Что называют независимой переменной или аргументом
Функция. Зависимые и независимые переменные. Область определения и область значений функции.
теория по математике 📈 функции
Определение понятия функции. Переменные.
Зависимость переменной у от переменной х, при которой любому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией.
Ключевое слово, которое нужно запомнить в определении функции – это зависимость.
Например, человек идет на деловую встречу, но чувствует, что он опаздывает. Он ускоряет свой шаг, потому что от его скорости зависит время. Чем быстрее он двигается, тем меньше времени уйдет у него на дорогу. То есть время зависит от скорости.
Или, например, спортсмен метает ядро на дальнее расстояние. Чем сильнее будет бросок, тем дальше полетит ядро. Скорость полета зависит от силы толчка. Здесь опять прослеживается зависимость.
Например, функция задана формулой у = – 3х 2 – 7. Равносильная ей запись такая: f(x)= – 3х 2 – 7.
Области определения и значения функции
Все возможные значения независимой переменной (х) называют областью определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) называют областью значений функции.
Если какая-либо функция у=f(x) задана формулой, а при этом ее область определения не указана, то считается, что она состоит из любых значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
Области определения и значений школьных функций
1. Для линейной функции областью определения будет являться любое число.
Если у такой функции k≠0, то областью ее значений также будет являться любое число.
При k=0 область значений этой функции состоит из единственного числа b.
Например, функция задана формулой у = 7. Тогда ее область значения — это число 7, а область определения – любое число.
2. Гипербола задается формулой вида y = k/x.
Область определения такой функции – любое число, кроме нуля.
Область значений такой функции – аналогичная.
3. Функция, заданная формулой y= |x|, имеет область определения – любое число.
4. У функций у = х 2 и у = х 3 область определения – любое число.
Для того чтобы понимать, как находится область определения функции и рассмотреть примеры заданий на нахождение области определения функции, вспомним правила, при которых существуют ограничения и выражение не имеет смысл: нельзя делить на нуль; нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.
Пример 3. Рассмотрим, как находится область определения функций, которые заданы следующими формулами:
В знаменателе этого выражения содержится переменная х, поэтому надо проверить, при каком значении он может быть равным нулю и исключить это значение из области определения, так как на знаменатель делят, а на нуль делить нельзя.
Итак, имеем знаменатель х + 11. Приравниваем его к нулю, получаем х + 11 = 0. Решаем простое уравнение на нахождение неизвестного слагаемого и получаем х= – 11. Это число исключаем из области определения функции.
Ответ: (1) и (2) – множество всех чисел; (3) – любое число, кроме (-11) или х ≠ – 11; (4) х ≥0.
Что такое функции
Допустим, у нас есть автомобиль. Он может проехать 10 км на одном литре бензина. Значит, если мы хотим посчитать количество километров, которые проедет автомобиль с имеющимся у нас количеством бензина, мы можем составить уравнение:
Если у нас литр бензина, то мы проедем 10 километров, если 5 литров, то 50 км и т.д.
Значит, s всегда будет зависеть от v. Чтобы показать эту зависимость, обычно записывают так:
Мы подставляем в функцию переменную «v» и получаем результат:
Каждая функция должна:
1. Иметь правило, по которому из аргумента получается значение функции.
У нас в примере было простое правило: мы перемножали аргумент на 10 и получали значение функции.
2. Иметь область определения (по сути, ограничения), при которой функция работает. Например, количество бензина в баке не может быть отрицательным и не может превышать объем бака, так как бензин будет выливаться.
Можно строить функции по времени, расстоянию, и любым другим параметрам внешнего мира. С помощью функций можно расписать многие процессы. Так обычно и поступают, когда математически моделируют реальность, например, в играх.
Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание
Добавить интересную новость
Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников
При правильном ответе Вы получите 2 балла
Какая переменная в функции является неопределенной?
Выберите всего один правильный ответ.
Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям
Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.
28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.
28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5
Что называют независимой переменной или аргументом
Основные понятия.
Функция (или Функциональная зависимость) – это зависимость переменной y от переменной x. Это такая зависимость, при которой каждому значению переменной x соответствует только одно значение переменной y.
