Что называют финансовой рентой

Финансовые ренты: понятие, классификация, параметры ренты, понятие аннуитета, вычисление будущей и текущей стоимости аннуитета

Финансовой рентой называется последовательность платежей, осуществляемых через равные промежутки времени.

Постоянной финансовой рентой называется рента с одинаковыми платежами, в противном случае она называется переменной.

Финансовая рента называется конечной, если количество платежей ограничено, в противном случае она называется бесконечной.

По отношению к моменту возникновения в периоде различают платежи пренумерандо (осуществляются в начале периода) и постнумерандо (осуществляются в конце периода).

примером является заработная плата (если не задерживаются ее выплаты). К рентам также относятся пенсионные платежи, погасительные платежи в потребительском кредите, арендные платежи и т.д. За пользование рентными суммами, как правило, начисляются процентные деньги.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

2) Период ренты (р) – временной интервал между двумя соседними платежами.

3) Срок ренты (n) – время от начала ренты до конца ее последнего периода.

4) Процентная ставка (r) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Частным случаем финансовой ренты является аннуитет – денежный поток, временные интервалы которого равны одному году.

Аннуитет вычисляется по формуле:

— в случае простых процентов

– в случае сложных процентов.

Для вычисления будущей стоимости аннуитета используется коэффициент наращения аннуитета, который вычисляется по формуле:

Производя расчеты, необходимо учитывать, какая рента – постнумерандо или пренумерандо, поскольку результаты будут разными.

Таким образом: FV = CF * S_n – при осуществлении платежей постнумерандо,

FV = CF * S_n (1+r) – при осуществлении платежей пренумерандо.

Для вычисления дисконтированной стоимости аннуитета используется коэффициент дисконтирования аннуитета, который вычисляется по формуле:

,

В случае бесконечной ренты (количество платежей не ограничено, т.е. n ® ¥) текущая (приведенная) стоимость вычисляется по формуле:

Какую сумму необходимо вкладывать в банк в конце каждого года в течение 10 лет, чтобы по истечении 10 лет бесконечно долго получать по 1 000 руб., если банк объявил ставку по вкладам в размере 10% годовых?

«____»_________________2013 г. Зав.кафедрой ____________________

Министерство образования и науки РФ

ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ Кафедра строительного инжиниринга

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ и материаловедения

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Дисциплина «Финансы, денежное обращение

Источник

Финансовая рента и ее основные параметры. Классификация видов рент

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. Такие последовательности, или ряды, платежей называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Заметим, что в западной финансовой литературе в аналогичном смысле применяется термин «cash flows» (дословно – потоки наличности). Отдельный элемент этого ряда будем называть членом потока.

Введение понятия «поток платежей» в практику финансового количественного анализа произошло сравнительно недавно, заметно расширило рамки и возможности последнего.

Потоки платежей могут быть:

ü нерегулярными – членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные вели­чины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами постоянны. На­пример, рентой являются последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Во всех приведен­ных случаях выплаты или получения денег производятся через равные промежутки времени. Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, существенно упрощает количественный их анализ, дает воз­можность применять стандартные формулы и таблицы значений ряда необходимых для расчетов коэффициентов и быстро выпол­нять расчеты на калькуляторах.

Рента характеризуется следующими параметрами:

ü член ренты (R)– размер каждого отдельного платежа;

ü период ренты (t)– временной интервал между двумя последовательны­ми платежами;

ü срок ренты (n)– время от начала первого пери­ода ренты до конца последнего периода;

ü процентная ставка (i)– ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях финансовой ренты, вместе с тем этот параметр крайне необходим для ее анализа.

При характеристике отдельных видов рент необходимы дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и ча­стота начислений процентов.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации могут быть положены различные признаки. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые(выплата раз в году) и р-срочные(р–количество выплат в году).

В анализе производственных инвестиционных процессов иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными.

В финансовой практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

2. По количеству начислений процентов на протяжении года различают:

ü ренты с ежегодным начислением;

ü с начислением mраз в году;

ü с непрерывным начислением.

Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат членов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упрощаются, если два указанных момента совпадают.

3. По величине своих членов ренты делятся на:

ü постоянные –с одинаковыми платежами;

ü переменные– члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, либо несистематично (задаются таблицей).

4. По вероятности выплат ренты делятся на:

ü верные– подлежат безусловной уплате, например при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно;

ü условные – выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты– обобщающее понятие для всех видов страхования ренты и пенсии, означающее, что страхователь единовременно или в рассрочку вносит страховому учреждению оговоренную сумму денег, а затем в течение нескольких лет или пожизненно получает регулярный доход. Типичным примером страхового аннуитета является пожизненная выплата пенсии.

5. По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т.е. ограниченные по срокамренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные,ренты. С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не оговаривается конкретными датами.

В качестве вечной ренты логично рассматривать и выплаты процентов по облигационным займам с неограниченными сроками.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленныеи отложенные, или отсроченные.

Немедленный аннуитет – аннуитет, который приобретается на основе единовременного платежа и выплаты по которому начинаются сразу же после вступления договора в силу.

Отложенный аннуитет – аннуитет, начало выплат у которого сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени, приобретаемый единичным платежом или периодическими взносами. Выплаты по отложенному аннуитету начинаются в будущем. До этого срока страховая компания вкладывает взносы и накапливает проценты с этих вложений.

Отсроченный аннуитет – аннуитет, при котором первая выплата осуществляется в определенный день в конце первого года после заключения договора.

7. По моменту выплат платежей в пределах периода ренты делятся на:

ü постнумерандо (обыкновенные), если платежи по ренте осуществляются в конце периодов;

ü пренумерандо,если платежи по ренте производятся в начале периодов.

Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Пример 1. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности выплатой в конце каждого полугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет. Первая выплата в счет погашения основной суммы долга производится спустя два года после подписания контракта. К какому типу относится данный вид финансовой ренты?

Ответ:

В примере рассматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная, отложенная относительно даты заключения договора, рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей.

В подавляющем большинстве практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы (будущей стоимости) или современной (дисконтированной) стоимости финансовой ренты.

Наращенная сумма (будущая стоимость) потока платежей– это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей (или финансовой ренты)– это сумма всех ее членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый отмечающий начало момент времени.

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т.д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т.п.

Рассмотрим способы расчета этих обобщающих показателей для разных конкретных случаев.

Источник

Финансовая рента

Финансовая рента

Финансовая рента — ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Финансовая рента (далее — рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Финансовая рента» в других словарях:

Финансовая рента — поток платежей, все члены которого положительные величины, а временнЫе интервалы между последовательными платежами постоянны. См. также: Финансовые ренты Потоки платежей Аннуитет Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

ФИНАНСОВАЯ РЕНТА — Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между последовательными платежами постоянны Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов

Рента — Рента добавочный доход, получаемый предпринимателем сверх определённой прибыли на затраченные труд и капитал; образование Р. обусловлено более благоприятными условиями, в которых один предприниматель находится пред другим, например,… … Википедия

Рента (экономика) — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Рента (значения) — Рента (фр. rente, нем. Rente; от лат. reddere возвращать, отдавать, лат. reddita возвращенная, отданная) многозначный термин. Экономика Рента (экономика) регулярно получаемый доход с капитала, облигаций … Википедия

РЕНТА, ФИНАНСОВАЯ — регулярные денежные платежи различного происхождения. Категория финансовой ренты используется в анализе условий контрактов. Описывается следующими параметрами: 1) член ренты – размер каждого отдельного платежа 2) период ренты – интервал между… … Большой экономический словарь

Абсолютная рента — Рента, согласно словарю Брокгауза и Ефрона: добавочный доход, получаемый предпринимателем сверх определённой прибыли на затраченные труд и капитал; образование Р. обусловлено более благоприятными условиями, в которых один предприниматель… … Википедия

Фиксированная рента — Договоры страхования ренты, в рамках которых страховая компания или финансовая организация эмитент выплачивает фиксированную сумму в долларах в каждый из периодов … Инвестиционный словарь

