Что называют масштабным отрезком
Что называют масштабным отрезком
Математически верное определение
Пусть каждому отрезку соответствует определённое положительное число, причём:
1) равным отрезкам соответствуют равные числа;
2) Если 
— точка отрезка 
, и отрезкам 
и 
соответствуют числа 
и 
, то отрезку 
соответствует число 
;
3) некоторому отрезку 
соответствует число 1.
Тогда число, указаннным образом соответствующее каждому отрезку, называется длиной этого отрезка, отрезок 
называется линейной единицей или единицей измерения длин.
Комментарий
При строгом построении теории измерения отрезков необходимо опираться на непрерывность прямой, описываемую, например, аксиомами Архимеда и Кантора, или эквивалентными поожениями.
Определения из учебников
Измеряя длину, опираются на два основных её свойства:
1. Длины равных отрезков равны.
2. при сложении отрезков их длины складываются.
[. ]
Длину отрезка называют также расстоянием между его концами.
[. ]
для измерения длины сначала надо выбрать единичный отрезок, например 1см, 1 м, [. ] (Вообще говоря, единичным отрезком можно взять любой отрезок.) После того, как выбран единичный отрезок, длина каждого отрезка выражается положительным числом. Это число называется численным значением длины. Оно показывает, сколько раз единичный отрезок и его доли укладываются в данном отрезке.
Приводится правило: «При замене единицы длины численное значение единицы длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица длины меньше (больше) старой».
Описан подробный процесс измерения отрезка.
Что можно сказать о длинах равных отрезков?
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.
Давайте определим длину некоторого отрезка АВ, приняв за единицу измерения сантиметр (рисунок 1). Видим, что в данном отрезке АВ сантиметр укладывается ровно четыре раза, а это означает, что его длина равна четыре сантиметра. Обычно говорят кратко: «Отрезок А В равен четыре сантиметра». А записывают так: АВ = 4 см.
Рисунок 1.
Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.
Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).
Рисунок 2.
Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.
Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.
Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.
Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины.
Рисунок 3.
Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
Рисунок 4.
Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:
Таким образом, сформулируем следующее.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рисунок 5.
Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.
Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.
Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.
В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).
При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.
Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).
Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Масштабный отрезок
Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [19]
С помощью точек числовой оси изображают действительные числа. Целые числа изображаются точками, которые получаются откладыванием масштабного отрезка нужное число раз вправо от начала О в случае положительного целого числа и влево в случае отрицательного. [20]
Приложим векторы а и b к общему началу О. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный отрезок и положительное направление. На рис. 2.9 изображен первый из указанных случаев. [22]
Для доказательства теоремы достаточно показать, что каждое из отношений (203.1) равно одному и тому же числу. Чтобы ввести в рассмотрение это число, отложим на одной из прямых, например на АВ, масштабный отрезок MN и проведем через его концы прямые того же направления, что и наши секущие параллельные прямые. Отношение MN / M N будет некоторым вполне определенным числом, так как величина его не зависит от того, в каком месте на АВ взят масштабный отрезок. [23]
Отсюда видно, что сложное отношение ЬАВ является искомой проективной формой, выражающей длину отрезка. Так как величина fAB зависит, кроме концов Л и В данного отрезка, еще от масштабной точки С и несобственной точки Du, то она остается инвариантной при таких коллинеациях, которые не меняют несобственной прямой и преобразуют масштабный отрезок в кон-груентный ему отрезок. Такими коллинеациями являются все движения. Поэтому можно сказать, что найденная длина отрезка ЬАВ остается инвариантной при всех движениях последнего. [26]
Будем считать далее, что масштабный отрезок системы координат на прямой используется для измерения длин любых отрезков на плоскости. Рассмотрим призвольную точку М плоскости. [27]
Его длина объявляется равной единице. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз ( может быть, и нуль раз. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [29]
Его длина объявляется равной единице. Откладываем единичный отрезок на АВ столько раз ( может быть, и нуль раз. На рис. 164 масштабный отрезок уложился в АВ ровно 6 раз. Поэтому длину АВ считаем равной 6 единицам длины ОЕ. В отрезке CD ( рис. 165) масштабный отрезок укладывается 3 раза, но не может быть уложен 4 раза. [30]
§ 4. Измерение отрезков
Длина отрезка
На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 27 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 27 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см.
