Что называют аксиомой в геометрии
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Доказательство через синтез
Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.
Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.
Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.
Доказательство:
Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.
Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.
Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.
Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.
Доказательство через анализ
Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.
Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дан параллелограмм: ABCD.
Доказательство:
Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.
Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.
Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол напротив стороны а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Аксиомы стереометрии
Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.
В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.
Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.
Первая аксиома стереометрии
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.
Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.
Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).
На рисунке 1 изображена плоскость альфа.
Вторая аксиома стереометрии
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.
Третья аксиома стереометрии
Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.
Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).
Основные метрические понятия и аксиомы геометрии
Любая система аксиом геометрии подводит к основным метрическим понятиям — длине отрезка и величине угла. Как правило, в школьных учебниках эти измеряемые величины определяются либо их свойствами, либо аксиомами меры, например, в аксиоматике А.В. Погорелова. В любом случае считаются известными понятие множества действительных чисел и их основные свойства.
2. для любых точек и (аксиома симметрии).
2) для любого угла и любой точки внутри него (рис.В.1,а).
В качестве «единичного» угла, выбирается развернутый угол, величина которого принимается за (радиан) или за (градусов).
В дальнейшем мы будем использовать следующие две теоремы, которые, так или иначе, доказываются при любой принятой системе аксиом.
Теорема В.1 (об откладывании отрезка). На каждом луче от его начала можно отложить отрезок любой данной длины и притом только один.
Теорема В.2 (об откладывании угла). От каждого луча по данную сторону от него можно отложить угол заданной величины и притом только один.
Вместе с определением расстояния теорема В.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством неотрицательных действительных чисел и множеством точек луча. Если отрицательным действительным числам поставить в соответствие точки дополнительного луча (дополняющего данный луч до прямой), то получим числовую прямую (рис.В.1,б).
1. Понятие непрерывности множества действительных чисел, т.е. взаимно однозначного соответствия действительных чисел и точек числовой прямой, вводится и обосновывается в курсе математического анализа. В геометрии непрерывность прямой вводится, как правило, аксиоматически. Например, в аксиоматике Д. Гильберта непрерывность прямой следует из аксиомы о вложенных отрезках (аксиомы Архимеда) и аксиомы полноты.
3. Из пункта 2 следует, что процедура измерения отрезков должна быть дополнена предельным переходом, позволяющим получать последовательности отрезков, рациональные длины которых образуют сходящиеся числовые последовательности. Пополняя множество рациональных чисел пределами таких последовательностей, приходим к понятиям действительного числа и отрезка, имеющего длину, задаваемую положительным действительным числом.
Что называют аксиомой в геометрии
Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.
Аксиомы планиметрии.
Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»
Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.
Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.
Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
3. Аксиомы измерения
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:
Что называют аксиомой в геометрии?
Что такое теорема по геометрии?
Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. … Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств. Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.
Сколько аксиом в стереометрии евклидовой геометрии?
Основные понятия стереометрии — точка, прямая и плоскость. В Евклидовой геометрии основные свойства точки, прямой и плоскости, которые относятся к их взаимному расположению, выражены в 20 аксиомах.
Что такое теорема и доказательство теоремы в геометрии?
Ответ: Теорема — это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений. Доказательство теоремы — это рассуждения, устанавливающие справедливость теоремы.
Что такое аксиома в геометрии 7 класс?
Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствия из аксиомы.
Что такое теорема 7 класс?
Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы. 18. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Какие есть теоремы в геометрии?
Теоремы по математике и геометрии
Какие из ученых являются основоположниками неевклидовой геометрии?
ЛОБАЧЕВСКИЙ, НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ (1792–1856), русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Его называли «Коперником геометрии». Родился Николай Иванович 1 декабря 1792 в Нижнем Новгороде.
Сколько всего аксиом в общей системе аксиом?
Система из 20 аксиом поделена на 5 групп: аксиомы принадлежности: планиметрические: Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки.
Какие следствия из аксиом существуют в стереометрии?
1.2. Первые следствия из аксиом стереометрии
Что такое теорема и как ее доказать?
Определение. Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями.
Что такое доказательства в геометрии?
Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач … Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства. Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным.
Что такое теорема краткий ответ?
В математике теорема — это утверждение, которое было доказано на основе ранее установленных утверждений: других теорем и общепринятых утверждений, аксиом. Теорема является логическим следствием аксиом. … Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы.
Какие аксиомы?
Их всего 4: точка, прямая, плоскость и расстояние между точками.
В чем состоит аксиома Полуплоскостей?
Каждая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от данной прямой.
Что такое аксиома Приведите примеры аксиом?
Аксиома это теорема не требующая доказательства. Пример: две паралельные линии не пересекаются. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.