Аннуитет — (фр. annuité от лат. annuus годовой, ежегодный) или финансовая рента общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда… … Википедия

Жалование — (ист. трактамент) плата за службу, постоянное денежное пособие, выдаваемое регулярно (обычно ежемесячно). Такое денежное пособие может иметь разные формы, в том числе: Стипендия денежное пособие, выдаваемое учащимся. Роялти… … Википедия

Источник

Финансовая рента (аннуитет)

Важным частным случаем потока платежей является финансовая рента или просто рента (rent), называемая иногда также аннуитетом (annuity).

Под финансовой рентой понимается поток платежей, у которого все выплаты одного знака и производятся через равные промежутки времени.

Примером рент являются: квартирная плата, погашение кредита, пенсии, регулярные выплаты процентов, ипотека, страховые выплаты и т. д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты (anno-год) отсюда название аннуитет (annuity).

Интервал времени между выплатами называется периодом ренты (rent period, payment period); размер отдельного платежа – членом ренты (rent). Сроком ренты (temp) называется время от начала первого периода ренты до конца последнего периода.

Если выплаты производятся в конце периода, то рента называется рента постнумерандо или обыкновенная рента (аннуитет постнумерандо или обыкновенный аннуитет, ordinary annuity).

Если выплаты производятся в начале периода, то рента называется рента пренумерандо или авансированная рента (аннуитет пренумерандо или авансированный аннуитет, annuity due). Иногда выплаты ренты производятся в середине периода, например пенсии.

Для безусловной ренты (annuity certain) заранее оговариваются моменты всех выплат – от первой до последней выплаты. Для условной ренты (contingent annuity) даты первой и последней выплаты зависят от какого-либо случайного события. Примером такой ренты являются страховые выплаты или пенсии (life annuity). Для описания и оценки условных рент создана бурно развивающаяся в настоящее время страховая (актуарная) математика.

Существуют и бессрочные (вечные) ренты. Пример такой ренты это облигации Британского казначейства (Х1Х век), выплаты по ним производятся два раза в год по 2,5 % годовых.

Простая рента означает выплаты одной суммы, сложная рента предполагает выплаты переменных сумм.

Проведем расчет простой ренты постнумерандо (см. рис. 3.4).

Если член ренты – с, а процентная ставка – r, то современная стоимость ренты будет равна:

(3.4)

Суммируя геометрическую прогрессию, по формуле получим:

Окончательно . (3.5)

или .

Наращенная сумма S(n) согласно (3.2) будет равна:

. (3.6)

Расчет простой ренты пренумеранто сводится к следующему потоку платежей (см. рис. 3.5).

Современная стоимость ренты равна:

.

Суммируя геометрическую прогрессию аналогично предыдущему, получим:

. (3.7)

Для наращенной суммы получим:

. (3.8)

Сравнивая (3.7) и (3.8) с (3.5) и (3.6), убеждаемся, что рента пренумерандо дороже ренты постнумерандо. Точнее справедлива формула:

, (3.9)

называемой коэффициентом наращивания, существуют специальные таблицы. Однако в настоящее время его вычисление не составляет труда. Используя коэффициент наращивания, формулы (3.5) и (3.8) запишутся:

постнумерандо	пренумерандо
S(0)
S(n)

Непрерывная рента.

Если выплаты ренты производятся достаточно часто и длительный промежуток времени, удобно от дискретной ренты перейти к непрерывной ренте. Рассмотрим соответствующий непрерывный поток платежей. Произведем расчет современного значения PV = S(0) и будущего значения FV = S(t_k) для данного потока платежей.

ПустьC(t) dt – значение платежа в момент времени t за промежуток времени dt, срок ренты равен t_k,начало ренты в момент 0 конец в момент t_k. В общем случае предполагается возможность выплаты переменных сумм C(t).

