Что называют координатной осью

Урок в 7 классе Длина отрезка. Координатная ось

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Длина отрезка. Координатная ось

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Действительное число как мера длины отрезка.

• Точки с действительными координатами на числовой оси.

• Сравнение действительных чисел на числовой оси.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.

За единицу измерения возьмём 1 дм.

Длина отрезка АВ = 2 дм

Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.

Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм

Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.

Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.

Далее можно рассматривать отрезок

АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.

Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.

Верно обратное утверждение:

если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.

Её называют координатной осью.

Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:

начальной точке поставим в соответствие число ноль;

точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.

Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».

На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.

• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;

• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;

• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.

Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.

Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1. Длина отрезка

Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.

1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4

Задача 2. Координатная ось.

Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.

Число a больше b, т.к. оно правее.

Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.

Числа b и c отрицательные, значит, их произведение – число положительное, т.е. b • c > 0.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число x_M равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу x_M. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число x_M — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки M_x на Ох, а M_y на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения M_x и M_y.Тогда у точки M_x на оси Оx есть соответствующее число x_M, а M_y на Оу — y_M. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (x_M, y_M), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это x_M, ордината М — это y_M.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (x_M, y_M) имеет соответствующую точку на плоскости.

Координаты точки в трехмерном пространстве

Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть M_x, M_y, M_z — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения x_M, y_M, z_M. Как это выглядит на координатных прямых:

Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в M_x, M_y, M_z.

У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (x_M, y_M, z_M), которые являются координатами точки М.

x_M, y_M, z_M — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М. Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (x_M, y_M, z_M) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Координатная ось. Часть 1

Перечень рассматриваемых вопросов:

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки A, лежащей на положительном луче координатной оси x, называется положительное действительное число х, равное длине отрезка OA. Координатой точки A, лежащей на отрицательном луче координатной оси x, называется отрицательное действительное число х, равное длине отрезка OA, взятой со знаком «–».

Координата начальной точки O равна нулю.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямую, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатная ось может быть горизонтальной, вертикальной или направленной в любую удобную сторону. Положительное направление тоже может быть задано исходя из удобства работы в каждом конкретном случае.

Точка O делит ось на два луча: положительный и отрицательный.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число x по следующему правилу:

– начальной точке O – число нуль;

– точке A, находящейся на положительном луче, – число х, равное длине отрезка OA;

– точке A, находящейся на отрицательном луче, – отрицательное число х, равное длине отрезка ОА, взятой со знаком «–».

Определённую таким образом координатную ось называют координатной осью x, или, коротко, осью x.

Число, соответствующее любой точке оси, называют координатой этой точки.

Ранее вводилось понятие координатной оси, но на ней рассматривались только точки, имеющие рациональные координаты. Таким образом, ось была не полная и имела пустоты на месте иррациональных чисел.

Однако координата произвольной точки есть действительное число, т. е. оно может быть рациональным или иррациональным, как и длина отрезка, ему соответствующая.

Теперь координатная ось стала полной – каждой её точке соответствует действительное число.

Пусть А и В точки с координатами A(x) и B(y).

– если х > у, то точка A расположена правее точки B на координатной оси;

– расстояние между точками A и B равно х – у;

– середина отрезка AB – точка M – имеет координаты: (х+ у)/2.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Какая точка лежит правее?

Найдём расстояние AB.

АВ = 3,4 – (– 5,6) = 3,4 + 5,6 = 9.

Тип 2. Единичный выбор

Найдём координаты точки М, середины отрезка АВ, если А(3,4) и В(– 5,6).

Варианты ответов: – 1,1; 1,1; 2,3; 6,8.

По формуле координаты середины отрезка получаем

Источник

Волжский класс

Боковая колонка

Рубрики

Видео

Книжная полка

Малина для Админа

Боковая колонка

Опросы

Календарь

Декабрь 2021

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Ноя
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 75

Целые числа
Отрицательные целые числа

Ответы к стр. 75

386. Что называют:
а) координатной осью;
б) положительной координатной полуосью;
в) отрицательной координатной полуосью?

