Что называют координатной прямой

Что называют координатной прямой

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке Вы узнаете, что такое координатная прямая, научитесь на ней обозначать положительные и отрицательные числа, определять координаты симметричных точек.

Давайте возьмем координатный луч.

На нем отмечено начало – точка О, единичный отрезок и справа от начала координат у нас находятся положительные числа в порядке возрастания.

А где расположить отрицательные?

Чтобы отметить отрицательные числа нужно луч дополнить противоположным ему лучом и нанести на него такие же деления.

Таким образом, получилась координатная прямая.

Справа от точки О – начала координат – находятся положительные числа, а слева – отрицательные.

Следовательно, координатная прямая – это прямая с указанным на ней началом отсчета, направлением отсчета и единичным отрезком.

Координата – число, показывающее положение точки на координатной прямой.

Числа, расположенные справа от точки О на координатной прямой – положительные, соответственно направление, в котором они расположены называют положительным.

Числа, которые расположены слева – отрицательные, поэтому направление, в котором они расположены называется отрицательным.

На координатной прямой стрелкой указывается только положительное направление. Число 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

Каждому числу соответствует единственная точка прямой.

Например, числу 3,5 соответствует точка М, которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении.

Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.

В таких случаях соответственно говорят «ось x», «ось y» или «ось t».

Координатные прямые могут располагаться на плоскости по-разному, не только горизонтально.

Например, шкалу на термометре можно назвать координатной прямой.

Она будет вертикальной.

В этом случае положительные числа будут находиться выше 0, а отрицательные ниже 0.

Выполним практическое задание:

Изобразим координатную прямую.

Для этого начертим прямую, отметим на ней начало координат – точку О, выберем единичный отрезок, нанесем деления справа и слева от 0, покажем стрелкой направление отсчета, назовем координатную прямую «осью х».

Отметим на координатной прямой точки А (3), В (-3).

Обратите внимание: расстояние от точки А до начала координат точки О будет равно расстоянию OB.

точки А и В будут центрально-симметричны относительно начала отсчета координатной прямой точки О (0).

Следует отметить, что центром симметрии точек на координатной прямой может быть любая точка данной прямой.

Поучимся находить симметричные точки на координатной прямой.

Пусть точка О (0) – центр симметрии.

Найдем точку, симметричную точке С (-6).

Такой точкой будет точка расположенная по другую сторону от центра симметрии.

Центром симметрии теперь будет точка А (-2).

Между точками С (-6) и А (-2) – четыре единичных отрезка.

Отсчитаем от точки А (-2) четыре единичных отрезка вправо отметим точку В.

Определим ее координату – (2).

Таким образом, точки С (-6) и В (2) будут центрально-симметричны относительно точки А (-2).

А как определить координату центра симметрии двух точек на координатной прямой?

Пусть даны симметричные точки М(-1,4) и М1(2,6).

Расстояние от точки М до О(0) 1,4, от М1 до начала координат – 2,6.

Центр симметрии должен быть посередине.

Таким образом, в этом уроке Вы узнали, что такое координатная прямая, научились определять координаты точек и находить симметричные точки.

Источник

Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Координатный луч

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Координатная прямая

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.

Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.

Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.

Источник

Координатная прямая

Урок 30. Математика 6 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Координатная прямая»

Представим себе такую историю…

– Привет, Паша! Над чем это ты так задумался? – поинтересовался у друга Саша.

– Я не могу решить одну задачу. Давай подумаем вместе, – обратился Паша к Саше.

– Давай. Читай условие, – сказал Саша.

– Гусеница сползает с листочка на веточку и ползает по ней влево и вправо. Где окажется гусеница, если она удалится на 5 сантиметров от листочка? – зачитал условие задачи Паша.

– И что же здесь сложного? – удивился Саша. – Всё просто. Гусеница окажется в 5 сантиметрах от листочка.

– Да, верно. Она окажется в 5 сантиметрах от листочка. Но она же ползает по веточке как влево, так и вправо. А значит, важно знать и направление, – сказал Паша.

– Точно, – согласился Саша. – И как же нам ответить на вопрос задачи?

– Давай спросим у Мудряша, – сказал Паша.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте мы немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Теперь сверимся! – сказал Мудряш. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А сейчас вернёмся к вашей задаче, – начал Мудряш. – Ребята, вы правильно заметили, что для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо знать направление, в котором ползёт гусеница.

– Давайте представим, что веточка, по которой ползает гусеница, – это горизонтальная прямая АВ. Листочек на веточке, с которого сползает гусеница, обозначим на этой прямой точкой О и назовём началом отсчёта. Точка О будет изображать число 0 на нашей прямой. Можно сказать, что она разделяет прямую АВ на два луча – ОА и ОB. Предположим, что наша гусеница решила ползти вправо. Тогда отметим на луче ОА точку С, которая будет изображать число 1. Отрезок ОС – это единичный отрезок. На веточке это будет соответствовать 1 сантиметру. На луче ОА можно продолжить изображать положительные числа: 2, 3, 4, 5 и так далее.

– В 5 классе мы научились изображать на координатном луче положительные числа и 0, – дружно сказали Паша и Саша.

– Совершенно верно, – сказал Мудряш. – Это вам знакомо. А теперь представим, что гусеница решила ползти влево. Давайте на луче ОВ отметим точку D таким образом, чтобы отрезок OD был равен отрезку ОC. На веточке это также будет соответствовать 1 сантиметру. Будем считать, что точка D изображает число . Чтобы изобразить число , мы на луче ОB отметим точку Е таким образом, чтобы отрезок ОЕ был равен двум отрезкам ОD. Таким же образом мы можем продолжить изображать отрицательные числа: , , и так далее…

Говорят, что луч ОА задаёт положительное направление на прямой АВ.

