Что называют аксиомой в геометрии кратко

Аксиомы геометрии

При изучении свойств и признаков разных геометрических фигур мы
доказывали ряд теорем. Но при доказательстве этих теорем мы, как
правило, опирались на доказанные более ранние теоремы. На чем
же тогда основаны доказательства этих самых первых теорем геометрии?

Утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве
исходных положений, на основе которых доказываются другие теоремы
и строится вся геометрия. Исходные положения принято называть аксиомами.
Например, аксиомой является утверждение о том, что
через любые две точки проходит прямая, и притом одна.

Аксиома в геометрии — это утверждение, о свойстве
какой-либо геометрической фигуры, которое не
вызывает сомнений в истинности.

Существует множество аксиом, которые используются в доказательстве тех или иных
свойств геометрических фигур. Например сравнение геометрических фигур и двух
отрезков мы проводили с помощью метода наложения. Возможность этого наложения
вытекает из следующей аксиомы о том, что на любом луче от его начала можно
отложить отрезок, равный данному, и притом один. Сравнение двух углов углов
основано на аналогичной аксиоме о том, что от любого луча в заданную сторону
можно отложить угол, равный данному не развёрнутому углу, и притом только
один. Все эти аксиомы геометрии являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

В глубокой древности зародился такой подход к построению геометрии, когда сперва
формируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе доказываются другие
утверждения. Этот подход к построению геометрии был изложен в знаменитом сочинении
«Начала» древнегреческого ученого Евклида и сейчас используется в курсах геометрии.
Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Записывайся на онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Что называют аксиомой в геометрии кратко

Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.

Аксиомы планиметрии.

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.

Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:

1. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания

4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Аксиомы геометрии и следствия из них

Основными аксиомами геометрии Евклида являются утверждения о том, что:

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямых

В данной аксиоме подразумевается, что точки не совпадают.

Например, рассмотрим три различные точки прямой А, В и С. Точка В лежит между точками А и С. Также можно сказать:

Аксиома о расположении трех точек на прямой

При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

Аксиома о точке, которая делит прямую на части

При этом прямую a называют границей каждой из указанных полуплоскостей, и ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей

Аксиома о прямой и плоскости

Аксиомы об измерении отрезков и углов

Аксиомы геометрии об откладывании отрезков и углов

Точка С не лежит на прямой a, и через точку С проходит единственная прямая b, которая параллельна прямой a

Аксиома параллельных прямых

Совмещенные отрезки АВ и А1В1

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

Это означает, что если даны луч d с началом в точке О и отрезок AB, то на луче существует единственная точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

Это означает, что если даны луч ОК и неразвернутый угол BАС, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОК существует единственный луч ОТ, такой, что угол ВАС равен углу КОТ.

Так, что луч a совместиться с лучом a1, а луч b – с лучом b1

Так, что луч a совместиться с лучом b1, а луч b – с лучом a1

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

Основные аксиомы планиметрии. Виды углов

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Основные понятия планиметрии

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерениеуглов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле градусов.

2. Два основных факта об углах

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

3. Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

4. Острый и тупой угол

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком.

Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом.

А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Средний уровень

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Основные объекты и аксиомы планиметрии

Точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

I. Аксиомы принадлежности

Луч, отрезок, угол

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие «блюда» — луч, отрезок, угол.

1) ЛУЧ

2) ОТРЕЗОК

3) УГОЛ

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

На прошлом уроке мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии. Давайте еще раз повторим их.

Сегодня на уроке мы сформулируем и докажем некоторые следствия из этих аксиом. По аналогии с аксиомами следствия мы будем обозначать заглавной буквой С с нижним индексом.

Итак, первое следствие звучит так: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Докажем это. Рассмотрим прямую a и не лежащую на ней точку B. Нам необходимо доказать, что через прямую a и точку B проходит плоскость. Отметим на прямой a две точки C и D.

Точки B, C, D не лежат на одной прямой, поэтому согласно первой аксиоме, (а именно, тому что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна) через эти точки проходит некоторая плоскость α.

Поскольку точки C и D прямой a лежат в плоскости, то по второй аксиоме (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости) вся прямая a лежит в плоскости α.

Теперь давайте докажем единственность этой плоскости. Любая плоскость, которая проходит через прямую a и точку B проходит через точки B, C, D. То есть она совпадает с плоскостью α, поскольку по первой аксиоме, плоскость, которая проходит через три точки, не лежащие на одной прямой – единственная.

Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Тогда нам необходимо доказать, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой b точку B, не совпадающую с точкой А. Тогда из первого следствия, через прямую a и точку B можно провести плоскость α.

