Что называют допустимым значением переменной

Область допустимых значений функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Допустимые и недопустимые значения переменных

В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.

Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.

Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.

Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.

Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.

Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.

В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.

Пример 1

Рассмотрим выражение

В выражении три переменные (a, b, c).

Запишем значения переменных в виде: a = 1, b = 1, c = 2.

Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ:

Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.

Подставим значения переменных в выражение

На ноль делить нельзя.

Что такое ОДЗ

ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Пример 2

Рассмотрим выражение

Пример 3
Рассмотрим выражение

ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.

Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.

Как найти ОДЗ: примеры решения

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.

Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.

Мы не можем вычислить значение выражения, если:

Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.

Давайте потренируемся находить ОДЗ.

Пример 4

Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.

В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.

ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.

Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.

Пример 5

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения

Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.

Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении — пустое множество.

Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.

Пример 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении

Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Пример 7

Найдем ОДЗ переменной a в выражении

Прежде всего, нам нужно подобрать такое условие, при котором в знаменателе дроби не будет ноля —

Мы знаем, что выражение под знаком корня должно быть положительным. Это дает нам второе условие: a + 1 ≥ 0.

Мы не можем вычислить логарифм отрицательного выражения. Получаем третье условие: a 2 + 2 > 0.

Выражении в основании логарифма не должно быть отрицательным и не должно равняться единице. Получаем условие 4: a + 6 > 0.

Как видите, записывая ОДЗ, мы ставим квадратные и круглые скобки.

Запомните

Например, если х > 6, но х

Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения

Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.

Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.

Тождественное преобразование может:

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Пример 8

Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление ноль, определяем условие a ≠ 0.

Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).

В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.

ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.

Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.

Пример 9

Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a

ОДЗ a для этого выражения — множество R.

В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.

После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a

ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.

Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим выражение

Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).

Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.

Приведем выражение к виду

Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).

Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).

Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.

Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.

Источник

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Решение

Решение

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

Рассмотрим на примере.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Источник

ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ, ВХОДЯЩИХ В ДРОБНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Допустимые значения переменных,
входящих в дробное выражение

Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.

I. Организационный момент.

– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а:

1. Актуализация знаний учащихся.

2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.

3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.

При актуализации знаний учащимся можно задать следующие
в о п р о с ы:

– Какую дробь называют рациональной?

– Всякая ли дробь является дробным выражением?

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание.

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:

при х = 4; 0; 1.

Выполняя данное задание, учащиеся понимают, что при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).

После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать р я д в о п р о с о в:

1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.

2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

IV. Формирование умений и навыков.

Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.

И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:

г)

О т в е т: х ≠ 0 и х ≠ 1 (или все числа, кроме 0 и –1).

При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.

г)

Следить за обоснованием всех рассуждений.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.

а) .

Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а 2 + 5 принимает наименьшее значение.

б) .

.

Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

.

Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2 х +
+ у ) 2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2 х + у ) 2 не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2 х + у ) 2 + 9 равно 9.

Тогда значение исходной дроби равно = 2.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?

– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?

– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?

– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.

Источник

Изучаем C++. Часть 2. Переменные, константы и операции с ними

Разбираемся, как работать с данными в программе на C++. Будет много теории и примеров, чтобы вы углубились в язык ещё больше.

Это вторая часть из серии «Глубокое погружение в C++». В прошлый раз мы разобрались, что такое программа и из чего она состоит, а сейчас узнаем азы работы с данными.

Что такое данные и как они хранятся в программах

Все программы работают с данными. Данные — это любые значения, которые используются в работе программы: строки, числа, ссылки и символы. Например: имя, возраст, количество денег на счету, здоровье персонажа в игре и так далее. Даже отсутствие данных — это данные.

Пишет о программировании, в свободное время создает игры. Мечтает открыть свою студию и выпускать ламповые RPG.

Все эти и другие значения хранятся в оперативной памяти. Для каждого значения выделяется отдельная ячейка, и одновременно в ней может находиться только что-то одно.

Давайте рассмотрим это на примере коробок:

Мы говорим компьютеру, что нам нужна коробка x, которая будет хранить целые числа, но пока не помещаем в неё никакого значения. Компьютер создаёт такую коробку, подписывает её и помещает в неё null.

Далее мы пишем команду x = 5;, и компьютер меняет значение внутри коробки. Размер коробки при этом не меняется. Так получается, потому что для хранения каждого примитивного типа данных выделяется определённое количество памяти. Например, для целых чисел это четыре байта, что позволяет хранить значения в диапазоне от −2 147 483 648 до 2 147 483 647.

Коробки, описанные выше, в программировании называются переменными (англ. variable). Их значение можно менять во время работы программы. Также существуют коробки, которые менять нельзя, — их называют константами.

То, какие данные сейчас хранятся в памяти, называется состоянием. Состояние может быть у программы, системы, компьютера и так далее. В C++ очень важно иметь доступ к состоянию, чтобы писать полезные программы.

Переменные в C++

Теперь попробуем создать свои переменные.

Для начала объявим переменную, то есть скажем компьютеру, что нам нужно занять место в памяти. Для этого укажем тип данных, а потом название переменной.

Так создаётся переменная без значения. Если вы хотите, чтобы в ней сразу было какое-то число, то нужно использовать знак присваивания (=):

Теперь в любое время можно менять значения переменных:

Математический знак равенства ( =) в программировании называется знаком присваивания.

Важно! Указывать тип данных нужно только при объявлении переменной.

Давайте попробуем вывести значение какой-нибудь переменной на экран. Для этого напишем следующий код:

Внимательно прочтите этот код, а потом скомпилируйте и запустите программу:

Попробуйте изменить значение переменной age на любое другое число и посмотрите, как изменится вывод.

Допустимые имена для переменных

Идентификаторы переменных могут содержать в себе:

При этом название не может начинаться с цифр. Примеры названий:

Все идентификаторы регистрозависимы. Это значит, что name и Name — разные переменные.

Рекомендуется давать именам простые названия на английском языке, чтобы код был понятен и вам, и другим людям. Например:

Если название должно состоять из нескольких слов, то рекомендуется использовать camelCase (с англ. «верблюжий регистр»): первое слово пишется со строчной буквы, а каждое последующее — с заглавной.

Типы данных в программировании

Чаще всего используются следующие типы данных:

Также существуют ссылочные типы — такие переменные хранят в себе не само значение, а ссылку на него в оперативной памяти. К ссылочным типам относятся массивы, объекты, строки (так называют любой текст) и многое другое. Для строк используется тип std: string.

Вот несколько примеров переменных разных типов:

Комментарии в C++

В коде выше русский текст после двойных слэшей (//) — это комментарии. Они позволяют разработчикам делать заметки, объяснять код так, чтобы все могли в нём ориентироваться. Компилятор игнорирует комментарии, поэтому они никак не влияют на работу программы.

Есть два типа комментариев:

Попробуйте написать в коде и те, и другие комментарии, чтобы понять, как они работают.

Константы в C++

Чтобы создать константу, используйте ключевое слово const:

Константы обычно нужны, чтобы хранить какие-то постоянные величины из физики, математики или геометрии: число пи, ускорение свободного падения, скорость света и так далее. Однако вы можете хранить в них и другие значения, которые должны оставаться постоянными:

Математические операции в C++

В С++ есть пять базовых математических операций:

Используются они следующим образом:

Важно! Сначала выполняется правая часть выражения после знака =, а потом левая. То есть переменной не будет присвоено значения, пока не выполнены все вычисления. Поэтому можно записать в переменную результат вычислений, в которых использовалась эта же переменная:

Если вам нужно провести какую-то операцию с переменной, а потом записать значение в неё же, используйте следующие операторы:

Во время работы с С++ вы будете часто прибавлять или отнимать единицу от какой-нибудь переменной. Для этого тоже есть сокращённая запись:

Инкремент и декремент могут быть префиксными (++x) и постфиксными (x++). Префиксный инкремент сначала прибавляет к переменной единицу, а потом использует эту переменную, а постфиксный — наоборот.

Источник