Что называют наибольшим общим делителем

Как находить наибольший общий делитель (НОД) двух чисел

Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.

Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение, используемое в математике.

Общие понятия и определения

Необходимо знать:

В математике приняты следующие записи:

Различные способы найти НОД

Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.

Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.

Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.

Способ разложения на простые сомножители

Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел, достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.

Пример 1

Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:

НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел, возьмём для примера 54; 162; 42.

Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:

Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.

Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители, для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.

Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.

Евклидов способ

Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма, мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.

Приведём пример использования данного алгоритма:

попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:

Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.

Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений

Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более.

При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.

Заключение

Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.

Видео

С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.

Источник

Что называют наибольшим общим делителем

Общим делителем натуральных чисел а и b называется такое натуральное число, на которое делятся оба числа а и b.

Наибольшим общим делителем чисел а и b называется наибольшее натуральное число, на которое делятся оба числа а и b.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначается НОД (а, b).

Пример: Пусть даны числа 16 и 24. Выпишем делители числа 16: 1, 2, 4, 8, 16.

Выпишем делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Среди выписанных чисел есть одинаковые: 1, 2, 4, 8. Все эти числа называются общими делителями чисел 16 и 24. Наибольшее из них, число 8, называется наибольшим общим делителем чисел 16 и 24: НОД (16, 24) = 8.

Для любых заданных двух или более натуральных чисел можно найти наибольший общий делитель. Числа а и b называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Например, числа 14 и 35 взаимно простые.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел а и b, нужно:

Пример: Найти НОД (54, 90).

Решение. 54 = 2 · 3 3 ; 60 = 2 · 3 2 · 5.

Значит, НОД (54, 90) = 2 ·3 2 = 18.

Аналогично можно найти наибольший общий делитель трех и более чисел.

Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них. Например, НОД (12, 36) = 12.

Наибольший общий делитель двух различных простых чисел равен единице.

Источник

Справочник по математике на тему «Наибольший общий делитель»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ

Рассмотрим числа 12 и 54:

Заметим, что у 12 и 54 есть одинаковые делители: 1, 2, 3, 6.

Их называют общими делителями для чисел 12 и 54, то есть оба числа: и 12 и 54 делятся на 1, 2, 3, 6.

Наибольшим общим делителем натуральных чисел а и b называют наибольшее натуральное число, на которое делится нацело и a , и b .

общие делители для 45 и 60: 1, 3, 5, 15.

Наибольшим среди них будет 15, то есть: НОД(45, 60)=15

НОД(58,32) не может равняться 34, потому что 32

получаем НОД(18, 24)=2∙3=6

Замечание: Если одно из двух чисел нацело делится на другое, то их наибольший общий делитель равен меньшему из них.

Например: НОД(8, 72)=8, потому что 72 ⋮ 8

НОД(444, 111)=111, потому что 444 ⋮ 111

Взаимно простые числа – это числа, не имеющие общих простых делителей.

Например: 56 и 45 – взаимно простые числа, потому что

делители числа 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45

общий делитель – 1, то есть: общих простых делителей нет.

Утверждение: Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1. Если a и b – взаимно простые числа, то НОД( a , b )= 1

Например: НОД(7, 50)=1, НОД(11, 19)=1, НОД(40, 33)=1

Замечание 1: Любые два простых числа являются взаимно простыми и их НОД равно 1.

Например: НОД(13, 17)=1, НОД(37, 59)=1, НОД(5, 29)=1

Замечание 2: Любые два последовательных числа в ряду натуральных чисел всегда являются взаимно простыми и их НОД равно 1.

Например: НОД(10, 11)=1, НОД(40, 41)=1, НОД(204, 205)=1

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Может использоваться как помощь при выполнения заданий на уроке или дома.

Данная версия удобна для распечатки: ученик может вклеить или вставить данный лист в справочник.

Номер материала: ДБ-260080

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения намерено расширить программу ускоренного обучения рабочим профессиям

Время чтения: 2 минуты

Псковских школьников отправили на дистанционку до 10 декабря

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель чисел и обозначают так: НОД(; ), то есть мы можем записать НОД(36; 126) = 18.

Предварительно разложив числа на простые множители, мы упростим нахождение наибольшего общего делителя многозначных чисел.

240 = 2222 3 5 165 = 3 5 11.

Синим мы выделили все общие простые делители рассматриваемых чисел, это 3 и 5. Значит, оба данных числа делятся и на произведение данных чисел, то есть на 35 = 15, оно и будет являться наибольшим общим делителем чисел 240 и 165, то есть НОД(240; 165) = 35 = 15.

Найдем НОД(2520; 4620).

2 520 = 2 2 2 3 3 5 7 4 620 = 2 2 3 5 7 11.

Мы получили, что числа 2520 и 4620 делятся без остатка на каждое из чисел 4, 3, 5, 7, на их произведение 4357 рассматриваемые числа тоже делятся без остатка, то есть мы получили, что НОД(2520; 4620) = 4357 = 420.

Таким образом, можно найти НОД, разложив числа на простые множители и выписав те, что входят в разложение обоих чисел (или можно просто зачеркнуть те множители, которые есть только в разложении одного числа, например, в разложении числа 2520 нам надо вычеркнуть одну 2 и одну 3, а в разложении числа 4620 число 11).

Таким же образом можно найти НОД трех и более чисел.

Чтобы найти НОД нескольких натуральных чисел, надо:

Заметим, что если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является НОД данных чисел.

Нам известно, что разложение на простые множители, мы можем записать в виде произведения степеней, то есть в последнем примере мы можем записать, что:

2 520 = 2 3 3 2 5 1 7 1

Тогда НОД мы можем найти по следующему правилу:

Найдем НОД(2520; 4620):

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Наибольший общий делитель НОД.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

.

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм. Кроме того, значение НОД (m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m,n) и НОК(m,n) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель, можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители. Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа – результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 • 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Источник