Что называют алгебраическим выражением
Алгебраические выражения определение, виды, формулы, математические действия, смысл значений, примеры преобразований и упрощений
Запись, состоящую из совокупности буквенных и числовых величин или их отдельных значений, называют алгебраическим выражением. Вместе с ними могут использоваться и разделительные знаки, обозначающие арифметические действия. Обязательным условием при этом должен быть смысл значения, а не бессмысленный набор символов. Выражение является базовым понятием в математике, поэтому неважно, явная это запись или нет. Под ней всегда понимается численное значение.
Математические термины
Алгебра — это наука, изучающая действия над числовыми и буквенными величинами. Кроме того, она занимается решениями уравнений и связанными с ними действиями. Под буквенными величинами обычно понимают конкретные или переменные числовые значения. Входящие в состав записи буквы могут иметь различные числовые величины. Например, в формуле S * 4 + 12 символом S может быть заменена известная или неизвестная величина или даже целое выражение.
Математики под алгебраическим выражением понимают запись, составленную со смыслом, состоящую из букв и цифр, обозначающих числа. При этом она может содержать скобки и знаки арифметических действий. Исходя из этого простейшего определения можно утверждать, что формулы 2 * k — s, 4 * (y — 3/2), 0,89 * a — g * (9a + 4b), a 2 и (29p — 56) / log (a + c) являются примерами алгебраических выражений. Так как буквы в записях обозначают различные числа, то их считают переменными, а само уравнение — выражением с переменной.
Если же значение переменной известно и его можно подставить на место буквенного обозначения, то результат, полученный после выполнения указанных в уравнении действий, называется ответом алгебраического выражения. Но если число, подставляемое вместо буквы, приводит к бессмысленности записи, то оно считается недопустимым. Из этого можно сделать вывод, что одна и та же алгебраическая запись при различных величинах букв может иметь отличные значения.
На практике приходится сталкиваться с довольно сложными и громоздкими алгебраическими выражениями, поэтому над ними приходится выполнять ряд действий, правил, законов или использовать свойства для упрощения записи.
Кроме определений здесь применяется понятие «тождественность». Под ним понимают два выражения, для которых при любых значениях переменных, входящих в их состав, будет справедливо их равенство, например, 56* (x+с) = 56 * x + 56 * с.
Эти два выражения можно заменить друг другом или, выражаясь математическим языком, — «выполнить тождественное преобразование».
Виды выражений
В школе на уроках алгебры приходится сталкиваться с различными видами выражений. Обычно они состоят из нескольких членов. В математике существует группирование, объединяющее сходные элементы. Обучение понятиям начинают в седьмом классе с того, что приводят следующие определения:
Многочлен всегда подразумевает выполнение действий. При описании понятия используют и такие термины, как коэффициент, член, степень. Во время работы с одночленами применяют тождественное их приведение к стандартному виду.
В нём выражение представляют как произведение числового множителя и натуральной степени разных переменных, например, 2 * a, −x * 3.
Выражения в алгебре могут быть следующих видов:
Все указанные виды относят к простым, но с 7 класса алгебраические выражения будут усложняться. Сложный вид записи обычно состоит из многочлена, включающего в себя извлечение корня, логарифмы и возведение в степень, например, ln (x 2 — 1) * tg ((x + p) / cos x). И хоть среди них попадаются перечисленные типы, их относят к общему виду.
Вычисление сложных выражений подразумевает выполнение преобразований, которые позволят проще решить задание и найти правильный ответ.
Алгебраические действия
Решая задачу, приходится выполнять те или иные преобразования. Чаще всего сложность задания определяется громоздкостью и объёмом соответствующих преобразований, поэтому в школе на уроках элементарной математики часто попадаются задачи на упрощения.
Основу всех алгебраических действий составляют три закона. Это правила, касающиеся сложения и умножения: переставное, соединительное и распределительное. Но наряду с ними применяют и формулы сокращённого умножения.
На начальном этапе обучения рекомендуется даже записать данные правила отдельно на листик и пользоваться им, пока применение законов не дойдёт до автоматизма. Вот некоторые практические рекомендации, решаться с которыми примеры будут намного легче:
Не стоит забывать и о такой операции, как деление многочлена. Для этого используют метод столбика. Заключается он в размещении слагаемых многочлена в порядке убывания степени переменной и разделения первого слагаемого числителя многочлена на первое слагаемое знаменателя.
Затем результат умножают на делитель и отнимают ответ от делимого.
Применение преобразований
Алгебраические выражения, показывающие, что одна величина больше другой или равна ей, называют уравнениями и равенствами. При этом их используют для составления формул, то есть для записи, выражающей зависимость между двумя или несколькими переменными. Это удобно, так как преобразования позволяют привести формулу к простому для запоминания виду.
При решении примеров важно знать все существующие методы. Какой из них применять, конкретно указать нельзя, всё зависит от личных предпочтений и опыта решения подобных заданий. Например, пусть нужно упростить сложное выражение (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)).
Сначала можно попробовать разложить на множители делитель и делимое. Один из вариантов преобразования числителя следующий:
a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b) = a 3 b — b 3 c — a 3 c + b 3 c + c 3 (a — b) = ab (a 2 — b 2 ) = ab (a 2 — b 2 ) — c (a 3 — b 3 ) + c 3 (a — b) = (a — b) (ab (a + b) — c (a 2 + ab + b 2 ) + c 3 = (a — b) (a 2 b — a 2 c + ab 2 — abc + c 3 — cb 2 ) = (a — b) (a 2 (b — c) + ab (b — c) — c (b 2 — c 2 ) = (a — b) (b — c) (a 2 — c 2 + ab — cb) = (a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c).
По аналогии раскладывая знаменатель, можно прийти к результату: (a — b) (b — c) (a — c). В итоге получится равенство (a 3 (b — c) + b 3 (c — a) + c 3 (a — b)) / (a 2 (b — c) + b 2 (c — a) + c 2 (a — b)) = ((a — b) (b — c) (a — c) (a + b + c)) / ((a — b)(b — c)(a — c)) = a + b + c.
В числителе возможно выделить множитель (a — b) на том основании, что делимое равно нулю, когда a совпадает с b. Обычно в двух взаимно обратных операциях выполнение одной сложнее, чем другой. Это касается, в частности, выполнения умножения алгебраических выражений и разложения на множители или возведения в степень с извлечением корня. Например, легко увидеть, что (5 + 3 √2) 2 = 43 + 30 √2, но значительно труднее прочитать это равенство справа налево.
Следует помнить, что когда при решении задачи встречается выражение подкоренного вида √с + n * √k или √a + b√k, то необходимо попытаться добыть соответствующий корень. Если же это невозможно, то нужно воспользоваться подбором.
Если нужно упростить выражение √11 + 6 √ 2, то его можно представить как c + b √2. Следовательно, справедливо будет следующее равенство: 11 + 6 √2 = с 2 + 2b 2 + 2 cb √2. Поиск целых (рациональных) c и b приведёт к решению системы: a 2 + 2b 2 = 11, ab = 3.
При этом подобрать нужную пару целых легко: a = 3, b = 1, то есть можно записать равенство как √11 + 6√ 2 = 3 + √2.