Возможно, однако, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 27, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближённо равна 3,8 см.
Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со всё большей точностью. На практике, однако, пользуются приближёнными значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица измерения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.
На рисунке 28 изображён отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3см, СВ = 2,7 см, АВ = 5,7 см.
Таким образом, АС + СВ = АВ. Ясно, что и во всех других случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Если длина отрезка CD в k раз больше длины отрезка АВ, то пишут CD = kAB.
Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.
Единицы измерения. Измерительные инструменты
Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используют различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков выбран метр — отрезок, приближённо равный 1/40 000 000 части земного меридиана. Эталон метра в виде специального металлического бруска хранится в Международном бюро мер и весов во Франции. Копии эталона хранятся в других странах, в том числе и в России. Один метр содержит сто сантиметров. В одном сантиметре десять миллиметров.
При измерении небольших расстояний, например расстояния между точками, изображёнными на листе бумаги, за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Расстояние между отдельными предметами в комнате измеряют в метрах, расстояние между населёнными пунктами — в километрах. Используются и другие единицы измерения, например дециметр, морская миля (1 миля равна 1,852 км). В астрономии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают световой год, т. е. путь, который свет проходит в течение одного года.
Мы назвали единицы измерения расстояний, которые используются на практике в наше время. В старину в разных странах существовали свои единицы измерения. Так, на Руси использовались аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м) и др.
На практике для измерения расстояний пользуются различными инструментами. Например, в техническом черчении употребляется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль (рис. 29). С его помощью можно измерять расстояния с точностью до 0,1 мм. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой, которая представляет собой ленту с нанесёнными на ней делениями (рис. 30).
Практические задания
24. Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.
25. Измерив толщи: у учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.
26. Найдите длины всех отрезков, изображённых на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
27. Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 
28. Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В. С помощью масштабной линейки отметьте точки С и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС.
29. Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?
Ответ
Задачи к § 4
30. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.
31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если:
а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см;
б) АВ = 4 мм, АС = 4 см.
32. Точки А, Б и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
33. Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD= 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?
34. Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что СD = 15см. Найдите длины отрезков BD и DA.
35. Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
36. Лежат ли точки А, Б и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.
37. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найдите:
а) АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см;
б) АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
38. На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков О А и ОВ, если точка О:
а) лежит на отрезке АВ;
б) не лежит на отрезке АВ.
39. Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
40. Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
Ответы к задачам
31. а) 3,5 см; б) 36 мм.
32. 25,5 см или 1,5 см.
34. BD = 47 см, DA = 17 см.
37. а) АС = 1см, СВ = 1см, АО = 0,5см, ОВ=1,5см; б) АВ = 6,4м, АС = 3,2м, АО = 1,6 м, ОВ = 4,8м.
Конспект урока Измерение отрезков
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Тема урока: «Измерение отрезков»
1) Обучающая: формирование знаний о длине отрезка, свойствах длин отрезка, инструментах измерения отрезков; формирование умений измерять данный отрезок и выразить его длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах и т.д., а также находить длину отрезка, разделённого на две части точкой, длины которого известны.
2) Развивающая : развитие умений применять полученные теоретические знания на практике, развитие внимания, аналитических способностей.
3) Воспитывающая : воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.
Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.
2. Актуализация опорных знаний.
На прошлом уроке мы говорили о сравнении двух отрезков способом наложения их друг на друга.
– Скажите, в каком случае два отрезка называют равными? (если их можно совместить наложением)
Сегодня на уроке мы снова поговорим об измерении отрезков, а точнее научимся измерять отрезки и выражать их длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах.
Для начала, давайте, ответим на несколько вопросов.
– Что называют серединой отрезка?
– Что называют биссектрисой угла?
3. Получение знаний.
В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.
Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.
Рассмотрим отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:
Таким образом, сформулируем следующее.
Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.
Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр – отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.
В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).
4. Закрепление нового материала.
Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.
Задание 1. На прямой отмечены точки А, В и С. Отрезок АВ = 50 мм, а отрезок АС = 1,7 дм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах. Рассмотрите различные варианты взаимного расположения точек.
Решение: Переведём значения длин отрезков в сантиметры.