Что называется волновым пакетом

Волновой пакет

Полезное

Смотреть что такое «Волновой пакет» в других словарях:

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ — занимающее ограниченный объем и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Большой Энциклопедический словарь

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ — распространяющееся волн. поле, занимающее в каждый момент времени огранич. область пр ва. Возникновение В. п. возможно у волн любой природы (звуковых, эл. магн. и т. п.). Такой волн. «всплеск» в нек рой области пр ва может быть разложен на сумму… … Физическая энциклопедия

волновой пакет — цуг волн Последовательность непрерывных упругих волн, исходящих из одного источника и распространяющихся в одном направлении. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное… … Справочник технического переводчика

Волновой пакет — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей … Википедия

волновой пакет — занимающее ограниченный объём и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Энциклопедический словарь

волновой пакет — bangų paketas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. groupe d ondes, m … Radioelektronikos terminų žodynas

волновой пакет — banginis paketas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. paquet d’ondes, m … Fizikos terminų žodynas

волновой пакет акустической эмиссии — Механический сигнал, порождаемый единичным актом акустической эмиссии. [ГОСТ 27655 88] Тематики акустические измерения … Справочник технического переводчика

Источник

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ

Полезное

Смотреть что такое «ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ» в других словарях:

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ — занимающее ограниченный объем и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Большой Энциклопедический словарь

волновой пакет — цуг волн Последовательность непрерывных упругих волн, исходящих из одного источника и распространяющихся в одном направлении. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное… … Справочник технического переводчика

Волновой пакет — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей … Википедия

волновой пакет — занимающее ограниченный объём и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Энциклопедический словарь

волновой пакет — bangų paketas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. groupe d ondes, m … Radioelektronikos terminų žodynas

волновой пакет — banginis paketas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. paquet d’ondes, m … Fizikos terminų žodynas

Волновой пакет — распространяющееся волновое поле, занимающее в каждый момент времени ограниченную область пространства. В. п. может возникнуть у волн любой природы (звуковых, электромагнитных и т.п.). Такой волновой «всплеск» в некоторой области… … Большая советская энциклопедия

волновой пакет акустической эмиссии — Механический сигнал, порождаемый единичным актом акустической эмиссии. [ГОСТ 27655 88] Тематики акустические измерения … Справочник технического переводчика

Источник

Волновой пакет. Групповая скорость волны

ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты w. Такую несинусоидальную волну называют группой волн, или волновым пакетом.

Дисперсией. называется зависимость свойства среды (например, скорость распространения волны) от частоты

Рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы равны нулю, ачастоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

Для результирующей волны получим:

/

Амплитуда А этой волны постоянной не является, а зависит от координаты х и времени:

Выражение для амплитуды волнового пакета также является уравнением плоской синусоидальной волны, которая является волной амплитуды колебаний. Фаза этой волны равна:

Скорость и распространения энергии волнового пакета наз. групповой скоростью, которая равна фазовой скорости волны амплитуды. Дифференцируя выражение для Ф_А и полагая Ф_А = const, получим:

.

В пределе, когда Dw и Δk стремятся к нулю, получим:

. (9.21)

С учетом того, что, формула (9.1) примет вид:

. (9.22)

Подставив в (9.2) выражение частоты через фазовую скорость u , и выполнив дифференцирование, получим:

. (9.23)

Формула (9.3) устанавливает соотношение между групповой и фазовой скоростью волн, и получила название формулы Рэлея. Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн (du/dl = 0) групповая скорость волн в пакете совпадает с их фазовой скоростью.

Так как скорость группы волн характеризует распространение амплитуды волнового пакета, то групповая скорость определяет скорость распространения энергии волны.

9.2 Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны.
Принцип Гюйгенса.

Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:

— волны должны быть синусоидальными,

— частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,

— разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,

— колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.

При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды. Поэтому явление интерференции не противоречит закону сохранения и превращения энергии. Примером интерференции волн является картина, создаваемая двумя колеблющимися тонкими стержнями, погруженными в жидкость и жестко связанными друг с другом так, что их амплитуды, частоты и начальные фазы одинаковы. На поверхности жидкости будет наблюдаться совокупность гребней и впадин, – максимумов и минимумов.

Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Например, волны, исходящие из точек А и В (рис. 9-1), будут когерентными, так как эти точки принадлежат волновому фронту одной и той же волны. Направления колебаний в этих точка также совпадают. Поэтому, в точке О будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны. В результате дифракции колебания наблюдаются даже в тех местах, которые «закрыты» препятствием на пути волны.