Переменную x называют независимой переменной или аргументом.
Переменную y называют зависимой переменной или функцией от переменной x.
Значение независимой переменной называют абсциссой (горизонтальная плоскость графика).
Соответствующее значение зависимой переменной называется ординатой (вертикальная плоскость графика).
Совокупность значений независимой переменной называется областью определения функции.
Совокупность значений зависимой переменной называют областью значений функции.
График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.
То есть в этой точке кривая имеет координаты (-2;0):
Этот аргумент и называется нулем рассматриваемой функции.
Если кривая на оси координат возрастает, то это означает, что с увеличением значения аргумента увеличивается и значение функции. Такая функция называется возрастающей.
Если кривая убывает, то это означает, что с увеличением значения аргумента значение функции убывает. Такая функция называется убывающей.
Виды функций.
Существует несколько основных видов функций:
Графики функций.
Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.
Графиком прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат.
k
Графиком обратной пропорциональности y = — является гипербола.
x
Графиком квадратичной функции y = x 2 является парабола.
Если х = 0, то у = 0.
Если х ≠ 0, то у > 0.
Подробнее о приведенных и других функциях – в следующих разделах.
Урок алгебры для 7 класса «В гостях у функции»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Выбранный для просмотра документ в гостях у функции.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Урок алгебры в 7 классе тема урока «В гостях у функции» Автор: учитель математики МКОУ Невельская ООШ, Тайшетского района, Иркутской области Сокольникова Галина Александровна (высшая квалификационная категория)
Цель урока: Изучить определение понятий зависимая и независимая переменная, функция, график функции. Развивать умения определять зависимую и независимую переменную. Формировать умения работать с графиками функций для решения заданий из реальной математики.
Пример 1. С мороза в комнату внесли банку пустую, поместили в неё термометр, и стали наблюдать за изменением температуры в банке: температура воздуха стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени. Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура воздуха? б) За какое время температура воздуха повысилась до комнатной °С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.
Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2. Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S. Так, если a = 3, то S = 9; если a = 15, то S = 225; Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой S = a2
Зависимость площади квадрата от длины стороны
Определите где спрятались аргумент и его функция Как попашешь, так и ложкой помашешь. Пол года плохая погода. Чем дальше в лес, тем больше дров. Что посеешь, то и пожнёшь. Кабы не было зимы в городах и сёлах, никогда б не знали мы этих дней весёлых.
Координатная плоскость график зависимости количества купленных конфет (у) от потраченных денег (х) Х- аргумент (ось абцисса) У- функция (ось ордината) у х
Вопрос №15 из реальной математики
Взаимопроверка – проверь соседа № вопроса 6 8 11 13 16 17 18 19 15 28 30 23 20 ответ 45 8 3 3 3 8 12 45 18 17 18 24 150 21 22 24 25 26 27 29 5 9 10 12 14 3 8 45 150 3 12 3 150 17 18 24 17
Функцию можно представить как некий аппарат, в который закладывается значение независимой переменной (X), а получают значение зависимой переменной (Y) Аппарат, работающий как функция Значение аргумента X Значение функции У
Выбранный для просмотра документ урок в гостях у функции.doc
Автор- Сокольникова Галина Александровна учитель математики, МКОУ Невельская ООШ, Тайшетского района, Иркутской области.
УРОК алгебры в 7 классе
ТЕМА «В ГОСТЯХ У ФУНКЦИИ».
Цель: Изучить определение понятий зависимая и независимая переменная, функция, график функции. Развивать умения определять зависимую и независимую переменную. Формировать умения работать с графиками функций для решения заданий из реальной математики.
Урок – изучение нового материала.
Оборудование : презентация, карточки с вопросом №15 из реальной математики, реквизит для сценок, дополнительное задание для 9 класса.
– Эмоциональное введение в урок.
Сегодня вы пришли ко мне в гости, надеюсь, что мы подружимся, я вам понравлюсь, вы, очень много интересного узнаете обо мне.
2. Мотивационный этап – Цель: возбуждение интереса к изучаемому понятию.