– А тогда луч ОВ задаёт отрицательное направление на прямой АВ, – дружно сказали мальчишки.

– Всё верно, ребята! Отметим, что положительное направление указывают стрелкой, – добавил Мудряш.

– Получается, что на прямой АВ мы выбрали начало отсчёта – точку О, единичный отрезок ОС и направление, – отметили ребята.

– Да, и такую прямую мы будем называть координатной прямой, – сказал Мудряш.

– А тогда число, которое показывает положение точки на прямой, называют координатой этой точки? – задали вопрос Мудряшу Паша и Саша.

– Всё верно! – ответил Мудряш.

– Тогда координата точки С – это 1, а координата точки ДЭ – это , – добавили мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш и отметил, – записывают это вот так: точка С (1), точка D ().

– Запомните! – продолжил Мудряш. – Прямую, на которой выбрали начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

– Тогда если наша гусеница проползёт 5 сантиметров вправо, то она окажется в точке с координатой 5? – вернулись к задаче ребята.

– Да! И мы можем назвать эту точку, например, точкой F и записать F (5), – сказал Мудряш.

– А если гусеница проползёт 5 сантиметров влево, то окажется в точке с координатой , – продолжили Паша и Саша. – Давайте назовём её точкой K и запишем K ().

– Давайте, – согласился Мудряш.

– Тогда получается, что на вопрос задачи мы можем дать два ответа? – задали вопрос Мудряшу мальчики.

– Конечно! Всё зависит от того, в каком направлении решит ползти гусеница, – ответил на вопрос Мудряш.

– Теперь разобрались! – радостно сказали друзья.

– Отметим на координатной прямой ещё несколько точек, – предложил Мудряш. – Например, точку М (), точку N (4), точку P ()… Но вместо слов «отметим точку с координатой…» может говорить просто «отметим число…».

– Запомните! – сказал Мудряш. – Все положительные числа и нуль называют неотрицательными числами. Все отрицательные числа и нуль называют неположительными числами.

– Ребята, хотелось бы обратить внимание на то, – продолжил Мудряш, – что координатная прямая может быть расположена не только горизонтально, как мы с вами только что рассмотрели, но и, например, вертикально. В таком случае положительными считаются координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – координаты точек, находящихся ниже точки О.

– Мне кажется, что шкала термометра, о которой мы говорили на прошлом уроке, является примером координатной прямой, – неуверенно сказал Паша.

– Правильно, – сказал Мудряш. – – начало отсчёта. Положительные значения температуры расположены выше , а отрицательные – ниже . А теперь давайте выполним несколько заданий.

Задание первое: запишите координаты точек А, B, C, D, Е, изображённых на рисунке.

Решение: Единичный отрезок равен одной клеточке. Точка А находится на расстоянии 4 единичных отрезков справа от начала отсчёта, а значит, имеет координату 4.

Точка B находится на расстоянии половины единичного отрезка слева от начала отсчёта, а значит, её координата равна .

Точка C расположена на расстоянии 4 единичных отрезков слева от начала отсчёта, следовательно, имеет координату .

Точка D расположена на расстоянии единичных отрезков справа от начала отсчёта, следовательно, она имеет координату 2,5.

Точка Е находится на расстоянии 5,5 единичных отрезков слева от начала отсчёта, а значит, имеет координату .

Второе задание: на координатной прямой отметьте числа: .

Решение: отметим число 0. Оно будет являться началом отсчёта. Отметим 1. Отрезок от 0 до 1 называем единичным отрезком.

Число находится на расстоянии 1 единичного отрезка слева от начала отсчёта. Число 3 находится на расстоянии 3 единичных отрезков справа от начала отсчёта. Число находится слева от начала отсчёта на расстоянии 2,5 единичных отрезков.

Число находится слева от начала отсчёта на расстоянии 4 единичных отрезков.

Число 5,5 расположено справа от начала отсчёта на расстоянии 5,5 единичных отрезков.

Число 7 также расположено справа от начала отсчёта, но на расстоянии 7 единичных отрезков.

И последнее число расположено на расстоянии 6,5 единичных отрезков слева от начала отсчёта.

Следующее задание: длина единичного отрезка координатной прямой равна 1 см. Чему равно расстояние между точкой А (3) и точкой В (7), между точкой С () и точкой D (), между точкой Е () и точкой F (2)?

Решение: начертим координатную прямую, длина единичного отрезка которой равна одному сантиметру. Отметим точку А (3) и точку В (7). Расстояние между этими точками равно 4 единичным отрезкам, то есть 4 сантиметрам.

Теперь отметим точку С () и точку D (). Расстояние между ними равно 3 единичным отрезкам, то есть 3 сантиметрам.

Отметим точку Е () и точку F (2). Расстояние между этими точками равно 4 единичным отрезкам, а значит, 4 сантиметрам.

Ещё одно задание: в какую точку перейдёт точка С (3):

а) при перемещении на 4 единицы в положительном направлении;

б) при перемещении на 7 единиц в отрицательном направлении?

Решение: начертим координатную прямую АВ и отметим на ней точку С (3).

Положительное направление на прямой задаёт нам луч ОА. Значит при перемещении в положительном направлении, то есть вправо, на 4 единицы точка С перейдёт в точку К (7).

Отрицательное направление на прямой задаёт луч ОВ. Тогда при перемещении в отрицательном направлении, то есть влево, на 7 единиц точка С перейдёт в точку М ().

Источник