Что называют моментом инерции материальной точки инерции относительно точки

Момент инерции материальной точки и твердого тела: формулы, теорема Штейнера, пример решения задачи

Количественное изучение динамики и кинематики вращательного движения предполагает знание момента инерции материальной точки и твердого тела относительно оси вращения. Рассмотрим в статье, о каком параметре идет речь, а также приведем формулу для его определения.

Общие сведения о физической величине

Сначала дадим определение момента инерции материальной точки и твердого тела, а затем покажем, как его следует использовать при решении практических задач.

Под указанной физической характеристикой для точки, имеющей массу m, которая вокруг оси вращается на расстоянии r, подразумевается следующая величина:

Вам будет интересно: Формулы момента силы для статики и динамики. Работа момента силы

Откуда следует, что единицей измерения изучаемого параметра являются килограммы на квадратный метр (кг*м²).

Если вместо точки вокруг оси вращается тело сложной формы, которое имеет произвольное распределение массы внутри себя, то его момент инерции определяется так:

I = ∫m(r² * dm) = ρ * ∫V(r² * dV).

Момент инерции имеет точно такой же смысл для вращения, как масса для поступательного движения. Например, каждый знает, что швабру для мытья полов легче всего вращать вокруг оси, проходящей через ее ручку, чем через перпендикулярную ей. Связано это с тем, что момент инерции в первом случае гораздо меньше, чем во втором.

Величина I для тел разной формы

При решении задач по физике на вращение часто необходимо знать момент инерции для тела конкретной геометрической формы, например, для цилиндра, шара или стержня. Если применить записанную выше формулу для I, то несложно получить соответствующее выражение для всех отмеченных тел. Ниже приведены формулы для некоторых из них:

стержень: I = 1 / 12 * M * L²;

цилиндр: I = 1 / 2 * M * R²;

сфера: I = 2 / 5 * M * R².

Здесь приведены I для оси вращения, которая проходит через центр массы тела. В случае цилиндра ось параллельна генератрисе фигуры. Момент инерции для других геометрических тел и вариантов расположения осей вращения можно найти в соответствующих таблицах. Заметим, что для определения I разных фигур достаточно знать всего один геометрический параметр и массу тела.

Теорема Штейнера и формула

Момент инерции можно определить, если ось вращения расположена на некотором расстоянии от тела. Для этого следует знать длину этого отрезка и величину IO тела относительно проходящей через центр его массы оси, которая должна быть параллельна рассматриваемой. Устанавливающая связь между параметром IO и неизвестным значением I закрепляется в теореме Штейнера. Момент инерции материальной точки и твердого тела математически записывается следующим образом:

Теорема Штейнера значительно облегчает определение I для многих практических ситуаций. Например, если необходимо найти I для стержня длиной L и массой M относительно оси, которая проходит через его конец, то применение теоремы Штейнера позволяет записать:

I = IO + M * (L / 2)2 = 1 / 12 * M * L2 + M * L2 / 4 = M * L2 / 3.

Можно обратится к соответствующей таблице и увидеть, что в ней приводится именно эта формула для тонкого стержня с осью вращения на его конце.

Уравнение моментов

В физике вращения существует формула, которая называется уравнением моментов. Выглядит она следующим образом:

Уравнение моментов по своему смыслу полностью соответствует второму закону Ньютона. При этом I играет роль инерционной массы.

Пример решения задачи

Вообразим себе систему, которая представляет собой цилиндр, закрепленный на вертикальной оси с помощью невесомого горизонтального стержня. Известно, что ось вращения и главная ось цилиндра параллельны друг другу, и расстояние между ними равно 30 см. Масса цилиндра составляет 1 кг, а его радиус равен 5 см. На фигуру действует касательная к траектории вращения сила в 10 Н, вектор которой проходит через главную ось цилиндра. Необходимо определить угловое ускорение фигуры, которое будет вызывать эта сила.

Для начала вычислим момент инерции I цилиндра. Для этого следует применить теорему Штейнера, имеем:

I = IO + M *d² = 1 / 2 * M * R² + M * d² = 1 / 2 * 1 * 0,05² + 1 * 0,3² = 0,09125 кг*м².

Прежде чем пользоваться уравнением моментов, необходимо определить момент силы M. В данном случае имеем:

M = F * d = 10 * 0,3 = 3 Н*м.

Теперь можно определить ускорение:

α = M/I = 3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с².

Рассчитанное угловое ускорение говорит о том, что каждую секунду скорость цилиндра будет увеличиваться на 5,2 оборота в секунду.

Источник

Момент инерции материальной точки и твердого тела

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до рассматриваемой оси:

. (8.1)

.

Переходя к бесконечно малым массам dm, получаем

. (8.2)

На основании формулы (8.2) можно рассчитать момент инерции любого тела.

В качестве примера получим формулу момента инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси (рис. 8.1).

Разобьем цилиндр на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси. Объем такого слоя

, (8.3)

где h – высота цилиндра.

Поскольку цилиндр однороден, то масса dm выделенного слоя

, (8.4)

Подставляя выражение (8.4) в формулу (8.2), получаем

. (8.5)

Так как — объем цилиндра, а — его масса, формулу (8.5) приводим к виду

. (8.6)

Эта формула применима для цилиндра любой высоты, в том числе и для диска.