Создание ситуации затруднения, свидетельствующее о недостатке знаний.
Учитель – рассказываем учащимся о приготовленном эксперименте.
Пример 1. С мороза в комнату внесли банку пустую, поместили в неё термометр, и стали наблюдать за изменением температуры в банке: температура воздуха стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.
Работа по презентации (слайд 2)
Ответьте на вопросы:
а) Какова исходная температура воздуха в банке?
б) За какое время температура воздуха повысилась до комнатной?
в) Какая температура в комнате?
г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.
На вопрос под буквой г) ответить затрудняемся, поэтому оставим его на некоторое время.
3. 1.Этап введения понятия в содержание обучения
Способ введения конкретно индуктивный – от примера к определению.
“ На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, пройденное расстояние зависит от скорости автомобиля, цена на билеты зависит от длинны маршрута, площадь квадрата зависит от длины его стороны.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Пример 2. (слайд 3) Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S 
Для каждого значения переменной a, можно найти соответствующее значение переменной S.
Так, если a = 3, то S = 9; если a = 15, то S = 225;
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = 
Пример 3 (слайд 6). На рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток. (слайд )
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия).
Пример 4. (лайд7 ) Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице буквой n обозначен номер зоны, а буквой m соответствующая стоимость проезда в рублях:
В этом случае n является независимой переменной, а m – зависимой переменной.
“ В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Определение Зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.(слайд 8)
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента.
Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.
Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”
3.2. Этап формирования ведущего действия – действие распознавание.
Цель: Определить принадлежит ли объект к объёму понятия независимой и зависимой переменной в примерах.
— Я – функция, показываю зависимость между двумя величинами.
— давайте поиграем и определим зависимую и независимую величину или, как говорят в математике, зависимую и независимую переменную.
Сценка 1. Две подружки пришли в магазин:
(девятиклассники показывают домашние заготовки)
— я куплю конфет на 20 рублей, а я на 40 рублей.
А теперь сами попробуйте:
Пример 2. Все учащиеся читают текст (спец заготовка), а функция стоит с секундомером, далее, считают число слов, прочитанных за минуту.
Пример 3. – девочка одета в летнем сарафане, ей жарко, а мальчик одет в зимнюю одежду и ему холодно!
Гости аргумент и функция проводят игру « Отыщите в примерах где мы спрятались» (слайд 10)
Как попашешь, так и ложкой помашешь.
Пол года плохая погода.
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Что посеешь, то и пожнёшь.
Кабы не было зимы в городах и сёлах, никогда б не знали мы этих дней весёлых.
3.3. Этап формирования других действий, связанных с понятием – наглядное представление функции имеет её график. (слайд 11)
—Ф –ция: а сейчас продолжаем знакомство.
Итак, функция, то есть я, зависит от аргумента и эта зависимость имеет наглядное представление – график функции.
График строится на координатной плоскости
-аргумент – ось, на которой отмечается аргумент – называется абцисса,
—ф-ция – ось на которой отмечается функция – называется ордината.
-Учитель: Зависимость между величинами выражается формулой. В начале урока учащиеся 9 класса получили несколько формул, то есть функций, давайте посмотрим, какие получились у ребят графики этих функций. Учащиеся встают и по очереди представляют результаты своей работы. (графики, как они называются).
4. этап – Обучение применению понятия: установление внутри математических и межпредметных связей, а также практическому применению понятия.
— Сегодня к нам на урок пришёл ещё один гость – это вопрос №15 из реальной математики, одного из разделов государственной итоговой аттестации по математики – работа по графикам функций, хода температуры, скорости химической реакции, атмосферного давления, угла наклона и другие примеры из физики, химии, географии.
Вопрос №15: Ребята, сегодня вы уже многое узнали и я думаю, что вы все легко меня решите. Я, сейчас, всем раздам один из моих вариантов, а вы постарайтесь решить их. Отвечать начнут учащиеся 9 класса, у них ГИА не за горами, а их поддержат семиклассники. Говорить нужно № варианта, коротко задание и ответ. Чур, я первый.( работа с вариантами задания №15). (слайд12)
Взаимопроверка задания №15 (сравнить с результатами в презентации).