Все синусоидальные волны распространяются в среде независимо друг от друга, так что результирующее смещение любой частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных каждой из волн в отдельности. Этот результат справедлив для волн любой природы и называется принципом суперпозиции волн. На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.

Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.

На границе раздела упругих сред механические волны частично преломляются и частично отражаются. Направление колебаний частиц среды и их частота в отраженной волне не изменяются. При полном отражении не изменяется и амплитуда колебаний. При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на p. В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна. Найдем уравнение стоячей волны для полного отражения. Если уравнение падающей волны s₁ = Acos(wt – kx), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S₂ = Acos(wt + kx). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:

Поскольку k = 2p/l, то имеем

. (9.5)

Уравнение (9.5) есть уравнение стоячей волны. Из (9.5) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты w, что и у встречных волн. Величина является амплитудой стоячей волны. В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …), (9.6)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей:

, (n = 0, 1, 2, 3, …). (9.7)

В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:

, (n = 0, 1, 2, …). (9.8)

Расстояние между соседними узлами или пучностями равна и называется длиной стоячей волны.

Стоячие волны энергии не переносят. В пучностях стоячей волны кинетическая энергия максимальна, а в узлах максимальна потенциальная энергия.

Источник

Волновые пакеты. Фазовая и групповая скорость. (лекция 3)

Монохроматическая волна или монохроматическое излучение – это ЭМ излучение одной определенной и строго постоянной частоты и записывается так:

E = Acos(wt – kz + α)

Монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность «горбов» и «впадин», перемещающихся вдоль оси z с фазовой скор. v = w/k

Сигналы можно передавать в виде импульса. Согласно теореме Фурье подобный импульс можно представить как наложение волн вида E = Acos(wt – kz + α) с частотами, заключенными в узком интервале. Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется «волновым пакетом» или «группой волн».

Индекс w при А, α и k указывает на то, что эти величины для различных частот различны.

Рассмотрим простейший случай волнового пакета, образованного двумя монохроматическими волнами с частотами, w₁ и w₂ отличающимися друг от друга на очень небольшую величину.

— это огибающая функция модуляции

В данном случае огибающей является монохроматическая волна с меньшей частотой. Складывая большое число монохроматических волн можно получить функцию модуляции любой формы и построить волновой пакет.

Характеристикой волнового пакета являются его ширина: , где Δw – среднеквадратичное или стандартное отклонение величины w от w̅.

Скорость волнового пакета называется групповой скоростью:

Среда, в которой есть зависимость называется дисперсионной средой.

Для световых волн дисперсией называют зависимость показателя преломления вещества от длины света волны:

Если среда не обладает дисперсией, то все гармонические монохроматические волны распространяются с одинаковой скоростью и пакет ведет себя как стационарный и фазовая скорость равна групповой (V = U).

При наличии дисперсии может быть как V > U, так и V

Источник

Волновой пакет

В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локальной вероятности физического объекта задается положением пакетного решения. Более того, чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульсов волны. Этот компромисс между спредом позиции и спредом импульса является характерной чертой принципа неопределенности Гейзенберга и будет проиллюстрирован ниже.

Содержание

Историческая справка [ править ]

Идеи квантовой механики продолжали развиваться на протяжении всего ХХ века. Созданная картина представляла собой мир из частиц, в котором все явления и материя состоят из отдельных частиц и взаимодействуют с ними; однако эти частицы описывались волной вероятности. Взаимодействия, местоположения и вся физика будут сведены к расчетам этих амплитуд вероятности.

Базовое поведение [ править ]

Недисперсионный [ править ]

В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики

Для упрощения рассмотрим только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение

e^\,dk.>

Фактор 1 / _{√ 2я} происходит от преобразования Фурье конвенции. Амплитуда A (k) содержит коэффициенты линейной суперпозиции плоских волновых решений. Эти коэффициенты, в свою очередь, могут быть выражены как функция от u (x, t), вычисленная при t = 0 путем инвертирования соотношения преобразования Фурье, приведенного выше:

e^<-ikx>\,dx.>

Бездисперсное распространение действительной или мнимой части этого волнового пакета представлено на анимации выше.

Дисперсный [ править ]

Напротив, в качестве примера распространения теперь с дисперсией рассмотрим вместо этого решения уравнения Шредингера (Pauli 2000, где m и ħ установлены равными единице),

что дает дисперсионное соотношение

\psi (x,0)=<\sqrt[<4>]<2>>\exp(<-x^<2>+ik_<0>x>)>

.\end>>

Впечатление о дисперсионном поведении этого волнового пакета получается, если посмотреть на плотность вероятности:

.>

Профиль импульса A (k) остается неизменным. Тока вероятности является

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике [ править ]

Вышеупомянутый дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормализованный и просто центрированный в начале координат, вместо этого, при t = 0, теперь может быть записан в 3D, теперь в стандартных единицах: [3] [4]

т.е. насыщает соотношение неопределенностей ),

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что решение с преобразованием Фурье с временной зависимостью имеет вид

Обратное преобразование Фурье по-прежнему гауссово, но теперь параметр a стал сложным, и есть общий коэффициент нормализации. [5]

Интеграл Ф во всем пространстве инвариантен, потому что это скалярное произведение Ф с состоянием нулевой энергии, которая является волной с бесконечной длиной волной, с постоянной функцией пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) скалярное произведение

Интеграл ∫ | Ψ | 2 d 3 r также является инвариантом, что является утверждением сохранения вероятности. Ясно,

e^ <-\cdot \mathbf \over a^<2>+(\hbar t/m)^<2>>>,>

Поезд волн Эйри [ править ]

\mathrm \left(2^<2>\left(Bx+\over B^<2>>-2Bpt\right)\right).\end>>

В 2018 году совместными усилиями исследователей из израильских, немецких и американских университетов было проведено первое экспериментальное наблюдение кубической фазы ускоряющихся волновых пакетов Эйри. [9]

Бесплатный пропагатор [ править ]

ψ 0 ( x ) = 1 2 π ϵ e − x 2 2 ϵ <\displaystyle \psi _<0>(x)=<1 \over <\sqrt <2\pi \epsilon>>>e^ <-\over 2\epsilon >>\,>

K t ( x ) = 1 2 π ( i t + ϵ ) e − x 2 2 i t + ϵ <\displaystyle K_(x)=<1 \over <\sqrt <2\pi (it+\epsilon )>>>e^ <-x^<2>\over 2it+\epsilon >\,>

Далее обратите внимание, что норма волновой функции бесконечна, что также верно, поскольку квадрат дельта-функции расходится таким же образом.

Фактор, включающий ε, является бесконечно малой величиной, которая нужна для того, чтобы убедиться, что интегралы по K правильно определены. В пределе ε → 0 K становится чисто осциллирующим, и интегралы от K не сходятся абсолютно. В оставшейся части этого раздела он будет установлен в ноль, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были четко определены, предел ε → 0 должен приниматься только после вычисления конечного состояния.

В пределе, когда t мало, пропагатор, конечно, переходит к дельта-функции:

,>

но только в смысле распределений : интеграл от этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую пробную функцию, дает значение пробной функции в нуле.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1,

так как этот интеграл является скалярным произведением K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время невелико, есть быстрые сокращения фазы во всех точках, кроме одной. Это строго верно, когда предел ε → 0 берется в самом конце.

она становится колебательной волной,

Теперь, поскольку каждую функцию можно записать как взвешенную сумму таких узких пиков,

Поскольку амплитуду, идущую от x к y по прошествии времени t + t ‘, можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству композиции,

,>

Аналитическое продолжение диффузии [ править ]

,>

где множитель 2, который можно удалить, изменяя масштаб во времени или пространстве, используется только для удобства.

Решением этого уравнения является гауссиан растекания,

,>

и, поскольку интеграл от ρ _t постоянен, а ширина сужается на малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при t = 0,

lim t → 0 ρ t ( x ) = δ ( x ) <\displaystyle \lim _\rho _(x)=\delta (x)\,>

опять же только в смысле распределений, так что

lim t → 0 ∫ x f ( x ) ρ t ( x ) = f ( 0 ) <\displaystyle \lim _\int _f(x)\rho _(x)=f(0)\,>

который является оператором бесконечно малой диффузии,

Матрица имеет два индекса, которые в непрерывном пространстве делают ее функцией от x и x ‘. В этом случае, из-за инвариантности перевода, матричный элемент K зависит только от разницы позиций, и удобное злоупотребление обозначениями состоит в том, чтобы ссылаться на оператор, матричные элементы и функцию разности с тем же именем:

Трансляционная инвариантность означает, что непрерывное умножение матриц,

Экспонента может быть определена в диапазоне t s, который включает комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися,

который иллюстрирует указанную выше эволюцию гауссианов во времени.

Исходя из фундаментальной сущности возведения в степень или интеграции путей,

ψ 0 ( x ) = K a ( x ) = K a ∗ δ ( x ) <\displaystyle \psi _<0>(x)=K_(x)=K_*\delta (x)\,>

составляет состояние, эволюционировавшее во времени,

Это иллюстрирует указанную выше диффузную форму комплексных гауссовских решений,

См. Также [ править ]

Источник