S(0)=PV C(t)dt S( )=FV

0 t

(3.10)

После интегрирования дифференциального уравнения по всему сроку рентыотначала ренты в момент 0 до конца ренты в моментt_kполучим дляоценкисовременного значения непрерывной ренты следующий интеграл:

(3.11)

Формула применима для оценки сложной ренты, когда предполагаются выплаты переменных сумм C (t).

Простая непрерывная рента: Если рента предполагает выплату постоянно одной и той же суммы С, то рента называется простой. Произведем расчет современного значения PV = S(0) и будущего значения FV = S(t_k) для данного потока платежей. В этом случае имеем C(t) = C и соответствующий интеграл может быть легко вычислен:

Окончательно для современного значения получаем:

(3.12)

Отсюда окончательно получим для простой непрерывной ренты будущее значение:

(3.13)

Иногда момент окончания сделки удобно принять за t_k = n тогда выведенные выше формулы будут иметь чуть более компактный вид. Для непрерывной ренты имеем современное значение:

. (3.14)

Формула для бессрочной (вечной ренты) получается из (3.5) или (3.14) предельным переходом при и имеет вид:

(3.15)

Для непрерывной ренты наращенная сумма будет равна:

. (3.16)

Рассмотрим примеры использования полученных формул.
Пример 32.

Кредит 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Найти сумму выплат при ставке 12 % годовых.

Воспользуемся формулой (3.4):

,

где S(0)=5 млн руб.; число периодов начисления n=12, r=1%=0,01 – годовая ставка, пересчитанная на 1 месяц, т. е. .

Тогда, согласно (3.5) имеем:

,

(3.17)

Подставляя числа, получим:

млн руб.

, тогда, суммируя, получим из (3.5):

.

Отсюда, сумма месячного платежа равна:

Если воспользоваться формулами для непрерывной ренты (3.10), получим:

Очевидно, что суммы ежемесячного платежа, рассчитанные по непрерывным и дискретным формулам, близки.

Кредит погашается в течение года ежемесячными платежами в размере 2 тыс. руб., годовая процентная ставка составляет 12 %. Необходимо найти величину кредита.

Воспользуемся сначала формулой (3.5) вычисления современного значения обыкновенной дискретной ренты:

В нашей задаче член ренты равен c = 2 тыс. руб., срок ренты n = 12 месяцев, месячная процентная ставка равна r = 12 %/12 = 1 % (1/мес.), а неизвестной является величина кредита S(0). Тогда:

тыс. руб.

В непрерывном случае для решения воспользуемся формулой:

,

= 22,616 тыс. руб.

Сумма кредита составляет 22616 руб. ‑ она чуть больше суммы 22510 руб., рассчитанной по дискретной формуле.

Воспользуемся сначала формулой (3.6) вычисления будущего значения обыкновенной дискретной ренты:

В нашей задаче член ренты c неизвестен, а известны: срок ренты n=5*12=60 месяцев, месячная процентная ставка равна r=6%/12=0,5%=0,005 (1/мес.), и будущее значение S(n)=$250 тыс.

тыс.

В непрерывном случае для решения воспользуемся формулой (3.15):

тыс.

Задача решается аналогично предыдущему примеру 35. Известны: срок ренты: n=17*12=204 месяцев, месячная процентная ставка равна r=6%/12=0,5%=0,005 (1/мес.), и будущее значение S(n)=$100 тыс. Нужно найти месячный платеж (член ренты) с:

тыс.=$283,1.

тыс.=$281,98

В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 2 тыс. руб. На поступающие платежи ежемесячно начисляются сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через 2 года? Какую сумму нужно разместить инвестору на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года в предположение, что проценты начисляются по той схеме – ежемесячно?

Из условия примера член ренты C=2 тыс. руб., длительность ренты n=24 (мес.), месячная процентная ставка r =12%/12=1%=0,01 (1/мес.).

Сначала, для определения величина вклада через 2 года воспользуемся формулой (3.6) вычисления будущего значения обыкновенной дискретной ренты

тыс. руб.

Затем, для определения суммы, которую нужно разместить инвестору на депозитный счет, воспользуемся формулой (3.5) вычисления современного значения обыкновенной дискретной ренты:

тыс. руб.