Так как точки А и B прямой b лежат в плоскости α, то по второй аксиоме мы получим, что вся прямая b лежит в плоскости α.

Поскольку через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость, то значит, любая плоскость, проходящая через прямые a и b совпадает с плоскостью α.

Таким образом, наша теорема доказана.

Решим несколько задач.

По второму следствию из аксиом стереометрии через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Значит, через данные прямые проведем плоскость альфа.

Проведем прямую, которая будет пересекать прямые, но не проходит через точку B. Эта прямая с каждой из данных прямых имеет по одной общей точке. Эти точки принадлежат построенной плоскости, поскольку прямые принадлежат этой плоскости.

Получаем, что две точки прямой принадлежат плоскости, значит, по второй аксиоме, вся прямая лежит в этой же плоскости.

Поскольку прямую мы проводили произвольно, то, очевидно, что каждая из прямых, которые будут пересекать исходные прямые будет лежать в этой же плоскости, что и требовалось доказать.

Задача. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Первое утверждение неверно, так как окружность и плоскость имеют две общие точки, если они пересекаются. То есть окружность не лежит в плоскости, а только пересекает ее.

Перейдем ко второму утверждению. По первой аксиоме через три точки, не лежащих на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Точки окружности не могут лежать на одной прямой, поэтому проведем через них плоскость.

Очевидно, что эти точки лежат в плоскости окружности, но поскольку аксиома говорит о том, что такая плоскость единственная, значит, окружность будет принадлежать этой плоскости. То есть второе утверждение верно.

По первой аксиоме через точки А, B, C проведем плоскость α. Так как прямая АB лежит в плоскости α, значит, точка D лежит в плоскости α.

Аналогично, поскольку прямая АC лежит в плоскости α, то и точка Е лежит в плоскости α. Получаем, что две точки прямой DE лежат в плоскости α. Применим вторую аксиому и получим, что вся прямая DE лежит в плоскости α.

Тогда точка F прямой DE тоже лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.

Поскольку стороны AB и АC лежат в плоскости α, значит, точки B и C лежат в этой плоскости, то есть, по второй аксиоме, сторона BC тоже лежит в этой плоскости. Точка M лежит на прямой BC, значит, она лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. Итак, сегодня на уроке мы повторили аксиомы стереометрии, сформулировали и доказали некоторые следствия из аксиом и рассмотрели задачи, на использование аксиом и следствий из них.

Что такое аксиома и теорема

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией: «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B.

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B, она совпадет с прямой a.

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным.

Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.

В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств. Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.

Аксиома — утверждение, которое не требует доказательств.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

Теорема — утверждение, которое требует доказательства.

Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

Примеры формулировок теорем:

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизустьбез искажений.

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы.

Что такое следствие в геометрии

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

Аксиомы геометрии

Аксиома —исходное положение о свойствах геометрических фигур, которое принимается без доказательстваи на основе которого далее доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия. Все аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Геометрия, в которой сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, называется евклидовой геометрией.

К аксиомам относятся следующие утверждения:

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямой

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

Аксиомы об измерении отрезков

Аксиома параллельности

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

презентация к уроку «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом» презентация к уроку по геометрии (10 класс) по теме

Аксиомы стереометрии Некоторые следствия из аксиом

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Основное понятие геометрии «лежать между» 4.

Следствия из аксиом стереометрии Следствие Чертеж Формулировка № 1 № 2 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Способы задания плоскости g 1. Плоскость можно провести через три точки. g 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1 Теорема 1 g Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А 1

Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Аксиомы элементарной геометрии

Существует три различных множества объектов; объекты первого множества называются точками, объекты второго — прямыми, объекты третьего — плоскостями. Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. Причем

между этими объектами, а также их группами могут существовать известные соотношения, которые обозначаются словами принадлежит, лежит между, конгруэнтен;

указанные соотношения должны удовлетворять двадцати аксиомам, перечисленным ниже;

в остальном природа объектов и соотношений между ними может быть произвольной.

Аксиомы делятся на пять групп:

Соотношение принадлежит определено только между точками и прямыми, либо между точками и плоскостями, либо между прямыми и плоскостями.

Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Замечание 1. Аксиомы 1–3 исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две различные плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не принадлежащая ей прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

Соотношение лежит между определено только для трех точек, принадлежащих прямой.

Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Замечание 2. Аксиомы 1–3 называются линейными аксиомами порядка.

Термин конгруэнтен, или равен, используется для задания соотношений между отрезками или между углами.

аналитическая геометрия,, аксиома архимеда, аксиома линейной полноты, аксиома паша, аксиоматика, аксиомы элементарной геометрии

Источник