Аналогично можно рассчитать моменты инерции и других однородных тел:

При нахождении момента инерции тел относительно оси, не проходящей через центр масс тела, вычисления по формуле (8.2) значительно усложняются. Однако в подобных случаях можно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

. (8.7)

Момент инерции твердого тела является мерой его инертности при вращательном движении.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Источник

Момент инерции материальной точки, системы материальных точек, твердого тела. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения.

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Моментом инерции системы материальных точек (или тела) относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса

— момент инерции твердого тела относительно оси.

Теорема Штейнера:

Момент инерции твёрдого тела вокруг произвольной оси равен моменту инерции тела вокруг оси, проходящей через центр массы данного тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр.

Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции и угловым ускорением β:

Работа постоянной и переменной силы. Элементарная работа внешних сил при вращении твердого тела.

Работа постоянной силы равняется скалярному произведению силы на перемещение.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Что такое момент инерции? В чем измеряется момент инерции? Пример задачи

Механика представляет собой один из основных разделов физики, в котором рассматриваются законы движения и равновесия тел. При количественном описании движения вращения важной величиной является момент инерции. В данной статье изучим эту величину. Кроме того, ответим на вопрос о том, в чем измеряется момент инерции твердого тела.

Понятие о моменте инерции для точки материальной

Как физическую величину, его определяют в виде произведения массы на квадрат радиуса вращения. Предположим, что существует некоторая материальная точка, которая имеет массу m. Она вращается вокруг оси, при этом радиус окружности равен r. При заданных условиях инерции, момент вычисляется в соответствии со следующей формулой:

Вам будет интересно: Посад — это что такое? Значение слова

Этой формулой можно пользоваться даже в случаях изучения тел со сложной формой. Главным условием справедливости равенства является наличие огромной разницы между расстоянием до оси вращения r и геометрическими размерами самого тела. Например, при расчете величины I для нашей планеты, которая вращается вокруг Солнца по круговой траектории, можно считать Землю материальной точкой, поскольку расстояние до звезды на несколько порядков превышает радиус планеты.

Величина I для тела произвольной формы

В случае, если геометрические размеры вращающегося тела незначительно отличаются от радиуса r, тогда следует принимать во внимание форму тела. С учетом названного фактора рассчитывают момент инерции с использованием следующей формулы:

По сути, это равенство является суммой моментов инерций всех материальных точек, которые образуют тело. При проведении практических вычислений, записанной формулой пользуются в несколько ином виде, который представлен ниже:

Как видно, интегрирование по массе m заменяется на интегрирование по объему V. Здесь греческой буквой ρ обозначена плотность. Если тело является однородным, то ρ будет постоянной величиной, которую можно вынести за знак интеграла. Если же масса неоднородно распределена по телу, то плотность будет функцией параметра r. Записанную формулу удобно использовать при определении I разных тел, потому что расчет выполняется с помощью мысленного деления тела на элементарные объемы dV.

Результаты применения записанного выше равенства для геометрических тел идеальной формы, например, для сферы, цилиндра или стержня, собраны в соответствующие таблицы. В чем измеряется момент инерции? Ниже на рисунке приводятся величины I для некоторых тел. Как видим, все формулы линейно зависят от массы тел и от квадрата геометрического параметра.

В чем измеряется момент инерции тела?

Получив необходимые теоретические сведения для величины I, каждый легко сможет ответить на поставленный вопрос. Действительно, если взглянуть на формулу для I материальной точки, то, отвечая на вопрос о том, в чем измеряется момент осевой инерции, следует ответить, что в килограммах на квадратный метр. Сокращенно эта единица записывается кг*м2. Очевидно, что ту же самую единицу мы получим, если воспользуемся интегральным выражением через объем и плотность.

Отметим, что кг*м2 также можно записать, как м2*кг. Такая форма записи тоже допускается, однако, в практической физике ее не используют.

Поскольку и килограмм, и метр являются системными единицами измерения массы и длины, соответственно, то кг*м2 является также единицей СИ для момента инерции.

Не следует изучаемую единицу путать с другой, которая обозначается, как кг/м2. Хотя ее используют редко, и она не является единицей СИ, тем не менее она позволяет рассчитать соответствующее давление, если ее умножить на ускорение свободного падения.

Пример задачи

Разобравшись, в чем измеряется момент инерции, и как его вычислять, решим следующую задачу: необходимо определить момент инерции Земли, полагая ее материальной точкой.

Для успешного решения этой задачи следует знать всего два параметра: массу планеты и средний радиус ее солнечной орбиты. Оба значения можно посмотреть в соответствующих справочниках. Масса M и радиус орбиты R Земли равны:

Воспользовавшись выражением для вычисления инерции момента точки материальной, приходим к следующему результату:

I = M*R2 = 5,972*1024*(149,6*109)2 = 1,34*1047 кг*м2.

Мы получили гигантское значение. Если сравнить его с моментом инерции Земли относительно ее собственной оси, то окажется, что он будет в миллиард раз меньше рассчитанной величины. Таким образом, приближение материальной точки вполне уместно для рассмотренной задачи.

Источник