а) прямую, на которой заданы начало отсчёта, направление отсчёта и единичный отрезок, называют координатной осью;

б) луч, идущий вправо от нуля на координатной оси называют положительной координатной полуосью;

в) луч, идущий влево от нуля на координатной оси называют положительной координатной полуосью.

387. Как называют точку, изображающую число нуль?

Точку, изображающую число нуль, называют начальной точкой или началом отсчёта.

388. Как найти расстояние между точками m и n координатной оси (m > n)?

Расстояние находится по формуле m — n (из координаты точки, расположенной правее, вычитают координату точки, расположенной левее на координатной оси).

389. Какие точки находятся на одинаковом расстоянии от точки нуль, но на разных полуосях?

Точки, координаты которых являются противоположными числами.

Источник

Координаты, координаты, координаты…

Урок 22. Наглядная геометрия 5–6 классы ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Координаты, координаты, координаты…»

Географическая карта (будь то карта мира, одной страны или города) покрыта сетью тонких линий. Линии, которые проходят сверху вниз от Северного полюса к Южному, называются меридианами. Другие линии, перпендикулярные меридианам, называются параллелями.

Представим карту мира вот в таком виде…

Экватору на карте соответствует горизонтальная линия, которая делит карту пополам.

Горизонтальные линии – это параллели. Они показывают географическую широту в градусах, то есть насколько удалена (в градусах) данная точка от экватора. Все точки экватора имеют нулевую широту. Широты, расположенные выше экватора, называют северными широтами, а ниже экватора – южными широтами. Северному полюсу соответствует значение северной широты, а Южному полюсу – южной широты.

Например, Москва находится севернее экватора на широте примерно (говорят: северной широты).

Для определения местонахождения широты этого недостаточно. Нужна вторая координата – долгота. Она измеряется в градусах.

Посмотрите на вертикальные линии на карте – это меридианы. Среди всех меридианов выбран начальный (нулевой) меридиан. Он проходит через Гринвичскую обсерваторию в Англии, и поэтому его называют Гринвичским меридианом. Ему соответствует нулевая долгота. Все точки справа (восточнее) от него имеют восточную долготу. Она изменяется от до . В частности, Москве соответствует точка, равная восточной долготы. Все точки слева (западнее) от Гринвичского меридиана имеют западную долготу. Она изменяется от до .

Меридианы и параллели образуют на поверхности земного шара координатную сетку. Указывая широту и долготу точки, мы указываем её координаты, то есть положение точки на карте.

На поверхности земного шара (или на его модели – глобусе) параллелям соответствуют окружности, которые параллельны экватору. Их радиусы уменьшаются по мере удаления от экватора, стягиваясь к нулю у полюсов. А вот меридианам соответствуют одинаковые полуокружности, которые проходят через полюсы.

Изменению широты на на всех меридианах соответствует один и тот же путь (одна и та же дуга). А вот изменению долготы на на разных параллелях соответствуют разные пути. Большой – у экватора, маленький – у полюсов.

Что касается координат на плоскости, то каждый из вас так или иначе с ними знаком. Например, занимая место в зале кинотеатра, вам недостаточно знать только номер ряда или только номер кресла. Чтобы отыскать нужное место, надо знать и номер ряда, и номер кресла, то есть две координаты.

Наверное, многие из вас знакомы с игрой «Морской бой». Клетки доски в этой игре обозначаются парой – буквой и числом.

Клетки доски можно обозначить парой чисел. Первое число – номер столбца, а второе – номер строки. Так, клетка, отмеченная на рисунке, обозначается парой чисел: . Можно сказать, что эта пара чисел является координатами отмеченной клетки.

Давайте изобразим прямую. Отметим на ней точку О, которая будет изображать число 0. Эту точку назовём началом отсчёта.

Выберем на этой прямой одно из двух возможных направлений и назовём его положительным. Положительное направление указывают стрелкой. Противоположное направление называют отрицательным.

Луч, идущий в положительном направлении от начала отсчёта, называют положительным. Луч, идущий в отрицательном направлении от начала отсчёта, называют отрицательным.

Выберем на этой прямой единичный отрезок.

Прямую, на которой отмечено начало отсчёта, выбрано положительное направление и указан единичный отрезок, называют координатной осью (или координатной прямой).

На координатной оси можно изобразить как положительные числа и 0, так и отрицательные. Последовательно откладывая единичный отрезок на положительном луче, мы отметим на нём числа 1, 2, 3, 4 и так далее.

Последовательно откладывая единичный отрезок от начала отсчёта в отрицательном направлении, мы отметим числа , , и так далее…

Такую прямую называют координатной, потому что каждая точка на этой прямой имеет координату. Так называют то число, которое изображает эта точка. Например, точка А имеет координату 3. Пишут: . Точка C имеет координату .

Координатная прямая может быть расположена и вертикально. В этом случае положительными считаются координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – ниже точки О.

Вертикальная координатная прямая похожа на термометр. На нём тоже есть 0, положительные и отрицательные числа, обозначающие температуру.

Перейдём к плоскости. Координаты на плоскости можно задавать различными способами, но у всех способов есть одно общее свойство: координаты точки плоскости – это пара чисел, из которых одно число является первым и указывается первым, а другое, соответственно, вторым.

Математики такую пару чисел называют упорядоченной. Наиболее распространённым способом задания координат на плоскости, после чего эта плоскость становится координатной, является следующий.

Изобразим две перпендикулярные координатные оси таким образом, чтобы их начала отсчёта совпали. Обозначим точку их пересечения точкой О. Её называют началом координат. Единичные отрезки на каждой оси выбираются равными. Одну из этих осей, обычно горизонтальную, называют осью икс (или осью абсцисс), а вторую – осью игрек (или осью ординат). Такую координатную систему называют декартовой (по имени великого французского математика Рене Декарта, работы которого положили начало одному из важнейших методов исследования – методу координат).

Плоскость, на которой задана система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть А – точка на координатной плоскости. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Эта прямая пересекает ось абсцисс в точке с координатой . Теперь проведём через точку А прямую, перпендикулярную оси . Она пересекает ось ординат в точке с координатой .

Числа и определяют положение точки А на координатной плоскости.

Эту пару чисел называют координатами точки и записывают так: . Первую координату () называют абсциссой точки А, а вторую координату () называют ординатой точки А.

А сейчас давайте отметим на координатной плоскости точку .

Обратите внимание, что числа в скобках менять местами нельзя. Абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

На оси находим абсциссу точки B. Она равна 5. Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Затем на оси находим ординату точки B. Она равна . Проведём через неё прямую, перпендикулярную оси . Точка, в которой пересекаются эти прямые, и есть точка B.

Точка О имеет координаты .

Чтобы получить декартову систему координат в пространстве, надо к двум осям и добавить ещё одну ось , перпендикулярную этим осям и с тем же началом координат. Каждой точке пространства соответствует три координаты (три числа – , , ).

Есть и другие способы задания координат на плоскости. Поговорим об одном, хотя и реже используемом, но очень полезном. Речь пойдёт о «полярных координатах».

Укажем на плоскости точку 0, которая будет называться полюсом. Затем проведём из этой точки луч – полярную ось. Зададим единичный отрезок для измерения длин отрезков.

Пусть на плоскости задана некоторая точка М. Расстояние от точки полюса до точки М называют полярным радиусом. Но знание полярного радиуса не позволяет однозначно получить точку М, так как точек, которые находятся на таком расстоянии от полюса, бесконечно много (все они находятся на окружности такого радиуса).

Поэтому зададим угол, на который надо повернуть полярную ось до её совмещения с отрезком. Его называют полярным углом.

Таким образом, каждая точка плоскости задаётся двумя полярными координатами: углом и расстоянием.

Расстояние показывает, как далеко точка находится от полюса, а угол показывает поворот полярной оси против часовой стрелки до положения, когда она пройдёт через нужную точку. Полному повороту соответствует угол , и полярный угол изменяется от до .

Изобразим в полярных координатах точку . В первую очередь отложим полярный угол, равный . Далее на стороне угла от полюса отложим расстояние, равное 3. В результате точка А построена.

Если вы ходили в поход, то знакомы с таким понятием, как азимут. Туристы обычно пользуются в походах полярными координатами. Азимут – это угол между направлением на север и направлением на некоторый предмет из точки, где находится турист.

Источник