Что называют пересечением двух множеств
Пересечение, объединение и разность множеств
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:
Объединение множеств
Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:
Универсум и отрицание
Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.
В литературе универсум обозначают U.
На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:
При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.
Свойства операций пересечения и объединения
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом
$A \cap \varnothing = \varnothing$
$A \cup \varnothing = A$
Разность множеств
Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:
На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:
Формулы включений и исключений
Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.
Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:
$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$
Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.
Примеры
Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:
Математика часто оперирует абстрактными объектами, для задания связи между которыми существуют различные операции, такие как пересечение и объединение множеств. Понятие множества является интуитивным, не определяемым. Оно обычно ассоциируется с набором чего-либо, группой каких-то предметов или живых объектов, совокупностью некоторых условий, рассматривается как класс, семейство в некоторой классификации, промежуток числовой прямой. Например, в геометрии рассматриваются линии как множества точек.
То, из чего состоит множество, называется его элементами.
Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.
Что такое пересечение множеств
Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.
С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:
Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.
Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.
Что такое объединение множеств
Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:
Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.
В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».
Свойства пересечения и объединения множеств
Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:
1. Коммутативность (перестановочность):
Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.
2. Ассоциативность (расстановка скобок):
Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.
3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
4. Закон идемпотентности (идентичности):
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø
Выполнение операций с Ø:
Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.
Операции над множествами
Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:
Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:
Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:
Благодаря этой операции свойства объединения и пересечения можно расширить/
Примеры решения задач
Задача №1
Выписать все элементы множества
При поиске M операции выполняются последовательно.
B \ A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:
B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:
M = (B \ A) \ (B ∪ A) состоит из всех элементов B \ A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø.
Задача №2
Доказать методом включений тождество:
Необходимо доказать выполнение включений:
Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.
Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.
Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:
Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.
Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.
Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть
Из пунктов 1 и 2 вытекает, что
Лекция 3. Пересечение множеств.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Лекция 3. Пересечение множеств. Свойства пересечения множеств.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = < х | х ∈ А и х ∈ В>.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением данных множеств является заштрихованнаяобласть:
Для пересечения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А.
2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).
3) А ∩ ∅ = ∅ (пустое множество является поглощающим элементом).
4) А ∩ U = А (универсальное множество является нейтральным элементом).
5) Если В ⊂ А, то А∩В = В
Задания для самостоятельной работы по теме:
1. Найдите пересечение множеств А и В, если:
2. Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1718378
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Россияне чаще американцев читают детям страшные и печальные книжки
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Пересечение и объединение множеств — свойства, операции и примеры решения
Математика часто оперирует абстрактными объектами, для задания связи между которыми существуют различные операции, такие как пересечение и объединение множеств.
Понятие множества является интуитивным, не определяемым. Оно обычно ассоциируется с набором чего-либо, группой каких-то предметов или живых объектов, совокупностью некоторых условий, рассматривается как класс, семейство в некоторой классификации, промежуток числовой прямой. Например, в геометрии рассматриваются линии как множества точек.
То, из чего состоит множество, называется его элементами.
Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.
Что такое пересечение множеств
Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.
С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:
Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.
Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.
Что такое объединение множеств
Для любого набора множеств, их объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных.
Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:
Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.
В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».
Свойства пересечения и объединения множеств
Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:
1. Коммутативность (перестановочность):
Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.
2. Ассоциативность (расстановка скобок):
Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.
3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
4. Закон идемпотентности (идентичности):
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø
Выполнение операций с Ø:
Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.
Операции над множествами
Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:
Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:
Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:
Благодаря этой операции свойства объединения и пересечения можно расширить/
Примеры решения задач
Задача №1
Выписать все элементы множества
При поиске M операции выполняются последовательно.
B A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:
B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:
M = (B A) (B ∪ A) состоит из всех элементов B A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø.
Задача №2
Доказать методом включений тождество:
Необходимо доказать выполнение включений:
Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.
Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.
Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:
Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.
Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.
Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть
Из пунктов 1 и 2 вытекает, что
Пересечение и объединение множеств
Вы будете перенаправлены на Автор24
В результате математических операций над множествами из исходных множеств получается новое множество, причем этот результат однозначен. Примерами таких операций являются пересечение и объединение множеств. Эти операции производятся по определенным правилам, о которых пойдет речь ниже.
Объединение двух множеств представляет собой совокупность таких элементов, что каждый из них является элементом одного из исходных множеств. Пересечение же множеств состоит из всех элементов, общих для исходных множеств.
Обозначения множеств. Знаки объединения и пересечения множеств
В такой форме объединение записывается как
Для графического выражения операций пересечения и объединения применяются знаки пересечения и объединения множеств:
Готовые работы на аналогичную тему
Правила нахождения пересечений и объединений
Правила для нахождения пересечений и объединений множеств заключаются в следующем:
Для нахождения пересечения нескольких конечных множеств, нужно перебрать числа первого из них и выяснить, принадлежит ли текущий элемент каждому из рассматриваемых множеств. Если это условие не соблюдается, он не принадлежит пересечению. В качестве проверочного (элементы которого перебираются) следует выбирать множество с наименьшим числом элементов.
$A \cap B \cap C \cap D = \<1, 2\>$.
Исследование множеств с помощью координатной прямой
С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.
Для решения применим графический метод:
Рисунок 1. Графическое решение задачи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Ответ:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021