Таким образом, размещение суммы 42,48677 тыс. руб. на депозитный счет для начисления ежемесячно сложных процентов по годовой ставке 12 % позволит инвестору получить ту же сумму вклада 53,9493 тыс. руб.

Банк N дает кредит под 24 % годовых. Один из вариантов кредитного договора имеет следующий вид:

«Кредит на 50 тыс. руб. погашается ежемесячными платежами в размере 2 тыс. руб. Половина суммы идет на обслуживание кредита, другая половина – на погашение кредита. Банк N дополнительно сообщает клиенту о моменте погашения кредита».

Таким образом, ежемесячно в счет погашения заемщик платит 1 тыс. руб.

Сколько должно быть выплат, чтобы погасить кредит? Каков срок погашения кредита, если процентная ставка будет снижена до 12 % или повышена до 28 % годовых?

В нашей задаче член ренты равен c = 1 тыс. руб., месячная процентная ставка равна r = 24%/12 = 2 % = 0,02 (1/мес.), величина кредита S(0)=50 тыс. руб., а неизвестным является срок ренты n.

Воспользуемся формулой (3.14) вычисления современного значения непрерывной ренты:

Отсюда найдем количество выплат n

(3.18).

В нашем случае имеем S(0) = 50 тыс.руб.; C = 1 тыс. руб.; r=0,02. Подставив исходные данные в полученную формулу, вычислим количество выплат n

Так как, при и, следовательно, n →+∞.

Таким образом, срок погашения кредита равен +∞, то есть клиент, заключивший договор с банком N, будет должен ему вечно.

Возможно, в рассуждениях и расчетах имеется ошибка, рассмотрим задачу с другой стороны. Если сумма выплат С постоянна, а количество выплат n стремится к бесконечности, то для современного значения PV=S(0) такого потока платежей получим формулу (3.15):

В рассматриваемом случае, если клиент банка будет платить по тысяче рублей ежемесячно под r=2 % в месяц вечно, то он погасит кредит. Действительно

= 50 тыс. руб.

Пусть теперь процентная ставка снижена до 12 %. Рассчитаем количество выплат n при этом значения процентной ставки r=12 %/12=1 %=0,01

Таким образом, для погашения кредита в 50 тыс. руб. на условиях предложенных банком N при небольшом проценте 12 % годовых потребуется 70 выплат по 2 тыс. руб. т. е. 140 тыс. руб. в течение 70/12=5,8333 лет.

= 42,86 тыс. руб.

Полученная величина меньше суммы кредита в 50 тыс. руб., то есть, при годовой ставке в 28 %, даже выплачивая вечно, не удастся погасить сумму кредита. Потомки неосторожного клиента банка N будут перед ним в вечном долгу.

Для полноты приведем решение данного примера с использованием формулы дискретной ренты:

Отсюда число периодов начисления равно:

(3.19)

Формулы (3.18) и (3.19) отличаются только знаменателем, но при малых значениях процентной ставки r согласно замечательному пределу ln (1+r) примерно равен r и знаменатели практически совпадают и, следовательно, все полученные выше результаты остаются в силе.

Ссуда в 10 млн руб. выдана под 12 % годовых (т. е. 1 % месячных) и требует ежемесячной оплаты по 130 тыс. руб. и выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Каков остаток долга D?

В задаче месячная ставка равна r=1 % (1/мес.), число выплат n=10*12=120 (мес.), ежемесячные выплаты c=130 тыс. руб.=0,13 млн руб., ссуда равна S(0)=10 млн руб. Неизвестным является остаток долга D.

Поток платежей для данной задачи имеет вид:

Следовательно, приведенный доход S(0)=PV равен:

Отсюда, остаток долга:

Подставляя численные значения, получим:

млн руб.

Следовательно, долг равен D=3,098839 млн руб.

Выкупная цена оливковой рощи на 1 января 2010 года определяется по формуле вечной ренты пренумерандо:

тыс.

Выкупная цена оливковой рощи на 1 января 2015 года равна:

$1072,077 тыс.

Источник