Продолжаем работу в учебнике № 258,259,260,261,262 (слайд 13) – найти значение функции, зная значение аргумента и наоборот, зная значение функции, найти значение аргумента, работа с графиками функций.
— Функцию можно представить как некий аппарат, в который закладывается значение независимой переменной ( X ), а получают значение зависимой переменной ( Y ), работа с учебником №258-262.
Вывод (рефлексия учащихся): ответить на вопросы : (слайд 14)
Я потренировался ___________
Д/З №263-264 учить определения.
Лященко, Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др. ; под. ред. Е. И. Лященко. — М. : Просвещение, 1988.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Учебник Алгебра для 7 класса; под ред.С.А. Теляковского. – М.: Просвещение 2011.
Число, переменная, функция
Вы будете перенаправлены на Автор24
Множество помогает понять, что такое «число».
Не все понятия в математике вводятся с помощью определений. Некоторые из них считаются основными, первичными и поэтому относятся к неопределяемым. Смысл таких понятий можно только объяснить с помощью примеров и описанием свойств. Общеизвестным из них является «точка». К таким же понятиям относится «множество».
Начальное представление о множестве можно получить, если рассмотреть совокупность произвольных объектов. Объекты в составе совокупности могут быть либо абстрактными (слова, числа, экзаменационные оценки), либо реальными (дома в городе, домашние вещи, товары в магазине, учащиеся в группе).
Первое отличие множества от совокупности. Объекты множества обязательно должны отличаться между собой. В то же время от объектов совокупности этого не требуется. Можно утверждать, что любое множество представляет собой совокупность, но не всякая совокупность может считаться множеством. Например, совокупность оценок, полученных группой студентов во время экзамена, состоит из многих «пятёрок», «четвёрок», «троек» и «двоек». Но ко множеству оценок принадлежат только четыре названных.
Второе отличие множества от совокупности. Объекты множества отличаются не только между собой, но и от объектов, которые в состав множества не входят. Например, все экзаменационные оценки, независимо от того, какими группами студентов они получены, принадлежат одному и тому же множеству. В то же время, оценки, полученные в разных группах, относятся к разным совокупностям.
Готовые работы на аналогичную тему
Существуют следующие варианты сравнения множеств:
Число
В математике используют множества, элементами которых являются числа. К стандартным числовым множествам относятся:
Основное свойство рациональных чисел состоит в том, что их всегда можно представить в виде десятичных дробей (конечных или бесконечных периодических).
Математически доказано, что рациональные числа не обеспечивают потребностей измерения величин. Например, диагональ квадрата со сторонами, равными единице, не может быть выражена рациональним числом. Именно поэтому были введены иррациональные числа.
Иррациональные числа записывают в виде бесконечных, но непериодических десятичных дробей.
Переменная
Общеизвестно, что при изучении явлений природы и при решении технических задач постоянно возникает необходимость рассматривать изменения числовых значених тех или иных величин. Более того, в математике могут изучаться изменения числовых значений неких абстрактных величин, не относящихся непосредственно к реальному миру.
В связи с этим возникла необходимость в использовании понятия «переменная величина».
В общем случае под переменной понимают каждый элемент некоторого числового множества. При этом некоторый фиксированный элемент этого множества называют значением переменной. Само же множество в этом случае называют областью значений переменной.
Чаще всего переменные обозначают буквами латинского или греческого алфавита.
Функция
В научных исследованиях, при решении практических задач всегда рассматривают изменения одних величин в зависимости от изменений других. Например, в электрической цепи величина тока меняется в зависимости от величины сопротивления, объем шара меняется в зависимости от его радиуса и т.д.
При этом в различных физических явлениях те или иные величины могут вести себя по-разному. Например, пр равномерном движении пройденное расстояние меняется в зависимости от времени, а скорость остается постоянной. А вот при равноускоренном движении в зависимости от времени меняется не только расстояние, но и скорость.
Взаимосвязь изменяемых величин в математике описывают с помощью функций.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24 11 2021