Что называют численным значением величины в математике

Презентация по математике для начальных классов «Величины и их измерение»

Описание разработки

Приведите примеры различных величин, изучаемых в школе на уроках математики, физики. Вспомните единицы этих величин.

Разнородные величины выражают различные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин.

1. Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин А и В справедливо только одно из отношений: А В, А=В.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины стола.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате получается величина того же рода. Величины, которые можно складывать, называются аддитивными.

Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина.

5. Величину можно оценить количественно, то есть измерить.

Измерение величин.

Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу.

Содержимое разработки

Величины и их измерение

Задание: Приведите примеры различных величин, изучаемых в школе на уроках математики, физики. Вспомните единицы этих величин.

Измерение величин Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Цель измерения — получить численную характеристику данной величины при выбранной единице величины. Измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х, что А=х*Е, где Е — величина того же рода, принятая за единицу. Число х называют численным значением величины А при единице величины Е. Численное значение величины показывает, во сколько раз заданная величина больше или меньше величины, принятой за единицу. Пример. 1) Если масса дыни 3 кг, то 3 — численное значение массы дыни при единице массы килограмм.

B – mn A3 » width=»640″

Значение измерения очень велико. Не всегда можно сравнить или сложить (вычесть) величины непосредственно (например, длину дорог). Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами – к действиям над числами, что значительно проще. Взаимосвязь величин и их численных значений Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то отношения между величинами А к В будут такими же, как и отношения между их численными значениями (и наоборот):Пусть А=m*Е, В=n*Е, тогда: А=B – m=n AB – mn A3

Площадь фигуры Площадь — положительная величина, определенная на множестве плоских фигур так, что: равные фигуры имеют равные площади; если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей. Некоторые свойства площадей : 1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей (при одной и той же единице площади). Обратное – неверно. 2. Численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей ее составляющих частей (при одной и той же единице площади) 3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой.

Промежутки времени Окружающий нас мир существует во времени. Временные характеристики явлений (продолжительность, последовательность, частота, ритм, темп и др.) необходимы для описания любых процессов в природе. Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площади, массы. Оно не имеет наглядности и познается опосредованно. Вся жизнь человека связана со временем, с умением измерять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, ни увидеть, что создает особые трудности в изучении. Некоторые свойства промежутков времени 1. Промежутки времени можно сравнивать, («Красная Шапочка затратила больше времени на дорогу до бабушки, чем Серый Волк».) 2. Промежутки времени можно складывать и вычитать. («Маша один час вырезала фигуры и один час их наклеивала. Сколько всего времени она затратила на работу?») 3. Промежутки времени можно умножать на число. («7 суток — это неделя. Сколько суток в трех неделях?») 4. Промежутки времени можно измерять. В качестве единицы времени выбирается регулярно повторяющийся процесс. Такие единицы времени, как год, сутки, были выбраны на основе природных явлений: смены дня и ночи, смены времен года, а час, минута, секунда придуманы человеком.

Источник

Понятие величины и ее измерения. Свойства скалярных величин. Действия над величинами. Натуральное число как результат измерения величины.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Понятие величины и ее измерения. Свойства скалярных величин. Действия над величинами. Натуральное число как результат измерения величины.

Длина отрезка как геометрическая величина, её измерение. Методика изучения длины и формирование навыков её измерения. Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

При изучении раздела «Величины и их измерение» углубляются, систематизируются и обобщаются знания о величинах и их измерениях, известные из курса математики.

В теме «Понятие величины и её измерения» рассматривается несколько подходов к раскрытию содержания понятия скалярной величины. Из свойств скалярной величины обращаем внимание на те, которые явно или косвенно используются в курсе математики начальной школы. Дается понятие об измерении положительных скалярных величин как отображения некоторых объектов во множество положительных действительных чисел. Решая упражнения по теме, необходимо рассмотреть решение текстовых задач, сопровождая его анализом тех действий, которые выполнялись над величинами.

1. Понятие величины и ее измерения.

Величина – это размер. Существуют звёзды – карлики и гигантские водоросли, огромные белковые молекулы и ничтожные пылинки. Как всё это сопоставить друг с другом, что больше чего и во сколько раз?

Величина – одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

Начиная с дошкольного возраста, у детей формируются интуитивные представления о некоторых величинах и их измерении.

Учитель начальных классов должен не только продолжать эту работу на более высоком уровне, но и знакомить учащихся со свойствами, общими для всех величин.

Термин « величина» впервые появился в философской литературе и был связан с действительными числами.

