Что называют областью определения выражения
Область определения функции
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие области определения функции
Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.
Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.
Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).
Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.
Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.
Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.
Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].
Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:
Все положительные числа можно описать так:
Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.
Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.
Область определения функции с корнем
Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.
Рассмотрим две вариации такой функции.
Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:
Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).
Пример
Найти область определения функции: 
Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положительный. Ищем корни:
Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.
Перечислим возможные случаи:
Рассмотрим несколько примеров.
Область определения показательной функции
Область определения показательной функции — это множество R.
Примеры показательных функций:
Область определения каждой из них (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.
Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:
Рассмотрим примеры логарифмических функций:
Область определения этих функций есть множество (0, +∞).
Пример
Укажите, какова область определения функции: 
Составим и решим систему:
Область определения тригонометрических функций
Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что 
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.
Пример
Найдите область определения функции f(x) = tg2x.
Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:
Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:
В результате 
. Отразим графически:
Ответ: область определения: 
.
Область определения обратных тригонометрических функций
Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.
Таблица областей определения функций
Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.
И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.
Функция
Область определения функции
Как определить область определения выражения
Ответ
Область определения выражения — это множество значений, при которых данное выражение имеет смысл. Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное выражение.
Искать область определения лучше всего методом исключения — отбрасывая все значения, при которых выражение теряет математический смысл.
1) Если в выражении есть знаменатель с переменной, то знаменатель не равен 0.
2) Логарифмическое выражение. Основание логарифма определено при a>0 за исключением a=1. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля.
3) Иррациональные выражения четной степени. Подкоренное выражение должно быть ≥0.
Также бывают более сложные и комбинированные выражения. При нахождении области определения всего выражения необходимо учесть все моменты, которые могут привести к ограничению этой области.
Что значит найти область определения
После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.
Ограничение области определения
Правила нахождения области определения
При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:
Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.
Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .
Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:
Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 .
Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что
Область определения сложной функции
Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид
x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Тогда получим систему неравенств вида
Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.
Преобразуем систему вида
Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.
Область определения дроби
x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0
Область определения логарифма с переменной в основании
x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1
А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1
Область определения показательно-степенной функции
В общем случае
Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.
Таблицы основных результатов
Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф
=0″ title=”x^2+2x-3>=0″/>
0″ title=”x-2<>0″/>
2″ title=”x<>2″/>
, значит, один из корней уравнения 1, а второй 
.
=0″ title=”(x-1)(x+3)>=0″/>
(
]
[
)
)
0″ title=”x^2-3x-40>0″/>
)
)
