что называют периметром многоугольника
Как найти периметр фигуры
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Определение периметра
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.
В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.
Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.
Формулы нахождения периметра
Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.
Равносторонний многоугольник
У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.
P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.
P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.
Окружность
У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.
L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!
Решение задач
Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?
Ответ: две другие стороны равны по 17 см.
Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.
Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
ВОПРОСЫ
1. Какая фигура ограничивает многоугольник?
Многоугольник ограничивает замкнутая ломаная.
2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться?
Звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться не могут.
3. Какие элементы многоугольника вы знаете?
Элементы многоугольника: стороны, углы, вершины.
4. Как называют и обозначают многоугольник?
5. Что называют периметром многоугольника?
Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.
6. Какие многоугольники называют равными?
Два многоугольника называют равными, если они совпадают при наложении.
7. Какие фигуры называют равными?
Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Сумму чисел 24 и 18 уменьшите на 33.
2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.
3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19.
4. Частное чисел 189 и 9 уменьшите в 7 раз.
5. Укажите среди данных отрезков равные, если: АВ = 5 см 3 мм, CD = 4 м 5 см, PK = 45 см, EF = 2 дм 8 мм, TQ = 53 мм, MN = 208 мм.
УПРАЖНЕНИЕ
321. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 109.
322. Начертите: 1) четырёхугольник; 2) пятиугольник; 3) шестиугольник; 4) семиугольник.
323. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6 см, 7 см.
325. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 110.
326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.
328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.
330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого 130, построить угол, градусная мера которого равна 20?
331. Как построить угол, градусная мера которого 10, используя шаблон угла, градусная мера которого равна: а) 190; б) 70?
332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
333. Сравните:
334. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика 2 класс. Урок №15.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое периметр прямоугольника?
— Как найти периметр прямоугольника?
Периметр – это сумма длин сторон многоугольника.
Многоугольник – это геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена замкнутой ломаной линией.
Основная и дополнительная литература по теме урока
1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/–8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с. 42, 43.
2. Глаголева Ю. И., Волкова А. Д.Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, Уч. лит, 2017, с.17.
3. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 2 кл.: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Нам уже знакомо понятие «ломаная линия». Знаем, что ломаная линия может быть незамкнутой и замкнутой.
Замкнутая ломаная линия называется по-другому многоугольник. Многоугольники могут быть разными, их названия во многом зависят от количества углов многоугольника.
У каждого многоугольника свое число сторон. Каждая сторона имеет свою длину. Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром.
Кратко слово «периметр» записывается буквой «пэ» – Р.
Научимся находить периметр многоугольника двумя способами.
С помощью линейки измерим длину каждой стороны и найдем сумму длин
Периметр четырехугольника равен четырнадцати сантиметрам.
С помощью циркуля на прямой отложим один за другим отрезки равные по длине сторонам четырехугольника.
Далее с помощи линейки узнаем длину получившегося отрезка 14 см.
В этом случае длину каждой стороны узнавать не пришлось. Периметр четырехугольника равен четырнадцати сантиметрам.
Найдём периметр треугольника первым способом.
С помощью линейки измерим длину каждой стороны и найдем сумму длин.
Р = 5см + 5см + 3см = 13см
Вывод: Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром.
Длины сторон четырёхугольника равны 3см, 5 см, 6 см, 4 см. Чему равен периметр этой фигуры?
2.Соедините многоугольники, которые имеют одинаковый периметр
Мерзляк 5 класс — § 13. Многоугольники. Равные фигуры
Вопросы к параграфу
1. Какая фигура ограничивает многоугольник? — Замкнутая ломаная, звенья которой не пересекаются.
2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться? — Нет, не могут.
3. Какие элементы многоугольника вы знаете? — Вершина, сторона, углы многоугольника.
4. Как называют и обозначают многоугольник? — Многоугольники называют и обозначают по его вершинам. Чтобы записать название многоугольника, надо последовательно записать все его вершины.
5. Что называют периметром многоугольника? — Периметр многоугольника — это сумма длин все его сторон.
6. Какие многоугольники называют равными? — Многоугольники называют равными, если они совпадают при наложении.
7. Какие фигуры называют равными? — Фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.
Решаем устно
1. Сумму чисел 24 и 18 уменьшите на 33.
(24 + 18) — 33 = 42 — 33 = 9
2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.
3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19.
(12 • 5) + 19 = 60 + 19 = 79
4. Частное чисел 189 и 9 уменьшите в 7 раз.
(189 : 9) : 7 = 21 : 7 = 3
5. Укажите среди данных отрезков равные, если:
Ответ: АВ = TQ и EF = MN.
Упражнения
321. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 109.
323. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6 см, 7 см.
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.
2 см + 4 см + 5 см 5 мм + 6 см + 7 см = 24 см 5 мм — периметр данного пятиугольника.
324. Вычислите периметр шестиугольника, три стороны которого равны по 8 см, а три другие — по 10 см.
Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.
8 • 3 + 10 • 3 = 24 + 30 = 54 (см) — периметр данного шестиугольника.
325. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 110.
326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.
327. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.
1) 8 • 3 = 24 (см) — длина второй стороны четырёхугольника.
2) 24 — 7 = 17 (см) — длина третьей стороны четырёхугольника.
3) 17 — 9 = 8 (см) — длина четвёртой стороны четырёхугольника.
4) 8 + 24 + 17 + 8 = 57 (см) — периметр четырёхугольника.
328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.
1) 4 + 2 = 6 (см) — длина второй стороны пятиугольника.
2) 6 + 2 = 8 (см) — длина третьей стороны пятиугольника.
3) 8 + 2 = 10 (см) — длина четвёртой стороны пятиугольника.
4) 10 + 2 = 12 (см) — длина пятой стороны пятиугольника.
5) 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40 (см) — периметр пятиугольника.
329. 1) Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: а) пятиугольника; б) девятиугольника; в) и-угольника, где п > 3?
а) Из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали.
б) Из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей.
в) Из одной вершины n-угольника можно провести (n-3) диагоналей, так как:
2) Сколько всего диагоналей можно провести: а) в пятиугольнике; б) в девятиугольнике; в) в и-угольнике, где п > 3?
а) Мы знаем, что из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали (n-3), Значит из 5 вершин можно провести 5 • 2 = 10 диагоналей (n • (n-3)). Но если провести все 10 диагоналей, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в пятиугольнике можно провести 10 : 2 = 5 диагоналей ((n •(n-3) : 2). Рисунок подтверждает наш вывод.
б) Мы знаем, что из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей (n-3 = 9 — 3 = 6), Значит из 9 вершин можно провести 9 • 6 = 54 диагонали (n • (n-3) = 9 • (9 — 3) = 9 • 6 = 54). Но если провести все 54 диагонали, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в девятиугольнике можно провести 54 : 2 = 27 диагоналей ((n • (n-3) : 2 = 9 • (9 — 3) : 2 = 9 • 6 : 2 = 54 : 2 = 27). Рисунок подтверждает наш вывод.
в) Исследуя предыдущие два задания мы вывели формулу, по которой можно посчитать количество возможных диагоналей в n-угольнике, при n > 3: n • (n-3) : 2. Это значит, у количество диагоналей:
Ответ: 5, 27, n • (n-3) : 2.
330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2°?
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2° надо:
331. Как построить угол, градусная мера которого 1°, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:
а) 19°
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 19°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:
Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 7°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:
332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?
Да, теоретически такой многоугольник существует. Для этого надо из квадрата со стороной 1 см вырезать множество полосок либо треугольников, либо ещё каких-нибудь фигур вдоль нескольких сторон исходного квадрата. Точное количество таких вырезанных фигур будет зависеть от длины вырезаемых из квадрата сторон фигуры, а также от длины оставшихся от исходного квадрата сторон.
В реальности такую операцию способны выполнить только суперточные приборы, например лазерный принтер. Кроме того, необходимо провести очень точный расчёт вырезаемых фигур.
Упражнения для повторения
333. Сравните:
1) 3 986 г и 4 кг: 4 кг = 4000 г ⇒ 3 986 г
2) 6 м и 712 см: 6 м = 600 см ⇒ 600 см
3) 60 см и 602 мм: 60 см = 600 мм ⇒ 600 мм
4) 999 кг и 10 ц: 10 ц = 1000 кг ⇒ 999 кг
334. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:
1) (636 + 927) + 364 = (636 + 364) + 927 = 1 000 + 927 = 1 927
2) (425 + 798) + 675 = (425 + 675) + 798 = 1 100 + 798 = 1 898
3) 212 + 493 + 788 + 807 = (212 + 788) + (493 + 807) = 1 000 + 1 300 = 2 300
4) 161 + 455 + 839 + 945 = (161 + 839) + (455 + 945) = 1 000 + 1 400 = 2 400
335. Известно, что ∠ABC = 74°, а луч BD — его биссектриса. Вычислите величину угла DBC.
Мы знаем, что биссектриса угла всегда делит угол пополам. Значит:
∠DBC = ∠ABC : 2 = 74° : 2 = 37°
336. Высота самой высокой горы Западной Европы Монблан равна 4 809 м. Она на 2 151 м ниже самой высокой горы Южной Америки Аконкагуа, которая на 770 м выше самой высокой горы Северной Америки Денали. Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали? Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест) (рис. 112), если она на 2 953 м выше горы Килиманджаро?
1) 4 809 + 2 151 = 6 960 (м) — высота горы Аконкагуа.
2) 6 960 — 770 = 6 190 (м) — высота горы Денали.
3) 6 190 — 295 = 5 895 (м) — высота горы Килиманджаро.
4) 5 895 + 2 953 = 8 848 (м) — высота горы Джомолунгма.
Ответ: 8 848 метров.
Задача от мудрой совы
337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?
Так как купили больше двух, но меньше семи лимонов, то количество купленных лимонов может быть либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.
Масса каждого лимона — целое число, причём все лимоны одинаковые. Проверим, на какое из возможных чисел (3, 4, 5 или 6) общая масса покупки 850 г делится без остатка. Для этого применим метод подбора.
Под заданные условия подходит только число 5.