Исторически числа возникли в процессе счёта предметов и измерения величин. Именно на это обстоятельство указывал Аристотель, когда писал: «То или иное количество есть множество, если его можно счесть; есть величина, если его можно измерить».

Мы знаем величины: дл, масса, емкость…

Тройки взаимосвязанных величин? (ск, вр, рас; цена, количество, стоимость)

Величина – неопределяемое понятие.

Под величиной понимают особые свойства реальных объектов или явлений.

«Величина» и «число» являются ведущими понятиями математики, физики, химии… поэтому формируются с 1 кл на примере длины.

Длина – это свойство предметов иметь протяжённость.

Масса – с математической точки зрения это такая положительная величина, которая обладает свойствами:

масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

масса складывается, если тела соединяются вместе.

Длина и масса – разнородные величины, так как выражают разные свойства объектов.

Ещё различают величины (в геометрии векторная, скалярная; положительная, отрицательная; переменная, постоянная).

Например, при нагревании длина металлического стержня меняется (увеличивается).

Скалярные величины – величины, не имеющие направления или которые определяются одним численным значением.

В старших классах знания о величинах расширяются: изучают новые единицы ранее изученных величин, а также новые величины: сила, работа, мощность, сопротивление, ускорение, напряжённость…

Рассмотрим свойства однородных скалярных величин.

2. Свойства скалярных величин.

Любые две однородные величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой.

Т.е. для любых величин a и b справедливо одно и только одно из отношений:

Например, длина гипотенузы больше длины катета; масса яблока меньше массы арбуза, длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода,

Т.е. для любых величин a и b однозначно определяется величина

Например: пусть а- длина отрезка АВ, в – длина отр. ВС. Тогда длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС.

3. Действия над величинами.

В процессе решения практических задач у учащихся должно сложиться представление о величине как о свойстве предметов, которое позволяет их сравнивать, выполнять действия над ними.

Изучение величин связано с такими разделами курса, как «Нумерация» и «Арифметические действия». Методика изучения каждой величины имеет свои особенности, связанные со спецификой данной величины, но общий подход к величине как к свойству предметов и явлений позволяет говорить об общей методике изучения величин, которая включает следующие этапы:

I этап. Выявление представлений ребенка о данной величине. Введение понятия и соответствующего термина.

II этап. Сравнение однородных величин разными способами (визуально, ощущением, наложением, приложением, с помощью различных мерок).

III этап. Знакомство с единицей измерения величины и с измерительным прибором.

IV этап. Знакомство с новыми единицами измерения величин, с соотношениями между ними. Перевод мелких единиц измерения в более крупные и наоборот.

V этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах различных наименований.

VI этап. Умножение и деление величины на число. Деление именованного числа на именованное.

Длина отрезка как геометрическая величина, её измерение.

Действия над отрезками, их свойства.

Понятие длины отрезка и ее измерения. Свойства числовых значений длины. Стандартные единицы длины, сведения об их происхождении.

Изучение темы «Длина отрезка и её измерение» дает теоретическое обоснование вопросов, связанных с изучением длины отрезка и ее измерения в начальной курсе математики. Здесь сравнивается процесс измерения длины отрезка на практике и в математике, рассматриваются основные свойства длин отрезков и история происхождения стандартных единиц длины.

Методика изучения длины и формирование навыков её измерения.

-Какую же мерку надо выбрать для измерения длин? Об этом надо договориться.

-Кто знает, как договорились люди? (Учащиеся могут назвать м, дм, см).

1) Величина – это то, что может быть измерено и результат измерения выражен числом. Длина является величиной.

2) Чтобы измерить величину, надо выбрать мерку и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине.

3) Если изменяется мерка, то изменяется и значение величины. Поэтому сравнивать величины можно только тогда, когда они измерены одной и той же меркой.

4) Сейчас используются единые для всех стран единицы измерения длины. Одной из них является сантиметр.

Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

В четвертом классе систематизируются знания учащихся о единицах измерения длины и соотношениях между ними, составляется таблица мер длины,

Источник

Понятие величины и её измерения в математике

Длина, площадь, масса, время, объём – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b – длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a – длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС. (Рис.2)

4) Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а – длина отрезка АС, b – длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.

5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число – называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А

Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.

Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).

Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.

a=b m (a)=m (b),

a>b m (a)>m (b),

a

Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b поскольку 5>3.

2. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить

численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг

Рассмотренные понятия – объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах.

Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.

Источник

Лекция 5. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ

Лекция 5. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ

1. Натуральное число – мера измерения величин

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Определение. Величины, которые определяются только числовым зна­чением, называ­ются скалярными величинами (примеры скалярных вели­чин: длина, объем, тeмпература).

Некоторые скалярные величины допускают неограниченное дробление пред­мета, явления на части, каждая из которых сохраняет те же свойства, что и целое (но в меньшей ме­ре, в меньшем количестве). Такие ска­ляр­ные вели­чи­ны принято называть аддитивно-скалярными величинами (э­то – длина, пло­щадь, масса и т. д.). Величина «плотность тела» не будет аддитивно-ска­лярной, так как любая часть данного тела (например, часть куска железа) будет иметь такую же плотность, как и все тело.

Дадим аксиоматическое определение аддитивно-скалярной величине.

Пусть M – множество предметов (явлений), обладающих некоторым свой­ством P (например, иметь длину или площадь), и во мно­жест­ве M определено от­но­шение экви­ва­лентности относительно свойства P. Пусть также во множе­стве M выбран некоторый элемент e в качестве единицы (эталона), при этом для произвольных элементов a, bÎM имеет место операция сложения a + b = c, cÎM.

j cуществует элемент еÎM, которому соответствует единица: f(e) = 1;
e на­зы­ва­ется эталоном или единицей измерения;

k если элементы aÎM и bÎM эквивалентны относительно свойства P, то f(a) = f(b);

l если на множестве M элемент c состоит из элементов a и b, то f(c) = f(a) + f(b);

m если на множестве M определены два отображения f₁ и f₂, удовлетворяющие условиям j–l, то существует такое положительное число k, что для любого элемента xÎM справедливо равенство f₂(x) = kf₁(x).

Отображение f в данном случае называется измерением ве­ли­чины Р, а поло­жи­тельные действительные числа f(a), f(b), f(c) – мерой величины (или ее значением).

Кроме скалярных величин в математике, физике и других нау­ках встреча­ются величины, которые характери­зу­ются не только числовым зна­чен­ием, но и на­прав­лением. Такие величины называются векторными вели­чи­нами (или век­то­рами), например: скорость, ускорение, сила.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положи­тель­ной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин по­зво­ляет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над вели­чинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка. Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим X. Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обо­значим буквой Е.

Определение. Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют чис­ленным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Пишут: Х = а × Е или а = т_Е (Х).

Например, отрезок х (см. рисунок) состоит из 6 отрезков, равных отрезку е.

Если длину единичного отрезка обозначить буквой Е,

а длину отрезка х – буквой X, то можно написать, что Х = 6Е или 6 = m_Е (Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина ко­торого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:

2. Смысл суммы, разности, произведения и частного таких чисел

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты неко­то­рого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объектов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего; не скажешь о форме – один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» – особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше (больше) длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т. д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас пред­метов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты – это величины одного рода.

Основные положения, связанные с однородными величинами.

Например, мы говорим, что в прямоугольном тре­уголь­нике длина гипоте­нузы больше длины любого его катета, масса яблока меньше массы арбуза, длины противоположных сто­рон прямоугольника равны.

С = А – В – это длина отрезка с.

Например, если А – время, отводимое на один урок, то, умножив А на число х = 3, получим величину В = 3 ´ А – время, за которое пройдет 3 урока.

Частным величин А и В называется такое положительное действи­тельное число х = А : В, что А = х ´ В.

Так, если А – длина отрезка а, В – длина отрезка b (рис. 2) и отрезок а состоит из 4 отрезков, равных b, то

А : В = 4, поскольку А = 4 × В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особен­но­стью – их можно оценивать количественно. Для этого величину надо из­мерить. Чтобы осуществить измерение, из данного рода величин выби­ра­ют величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обо­значать ее буквой Е. Если задана величина А и выбрана единица вели­чины Е (того же рода), то измерить величину А – это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х × Е.

Число х называется численным значением величины А при единице измерения величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е принятой за единицу измерения.

Если А = х × Е, то число х называют также мерой величины А при единице измерения величины Е и Х = m_Е (А)

Например, если А – длина отрезка а, Е – длина отрезка b (рис. 2), то А=4Е. Число 4 – это численное значение длины А при единице длины Е, или, другими словами, число 4 – это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стан­дартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т. д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произ­ведение числа и единицы величины. Например, 2,7 кг = 2,7 × кг; 13 см = 13 × см; 16 с = 16 × с.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В доста­точ­но сложить численные значения величин А и В:

А + В = С Þ т(А+В)=т(А)+т(В).

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то

А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В = х ´ А, где х – положи­тельное действительное число, и величина измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение вели­чины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т (А): В = х × А Þ т (В) = х × т(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то

В = 3А =3× (2 × кг) = (3× 2) × кг = 6 кг.

Замечание. В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т. е. х × А. Но разре­шается писать и так: А × х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А × х.

Рассмотренные понятия – объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно опи­сать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство – масса; для измерения массы использовали единицу массы – килограмм; в результате измерения получили число 3 – численное значение массы яблок при единице массы – килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека – это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса – это разнородные величины.

Смысл суммы и разности натуральных чисел. Какой смысл имеют сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения величин?

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство. Обозначим длины отрезков х, у и z соответственно буквами X, Y и Z. Пусть m(Y) = а, m(Z) = b при единице длины Е. Тогда отрезок у разбивается на а частей, каждая из которых равна отрезку длины Е, отрезок z разбивается на b таких частей. А потому весь отрезок х разбивается на а + b таких частей. Значит, m(Х) = а + b = m(Y)+m(Z).

Следствие. Сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются числа а и b:

Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Покажем, как используется данный подход к обоснованию выбора действия сложения при решении текстовых задач.

Задача 1. «В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали?»

В задаче две величины – масса смородины и масса малины. Извест­ны их численные значения. Требуется найти численное значение массы, ко­торая получится, если данные массы сложить. Для этого, согласно рас­смот­ренной теореме, надо сложить численные значения массы смо­ро­дины и массы малины, т. е. получить выражение 7 + 3. Это – матема­ти­ческая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 7 + 3, получим ответ на вопрос задачи.

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей.

Аналогичный смысл имеет разность натуральных чисел, получен­ных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Выясним, как используется данный подход к обоснованию выбора действия вычитания при решении текстовых задач, например, «Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг?».

В задаче рассматривается масса овощей, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы картофеля и массы ка­пусты, численное значение которой также известно. Требуется узнать числен­ное значение массы картофеля. Так как массу картофеля можно полу­чить, вычитая из всей массы купленных овощей массу капусты, то чис­ленное значение массы картофеля находят действием вычитания: 7–3. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.

При помощи сложения или вычитания решаются также текстовые задачи, в которых величины связаны отношением «больше на» или «меньше на». Например: «Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2 кг больше. Сколько килограммов картофеля купили?». В задаче речь идет о двух величинах – массе моркови и массе карто­феля. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что картофеля на 2 кг больше, чем моркови.

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел – мер ве­ли­чин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание – с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деле­ние натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

В этой задаче речь идет о массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы – килограмм при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки. Рассуждения, связанные с поиском числен­ного значения массы муки при единице – килограмм, можно предста­вить в таком виде: 3 пак. = 3·пак. = 3 · (2 кг) = 3 · 2 · кг = (3 · 2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых рав­на Е₁, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁, равна а × b.

Следствие. Умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Е₁, то произведение а× b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:а× в = т_Е (Х) × т_Е1 (Е) = т_Е1 (Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей тексто­вых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4×3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = m_Е (Х), 3 = m_Е1 (Е), где Х – измеряемая величина, Е – первоначальная единица величины, а Е₁ – новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = m_Е1 (X), т.е. 4×3 – это численное значение длины Х при единице длины Е₁. Рассмотрим рисунок 5, б). Пусть Х – длина отрезка. Если Е- первоначальная единица длины, то = 4× Е. Если Е₁ – новая единица длины, такая, что Е = 3Е₁, то Х = 4 ×Е= 4 × (3×Е₁) = (4× 3) Е₁.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В од­ной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?»

Решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице – ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3× кор. = 3× (6 руч.) = 3 × (6× руч.) = (3× 6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной еди­ницы величины (коробка) к другой – ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, получен­ных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки на­до разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что 1 пакет – это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице – пакет, можно представить в таком виде:

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а : b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше. Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с перехо­дом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное чис­ло а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное чис­ло b – мера новой единицы длины Е₁ при единице длины Е, то част­ное а: b – это мера длины отрезка х при единице длины Е₁:

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин.

Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?»

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице – платье, можно представить в таком виде:

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины (метр) к другой (платье), более крупной.

Итак, умножение и деление натуральных чисел – мер величин оказалось связанным с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каж­дом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2 × 3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А × х, где х – натуральное число, В и А – величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» и «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса кар­тофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи, то мож­но сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3 × 2, получим ответ на вопрос задачи.

Источник