Что называют объединением множеств а и в как обозначается объединение
Пересечение, объединение и разность множеств
Пересечение множеств
Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:
Объединение множеств
Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:
Универсум и отрицание
Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.
В литературе универсум обозначают U.
На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:
При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.
При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.
При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.
Свойства операций пересечения и объединения
$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$
Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом
$A \cap \varnothing = \varnothing$
$A \cup \varnothing = A$
Разность множеств
Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:
На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:
Формулы включений и исключений
Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.
Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:
$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$
Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.
Примеры
Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:
Лекция 4. Объединение множеств.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Лекция 4. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.
Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).
Для объединения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.
2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).
3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).
4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).
5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В
Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:
(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).
П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.
Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.
П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?
Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.
Задания для самостоятельной работы по теме:
1.Найдите объединение множеств А и В, если:
Объединение множеств
Что такое объединение и пересечение множеств А и Б
Множество — это совокупность объединенных по какому-либо признаку объектов любой природы.
Оно может состоять из чисел, букв, прямых, точек, слов и т.д. Эти объекты, которые совокупно образуют данное множество, являются его элементами или точками.
Для обозначения множеств применяют заглавные буквы латинского алфавита. А их элементы обозначают строчными буквами. Например, запись \( x\in K\) означает, что х является элементом множества \(К.\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Множество называется подмножеством, когда оно возникает не как самостоятельный объект, а когда оно является частью другого множества, и все его элементы также являются элементами другого множества. Записывается как \(А\;\subset\;Б.\)
Если множества А и Б содержат одинаковые элементы, то они равны:
Если множество не содержит в себе ни одного элемента, то оно называется пустым и является подмножеством любого множества. Оно обозначается символом \(Ø.\)
Если пустое множество пересекается с другим, то их общее множество будет так же пустым:
Если множества равны, то всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.
Основные операции с множествами подразделяются на:
Понятие и свойства объединения множеств
Множество С называют объединением (или суммой) множеств А и Б, если его элементы принадлежат хотя бы одному из указанных множеств. То есть в множестве С содержатся элементы как А, так и Б, и любое множество, которое будет обладать этим свойством, будет содержать С.
Объединение С множеств А и Б обозначается таким образом:
Пусть имеется два множества:
Тогда их объединением будет служить множество С = <2; 3; 4; 6; 8; 9>.
Свойства объединений:
Некоторые свойства операции объединений напоминают по своему принципу привычную операцию «сложения» чисел. При этом некоторые свойства объединения, которые соответствуют определенным операциям сложения чисел, будут иметь свои особенности.
Свойства объединения, которые справедливы для любых множеств A, Б и C:
A U Б = Б U A; A U (Б U C) = (A U Б) U C.
\(А\subset А\cup Б\;и\;Б\subset А\cup Б.\)
Кроме того, из включения \(А\subset Б\) следует включение:
\(А\cup С\subset Б\cup С.\)
В частности, любому множеству A соответствует равенство:
Это равенство означает идемпотентность объединения, то есть повторное осуществление операции по отношению к объекту будет давать тот же результат, что и в первый раз.
Если у множеств А и Б есть общие элементы, то каждый из этих элементов не повторяется в объединении, и входят в него один раз.
Понятие и свойства пересечения множеств
Пересечением множеств А и Б является множество С, включающее в себя элементы, принадлежащие одновременно и А, и Б, то есть элементов, общих для этих множеств.
Пресечение множеств обозначают символом \(∩\) :
Пусть имеется два множества:
A = <2; 3; 6; 8>и Б = <4; 6; 8; 9>; тогда их пересечением будет являться C = <6; 8>.
Свойства пересечений:
Некоторые свойства операции пересечений напоминают по своему принципу привычную операцию «умножения» чисел. При этом некоторые свойства пересечения, которые соответствуют определенным операциям умножения чисел, будут иметь свои особенности.
Свойства пересечения, которые справедливы для любых множеств A, B и C:
A ∩ Б = Б ∩ A; A ∩ (Б ∩ C) = (A ∩ Б) ∩ C.
\(А\cap Б\subset А\;и\;А\cap Б\subset Б.\)
Если у множеств А и Б нет общих элементов, то их пересечением является пустое множество, иначе говорят, что они не пересекаются.
Кроме того, из включения \(А\subset Б\) следует включение:
\(А\cap С\subset Б\cap С.\)
В частности, для любого множества A имеет место равенство \( А\cap\varnothing=\varnothing.\)
Также верно равенство \(А\cap А=А.\)
Здесь, как и в объединении, встречается свойство идемпотентности пересечения. Поэтому здесь не говорят о возведении множества в степени в том привычном смысле, какое применимо к степени числа. Этим операция пересечения отличается от операции умножения чисел, что легко доказывается на различных множествах.
\(C=\underset<\alpha\in I>\cup A_\alpha=\underset\alpha\cup A_\alpha;\)
в случае пересечения:
Правила нахождения пересечений и объединений, формулы
Конечное множестве А обладает мощностью, представляющей собой число элементов. Его обозначают как \(|А|\) или #А.
Если известны мощности каждого множества и их пересечений, то по следующей формуле можно найти мощность объединения:
\(\left|А\cup Б\right|=\left|А\right|+\left|Б\right|-\left|А\cap Б\right|;\)
\(\left|А\cup Б\cup С\right|=\left|А\right|+\left|Б\right|+\left|С\right|-\left|А\cap Б\right|-\left|А\cap С\right|-\left|Б\cap С\right|+\left|А\cap Б\cap С\right|.\)
Вообще \(\left|А_1\cup. \cup А_n\right|\) равно
Она называется формулой включений и исключений.
