Что называют диагональю параллелограмма

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Что называют диагональю параллелограмма

Свойства параллелограмма

Что называют диагональю параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

Что называют диагональю параллелограмма

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

Что называют диагональю параллелограмма 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Что называют диагональю параллелограмма

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

Что называют диагональю параллелограмма

7. Диагонали Что называют диагональю параллелограммапараллелограмма и стороны
Что называют диагональю параллелограммасвязаны следующим соотношением: Что называют диагональю параллелограмма

Что называют диагональю параллелограмма

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник Что называют диагональю параллелограммаявляется параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: Что называют диагональю параллелограмма

2. Противоположные углы попарно равны: Что называют диагональю параллелограмма

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: Что называют диагональю параллелограмма

5. Что называют диагональю параллелограмма

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


Что называют диагональю параллелограммаФормулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Что называют диагональю параллелограмма

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Что называют диагональю параллелограмма

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Что называют диагональю параллелограмма

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Что называют диагональю параллелограмма

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Что называют диагональю параллелограммаЧто называют диагональю параллелограмма
Рис.1Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =d 1
2
BO = DO =d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =h b
sin α
b =h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =S
ha
b =S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =2S=2S
d 2· sinγd 2· sinδ
d 2 =2S=2S
d 1· sinγd 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =2( b +h b)
sin α
P =2( a +h a)
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =1d 1 d 2 sin γ
2
S =1d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Параллелограммы

Что называют диагональю параллелограммаСвойства и признаки параллелограмма
Что называют диагональю параллелограммаСвойства и признаки прямоугольника
Что называют диагональю параллелограммаСвойства и признаки ромба
Что называют диагональю параллелограммаСвойства и признаки квадрата

Свойства и признаки параллелограмма

Определение: Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Диагонали параллелограммаЧто называют диагональю параллелограмма

Определение: Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины

Высота параллелограммаЧто называют диагональю параллелограмма

Определение: Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение

Равенство противолежащих сторонЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны.

Признак: Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом.

Равенство и параллельность двух противолежащих сторонЧто называют диагональю параллелограмма

Признак: Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом.

Диагонали точкой пересечения делятся пополамЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признак: Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.

Суммы углов, прилежащих к сторонамЧто называют диагональю параллелограмма

Равенство противолежащих угловЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны.

Признак: Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом.

Два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольникЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника.

Признак: Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом.

Четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольникЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Признак: Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом.

Свойства и признаки прямоугольника

Тип утвержденияФигураРисунокФормулировка
ОпределениеПрямоугольникЧто называют диагональю параллелограммаПрямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
СвойствоРавенство диагоналейЧто называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны
ПризнакЕсли у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником
Определение: прямоугольник
Что называют диагональю параллелограммаПрямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Свойство: равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны
Признак: равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником

Определение: Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

Равенство диагоналейЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны.

Признак: Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Свойства и признаки ромба

Тип утвержденияФигураРисунокФормулировка
ОпределениеРомбЧто называют диагональю параллелограммаРомбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны
СвойствоБиссектрисы углов
диагонали
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является ромбом, то его диагонали является биссектрисами углов
ПризнакЕсли у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом
СвойствоПерпендикулярность диагоналейЧто называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны
ПризнакЕсли у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом
Определение: ромб
Что называют диагональю параллелограммаРомбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны
Свойство: биссектрисы углов и диагонали
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является ромбом, то его диагонали являются биссектрисами углов
Признак: биссектрисы углов и диагонали
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом
Свойство: перпендикулярность диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: перпендикулярность диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом

Определение: Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны

Биссектрисы углов и диагоналиЧто называют диагональю параллелограмма

Признак: Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом

Перпендикулярность диагоналейЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны

Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом

Свойства и признаки квадрата

Тип утвержденияФигураРисунокФормулировка
ОпределениеКвадратЧто называют диагональю параллелограммаКвадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны
СвойствоПерпендикулярность
и равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны
ПризнакЕсли у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом
СвойствоПерпендикулярность диагоналейЕсли прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны
ПризнакЕсли у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом
СвойствоРавенство диагоналейЧто называют диагональю параллелограммаЕсли ромб является квадратом, то его диагонали равны
ПризнакЕсли у ромба диагонали равны, то он является квадратом
Определение: квадрат
Что называют диагональю параллелограммаКвадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны
Свойство: перпендикулярность и равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны
Признак: перпендикулярность и равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом
Свойство: перпендикулярность диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: перпендикулярность диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом
Свойство: равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли ромб является квадратом, то его диагонали равны
Признак: равенство диагоналей
Что называют диагональю параллелограммаЕсли у ромба диагонали равны, то он является квадратом

Определение: Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны

Перпендикулярность и равенство диагоналейЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны

Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом

Перпендикулярность диагоналейЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны

Признак: Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом

Равенство диагоналейЧто называют диагональю параллелограмма

Свойство: Если ромб является квадратом, то его диагонали равны

Признак: Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *