Что называют аксиомой в геометрии 10 класс

§ 1. Аксиомы стереометрии

1.1 Аксиома плоскости

Изучение стереометрии мы начинаем с формулировки её аксиом — тех её утверждений, которые принимаются без доказательства. Исходя из них, получим выводы стереометрии путём логических рассуждений.

Как уже было сказано в предисловии, геометрию на плоскости — планиметрию — мы считаем известной. Поэтому в стереометрии принимаем как определение: плоскостями называются фигуры, на которых выполняется планиметрия и для которых верны аксиомы стереометрии.

Вторую часть аксиомы плоскости можно выразить ещё и так: через каждые три точки можно провести плоскость — или так: любые три точки лежат в одной плоскости.

Говоря «существуют плоскости», мы подчёркиваем, что пространство не исчерпывается только одной плоскостью.

Сделаем несколько выводов из аксиомы плоскости.

Следствие 1. Множество точек пространства бесконечно.

Доказательство. В пространстве есть плоскости, а на каждой плоскости, как известно из планиметрии, множество точек бесконечно. ¦

Следствие 2. Через каждую одну или две точки проходит плоскость (а не только через три).

Докажите его самостоятельно.

Следствие 3. В пространстве через каждые две точки проходит прямая.

Доказательство. В пространстве через каждые две точки проходит плоскость, а в плоскости через каждые две точки проходит прямая. ¦

1.2 Аксиома пересечения плоскостей

Взаимное расположение двух плоскостей. Напомним, что пересечение двух фигур — это их общая часть.

Сказанное в аксиоме означает, что пересечение двух плоскостей а и Р является прямой как на одной, так и на другой плоскости. Например, пересечение двух стен, стены и потолка.

Две плоскости, имеющие общую точку и тем самым (по аксиоме 2) общую прямую, называются пересекающимися. О них говорят: две плоскости пересекаются по прямой или, короче, плоскости пересекаются.

В аксиоме 2 говорится о пересечении в пространстве двух плоскостей. Используя эту аксиому, находят пересечения плоскостей и с другими пространственными фигурами, например с многогранниками. Их называют сечениями многогранников.

Итак, сечением многогранника Р плоскостью а (в случае, когда Р и а имеют общую точку X) называется фигура, состоящая из общих точек многогранника Р и плоскости а (фигура Q на рисунке 8).

Строить сечения многогранников мы начнём с первых уроков. Позднее будут рассмотрены сечения шаров, сфер, конусов, цилиндров плоскостями.

1.3 Аксиома о прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости

Другими словами: если две точки данной прямой принадлежат данной плоскости, то прямая содержится в плоскости (рис. 9).

Из этой аксиомы следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она может иметь с нею не более одной общей точки, т. е. лишь одну, или вообще не иметь.

Замечание. Характерным свойством плоскости, выраженным в аксиоме 3, пользуются на практике. Например, когда проверяют, ровно ли оштукатурена плоская стена, натягивают шнур вдоль неё в различных направлениях (рис. 11). Шнур, прикасаясь к стене в двух точках, должен целиком лечь на неё и не изогнуться. На практике проверить, что поверхность какого-то предмета плоская, можно с помощью линейки. Если, прикладывая линейку к поверхности во всевозможных направлениях, мы нигде не получим зазора, значит, поверхность плоская.

1.4 Аксиома расстояния. Равенство фигур

Через каждые две точки в пространстве проходят плоскости. На каждой плоскости выполняется планиметрия. Следовательно, на каждой плоскости между двумя выбранными точками есть определённое расстояние — длина соединяющего их отрезка. Хотя две точки принадлежат одновременно разным плоскостям, но расстояние между ними на каждой из этих плоскостей будет одно и то же. Выразим это как аксиому.

Расстояние между точками А и В будем обозначать так же, как отрезок, — АВ либо, когда важно подчеркнуть, что речь идёт не об отрезке, а о его длине, так: |АБ|.

После того как выбран единичный отрезок, длина каждого отрезка выражается положительным числом. К этому числу приписывают название единичного отрезка: 3 см, 2,5 км и т. д. Если единичный отрезок не имеет названия, а длина отрезка АВ равна, например, 7 единицам длины, то пишем АВ = 7, что является сокращением записи АВ = 7 ед. В дальнейшем мы считаем, что единичный отрезок фиксирован.

Аксиома расстояния позволяет сравнивать фигуры на разных плоскостях, в частности, применять теоремы о равенстве и подобии треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Пользуясь понятием расстояния, можно определить равенство и подобие фигур в пространстве буквально так же, как это было сделано в планиметрии. Две фигуры называются равными, если существует соответствие между их точками, при котором расстояния между парами соответствующих точек равны.