В частности, произведение характеристических функций соответствует пересечению множеств:
Если Х является характеристической функцией исходного множества, то дополнению (до К) соответствует функция 1 — Х.
Запишем в виде суммы значений характеристической функции число элементов множества:
Объединение \(A_1\cup. \cup A_n\) представим в виде дополнения к пересечению дополнений множеств \(A_i.\)
Опираясь на термины характеристических функций, получим:
Раскроем скобки в правой части:
Получим формулу включений и исключений, просуммировав правую и левую части по всем элементам К. которые являются функциями на К.
Исследование множеств с помощью координатной прямой
Координатная прямая — прямая линия, содержащая начало отсчета, единичный отрезок и направление.
Для любого натурального числа на координатной прямой можно выбрать соответствующую только ему единственную точку. Каждому числу на данной прямой можно подобрать противоположное число, которое расположено симметрично относительно начала отсчета и отличается от другого только знаком.
Также каждому действительному (рациональному или иррациональному) на координатной прямой соответствует единственная точка и, наоборот, для каждой ее точки есть единственное действительное число. Это называется взаимно однозначным соответствием. С учетом этого соответствия,множество R действительных чисел и множество точек координатной прямой часто объединяют общим термином — «числовая прямая».
Ось Оу образована множеством точек х = 0, поэтому ось Оу является графиком уравнения х — 0.
Ось Ох образована множеством точек у = 0, поэтому ось Ох является графиком уравнения у — 0.
Множество точек у = х образует прямую, которая проходит через начало координат и делит I и III квадранты пополам.
В математике есть важное понятие упорядоченной пары (х, у), которое представлено либо элементами одного и того же множества, либо элементами разных множеств Х и У.
Свойством упорядоченных пар является то, что две упорядоченные пары ( \(x_1, y_1)\) и \( (x_2)\) и \((y_2)\) будут называться равными, когда \( x_1=x_2\ и\ y_1=y_2.\)
Первой компонентой (координатой) пары (х, у) является элемент х, второй компонентой (координатой) той же пары — элемент у.
Понятие упорядоченной пары поваляет ввести дополнительную операцию над множествами — прямое или декартово умножение, имеющее вид:
Для определения упорядоченного набора n+1 элементов применяется метод математической индукции:
Отсюда выводится произведение множеств:
\(X_1\times X_2\times. X_
Чтобы установить между точками координатной прямой соответствие и между множеством натуральных чисел, на прямой выбирают произвольную точку 0, а затем с помощью единичного отрезка отмечают на ней точки, которым соответствуют натуральные числа.
Соответственно, чем правее число расположено на координатной прямой, тем оно больше.
Отсюда следует:
Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
Взаимоотношения и операции между множествами можно наглядно проиллюстрировать, применяя диаграммы Эйлера-Венна. Множества в этих диаграммах чаще всего изображаются в виде кругов и их внутренностями, а в виде прямоугольника изображено универсальное множество U.
В диаграммах Эйлера-Венна имеет значение взаимное расположение, а не их относительный размер.
Изображение пересечения
Изображение объединения
Рисунок демонстрирует, что если A подмножество множества B, т.е.
\(A\subset B,\;то\;A\cup B=B, \)
то раз включать элементы множества А в объединение не требуется, поскольку его элементы принадлежат и множеству B.
Основные законы операций объединения и пересечения множеств
Закон коммутативности
\(A\cup B=B\cup A,\;A\cap B=B\cap A.\)
Коммутативный закон показывает, что изменение порядка множеств в указанных операциях не влияет на их итог. Действительно, множества \(A\cup B\;и\;B\cup A\;\) состоят из элементов, которые относятся хотя бы к одному из множеств A или B, и не содержат никаких других элементов. А множества \(A\cap B\;и\;B\cap A\) включают в себя все элементы, относящиеся к каждому из множеств A и B.
Закон ассоциативности
\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\;A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C.\)
Ассоциативность указанных операций позволяет опускать фиксацию посредством скобок порядка проведения операций. Действительно, множества \(A\cup(B\cup C)\;и\;(A\cup B)\cup C\) состоят из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A, B и C и не содержат никаких других элементов, а множества \(A\cap(B\cap C)\;и\;(A\cap B)\cap C\) состоят только из общих элементов множеств A, B и C. Заметим, что по закону ассоциативности конечный результат не зависит от порядка действий. Но промежуточные результаты — зависят.
Закон дистрибутивности
\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\;A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).\)
В числовом случае дистрибутивность умножения относительно сложения позволяет осуществлять вынос общего множителя за скобку и проводить раскрытие скобок. В случае множеств это так же справедливо, при этом соотношений такого рода больше.
Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств
Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.
Простейшие случаи
Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.
Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.
Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.
Из указанных определений логически следуют следующие правила:
— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;
— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.
Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.
Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.
Решение
Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.
Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:
Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).
Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.
Решение
В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: 
и 
и 
Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:
-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );
— точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );
— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).
Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:
Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:
Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.
Решение
Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:
Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.
Необходимо определить пересечение исходных множеств.
Решение
Геометрически изобразим числовые множества А и В :
Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:
В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.
Решение
Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:
Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.
Решение
Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.
Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.
Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.
На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.