Что называют косинусом угла а где 0 a 180
Презентация по теме :»Синус,косинус и тангенс угла», 9-й класс.
Содержимое разработки
Синус, косинус и тангенс для угла от 0° до 180°
Не стыдно чего-нибудь не знать, но стыдно не хотеть учиться. (Сократ)
Какую полуокружность называют единичной?
Радиус равен 1,центр в начале координат, расположена в 1 и 2 координатной четверти.
Что называют синусом угла α, где 0°≤α≤180°
Синусом угла называется ордината точки
Что называют косинусом угла α, где 0°≤α≤180°
Косинусом угла называется абсцисса точки
В каких пределах находится значение синуса, косинуса?
0 для острого угла Cos α» width=»640″
Каким числом положительным или отрицательным является косинус острого угла? тупого угла?
Каким числом положительным или отрицательным является синус острого угла? тупого угла?
Cos α 0 для острого угла
Какой формулой связаны синус и косинус одного и того же угла?
Основное тригонометрическое тождество
Что называют тангенсом угла α, где 0°≤α≤180 °
Тангенс – это отношение синуса к косинусу этого же угла(α≠90°)
Почему тангенс не определен для угла 90°?
х = cosα ≠ 0 значит α≠ 90°
Какое общее название имеют функции f(α) = sinα, g(α) = cosα, h(α) = tgα
Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику.
Он придал всей тригонометрии ее современный вид.
В треугольнике АВС угол С равен 90°. ВС = 2
Презентация по геометрии «Синус, косинус и тангенс угла»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла» Самый лучший 9а класс.
Какую полуокружность называют единичной? Радиус равен 1,центр в начале координат, расположена в 1 и 2 координатной четверти. M (x; y) C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 x y D h
Что называют синусом угла α, где 0° ≤ α ≤ 180°? Синусом угла называется ордината точки sin α = y Что называют косинусом угла α, где 0° ≤ α ≤ 180°? Косинусом угла называется абсцисса точки cos α = x
В каких пределах находится значение синуса, косинуса? 0 ≤ sin α ≤ 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1 A C (0; 1) B (-1; 0) A(1; 0) x y 0 B
Что называют тангенсом угла α, где 0° ≤ α ≤ 180°? Тангенс – это отношение синуса к косинусу этого же угла(α ≠ 90°)
Какой формулой связаны синус и косинус одного и того же угла? Основное тригонометрическое тождество sin2α+ cos2α = 1 для любого из промежутка 0 ≤ ≤ 180
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 10. Найдите sin B. Ответ: 0,6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 8, AB =10. Найдите cos B. Ответ: 0,8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 4, AC = 28. Найдите tg B. Ответ: 7
Тригонометрическая таблица 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin cos tg
A (x; y) x y O M (cos α; sin α) Формулы для вычисления координат точки А (x; y) – произвольная точка М (сos α; sin α) x = ОА ∙ cos y = OA ∙ sin α
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1038777
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Учителям истории предлагают предоставить право бесплатно посещать музеи
Время чтения: 2 минуты
Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов
Время чтения: 3 минуты
Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Теорема косинусов и синусов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:
Но так как b = c * cos α, то
Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.
Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов:
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений:
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.
Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Математика
Урок 1: Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Тема 30.
Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.
Введем прямоугольную систему координат Oxy и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Назовем ее единичной полуокружностью. Из точки O проведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке M(x;y).
Обозначим буквой α угол между лучом hи положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).
Если угол α острый, то из прямоугольного ∆DOM:
Найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90°, 180°. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки А, С и В имеют координаты А(1; 0), С(0; 1), В(-1; 0), то
При α = 90° tg α не определен, поскольку cos 90° = 0, и знаменатель обращается в ноль.
При α = 0° и α = 180° сtg α не определен, поскольку
Вернемся к нашей единичной полуокружности АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид x 2 + y 2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у получим равенство sin 2 α + cos 2 α = 1, которое выполняется для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.
Справедливы также следующие тождества:
Они называются формулами приведения.