1.5 Аксиома разбиения пространства плоскостью

Плоскость, ограничивающую полупространство, называют его границей.

1.6 Основные теоремы о треугольниках

Мы определили плоскости как фигуры, на которых выполняется планиметрия, а потому для них имеют место все выводы планиметрии. Напомним важнейшие теоремы о треугольниках и решим, применяя их, несколько интересных задач. Одной из важных задач планиметрии является задача о решении треугольников, т. е. о выражении одних элементов треугольника через другие его элементы. Решая треугольники, опираются на четыре основные теоремы о треугольниках. Напомним их. Во-первых, это теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180° (рис. 14).

Во-вторых, это теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов (рис. 15).

В-третьих, это обобщение теоремы Пифагора (ОТП), которое называют теоремой косинусов: в каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними (рис. 16).

Наконец, в-четвёртых, это теорема синусов: в каждом треугольнике его стороны пропорциональны синусам противолежащих им углов (рис. 17).

Напомним также, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника и его высоты, проведённой к этой стороне (рис. 18, а), и площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними (рис. 18, б), а также по формуле Герона

где а, Ь, с — стороны треугольника, р = 0,5 (а + b + с) — его полу периметр.

Решим теперь три задачи о треугольниках: зная три стороны треугольника, найдём его высоты, медианы и биссектрисы.

Задача 1: вычисление высоты треугольника. Решить эту задачу можно, опираясь на теорему Пифагора. Пусть заданы стороны а, Ь, с треугольника ABC и требуется найти его высоты h_a, h_b, h_c. Например, пусть а = 8, Ь = 7, с — 9. Как здесь быть? Теорема Пифагора позволяет решить такую задачу на вычисление. Пусть AD — искомая высота (рис. 19, а).

Обозначим через х отрезок BD. Тогда

Две другие высоты этого треугольника найдите самостоятельно.

Если повторить проведённое нами решение в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях) с тем же чертежом, то для отрезка х получим такое выражение:

и уравнение относительно х будет иметь вид

Решая его, получаем выражение (3) для х. А для высоты h_a получаем такую формулу:

Задача 2: вычисление медианы треугольника. Пусть заданы стороны а, Ь, с треугольника ABC и требуется найти его медианы m_а, m_b, m_с.

Решая задачи о медиане треугольника, часто бывает полезно продлить её на равный ей отрезок и построить параллелограмм, в котором удвоенная медиана является диагональю. Например, продлим медиану тс = СМ треугольника АБС на отрезок МК = СМ и рассмотрим параллелограмм АКВС (рис. 20).

В этом параллелограмме стороны равны а и Ь, диагональ АВ — с и диагональ С К — 2m_с. А для сторон и диагоналей параллелограмма имеет место следующая теорема: сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Эта теорема — простое следствие ОТП. Докажем её для параллелограмма АКВС.

АВ 2 + СК 2 — 2 (а 2 + b 2 ). (5)

Если теперь в (5) подставить АВ = с и СК = 2m_с а затем выразить тс> то для вычисления медианы тс получим такую формулу:

Задача 3: вычисление биссектрисы треугольника. Чтобы решить задачу о вычислении биссектрисы треугольника, сначала докажем такое свойство биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника разбивает его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведём его биссектрису AM (рис. 21). Из точки М проведём высоты МН и МК треугольников АВМ и ACM. Так как точка М равноудалена от лучей АВ и АС, то МН = МК. Поэтому отношение площадей S 1 и S 2 треугольников АВМ и ACM равно отношению их сторон АВ и АС, т. е. S 1 : S 2 = АВ : АС. С другой стороны, треугольники АВМ и ACM имеют одну и ту же высоту — высоту треугольника АБС, опущенную из вершины А. Поэтому S 1 : S 2 = BM : CM. Из этих двух равенств и следует, что АВ : АС = БМ : СМ.

Переходим к вычислению биссектрисы СК треугольника АБС, стороны а, Ь, с которого известны (рис.22). Пусть СК = х.

Используя свойство биссектрисы, получаем, что

Выражаем по ОТП равные друг другу косинусы углов АС К и ВСК и приравниваем эти выражения. Получим

Выражая х2 из равенства (7), получаем

Выражая х 2 из равенства (7), получаем

Решая задачи о вычислении высот, медиан и биссектрис треугольника, мы пока не использовали теорему синусов. Применим её (многократно!) для доказательства красивой теоремы, которую доказал в 1678 году итальянский математик Джованни Чева (1648—1734). Она формулируется так: