Что называют алгебраической формой комплексного числа
Комплексные числа
 Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
| Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Комплексно сопряженные числа |
| Модуль комплексного числа |
| Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
| Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
| Аргумент комплексного числа |
| Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
| Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
| Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
| Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Комплексно сопряженные числа
|  |
|  |
|  |
|  |
|  |
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
|  |
|  |
|  |
|  |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Тогда оказывается справедливым равенство:
 | (3) |
 | (4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
| Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
| Положительная вещественная полуось |  |  |  | |
| Положительная мнимая полуось |  |  |  | |
| Второй квадрант |  |  |  | |
| Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
| Знаки x и y | ||||
| Главное значение аргумента | 0 | |||
| Аргумент | φ = 2kπ | |||
| Примеры |  |
значение
аргумента
значение
аргумента
значение
аргумента
x z
квадрант
x z
мнимая
полуось
y z
квадрант
Положительная вещественная полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Главное значение аргумента:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Отрицательная мнимая полуось
x z = x + i y может быть записано в виде
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел 
и 
записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть 
— произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
следствием которых являются равенства
 | (9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
 | (10) |
то по формуле (10) получаем:
Лекция по математике. Тема:»Комплексные числа и действия с ними»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Комплексные числа и действия с ними
1 . Введение понятия комплексного числа.
2.Алгебраична форма комплексного числа.
3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1 . Введение понятия комплексного числа.
Таким образом, на каждом этапе необходимость расширения понятия числа связана с тем, что в имеющемся множестве чисел не всегда решаются отдельные важные задачи, т. е. не всегда выполнимы некоторые операции и новые числа вводятся так, чтобы рассматриваемые операции стали выполнимыми.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
2. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
3.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное 
.
.
.
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите : (4 + 2i) 3
1.Выполнить сложение комплексних чисел:
(3+2ί) + (-1-5ί) = (3-1) + (2-5)ί = 2-3ί
(4-5ί) + (2-ί) = (4+2) + (-5-1)ί = 6-6ί
(2+3ί) + (6-3ί) = (2+6) + (3-3)ί= 8
(10 – 3ί) + (-10+3ί) = (10-10) + (-3+3)ί = 0
2.Выполнить вычитание комплексних чисел.
(3+4ί) – (1+2ί) = (3-1) + (4-2)ί = 2 + 2ί;
(6+7ί) – (6-5ί) = (6-6) + (7+5)ί = 12ί;
(0,3+2,5ί) – (-0,75+1,5ί) = (0,3+0,75ί) + (2,5-1,5ί) = 1,05+ί;
1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.
3. Выполнить умножение комплексних чисел.
4. Найти произведение комплексних чисел.
(3/4+2/5ί)(3/4-2/5ί) = 9/16+4/25 = 289/400.
5. Разложить на множители двучлен
6. Найти частное комплексних чисел.
7. Возвести в степень двучлени:
Вопросы для самопроверки :
1. Имеет уравнение 
решение на множестве комплексных чисел?
2.Что називается комплексним числом?
3. Назовите мнимую и действительную части комплексного числа и какими символами их обозначают?
4. В каком случае комплексное число совпадает с действительным числом?
5. В каком случае комплексное число называется чисто мнимым?
6. Имеет смысл понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел?
7.Какие комплексные числа называются сопряженными?
8.Что называется суммой двух комплексных чисел?
9.Какие комплексные числа называют противоположными?
10.Что называется разностью двух комплексных чисел?
11. Что называется произведением двух комплексных чисел?
12.Что называется частным двух комплексных чисел?
Лекция по высшей математике «Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Алгебраическая форма комплексного числа.
Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного числа ; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;
воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.
Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.
Определение комплексного числа.
Алгебраическая форма комплексного числа.
Например: 
Например: 
и 
и 
.
Теорема. Люб ая натуральн ая степень числа і может быть преобразован а к
Пусть m =4 k +3, тогда і м 
Пример. Вычислить значение выражения 
.
Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:
1) разделить показатель степени на 4;
Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так: 
(ре зет), 
(им зет).
Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z = а + b і называют bi.
Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.
Определение. Комплексное число (-а- bi ) называется противоположным комплексному числу
Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые
части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и
обозначаются соответственно 
и 
.
3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Сложение комплексных чисел
Определение. Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется
комплексное число 
.
Итак, 
(1)
Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.
Сумма сопряженных чисел всегда является действительн ым числом 
то есть, 
. (2)
Вычитание комплексных чисел
Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое
комплексное число 
, которое в сумме с числом 
дает число 
.
Вычитание комплексных чисел всегда возможно.
Теорема. Для любых комплексных чисел и всегда существует разница 
, которая определена однозначно.
Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности
Получается, 
(3)
Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом. 
,
то есть, 
(4)
Умножение комплексных чисел
Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число, которое определяется формулой: 
(5)
В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом 
. 
Пример. Найти значение выражения 
.
Решение: 
.
Деление комплексных чисел
Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое
комплексное число z, которое в произведении с дает .
Всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.
Теорема. Частное 
определено и к тому же однозначно для всех комплексных чисел 
и 
, если только 
, то есть 
.
(7)
Пример. Вычислить значение выражения 
.
Решение: 
Над комплексными числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в алгебраической форме довольно трудоемкое.
Закрепление изученного материала.
1. Вычислить: 
2. Среди приведенных примеров укажите :
а) чисто мнимые комплексные числа;
б) чисто действительные комплексные числа;
в) сопряженные комплексные числа;
г) равные комплексные числа:
3. Выполнить действия: 
Ответ. 
4. На основании равенства комплексных чисел найти действительные числа 
и 
если 
Ответ. 
5. Решить квадратные уравнения и проверить выполнение теоремы Виета:
а) 
б) 
Ответ. а) 
б) 
1.Дать определение комплексного числа.
2.Сформулировать определение мнимой единицы.
3.Как найти степень мнимой единицы.
4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?
5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.
6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.
7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).
Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).
Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.