Что называется внешним углом выпуклого многоугольника

Понятие многоугольника. Что такое многоугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.

Существуют три варианта определения многоугольников:

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом

Многоугольник называют выпуклым, при условии, что одно из следующих условий является верным:

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Классификация (виды) многоугольников

Классификация многоугольников по видам может быть по многим свойствам, самые главные из них:

Выпуклый многоугольник лежит всегда по одну сторону от прямой, которая содержит любую из его сторон. (см. выше)

У правильного многоугольника равны все стороны и углы. Благодаря этому, они обладают некоторыми особыми свойствами (см. квадрат).

Самопересекающиеся многоугольники также могут быть правильными. Например, пентаграмма («пятиконечная звезда»).

Также многоугольники можно различать по отношению к возможности вписать в многоугольник или описать окружность около многоугольника. Могут быть многоугольники, вокруг которых нельзя описать окружность, а также вписать ее. Вместе с тем, вокруг любого треугольника всегда можно описать окружность.

Свойства многоугольника

Источник

Задачи для самостоятельного решения

1. Верно ли, что любая замкнутая ломаная разбивает плоскость на две области?

2. Проверьте, что линия, изображенная на рисунке 9, является простой замкнутой ломаной. Выясните, какие из данных точек лежат внутри, а какие вне этой ломаной.

3. Укажите, какие из представленных на рисунке 10 фигур являют­ся многоугольниками, а какие нет.

Ответ: б) и г) – многоугольники; а) и в) – нет.

5. Может ли многоугольник иметь: а) 10 диагоналей; б) 20 диагона­лей; в) 30 диагоналей?

Ответ: а), в) Нет; б) да.

6. Существует ли многоугольник: а) число диагоналей которого равно числу его сторон; б) число диагоналей которого меньше числа его сторон; в) число диагоналей которого больше числа его сторон?

Ответ: а) Да, пятиугольник; б) да, четырехугольник; в) да) шестиугольник.

7. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, состоящая из: а) 4-х сторон; б) 5-ти сторон; в) n сторон ( n – нечетно)?

9. Может ли прямая, не проходящая через вершины простой замкнутой ломаной, пересекать ее стороны в нечетном числе точек?

11*. Докажите, что у выпуклого многоугольника нет углов, больших развернутого.

12*. Докажите, что выпуклый многоугольник лежит в одной полуплос­кости относительно каждой прямой, содержащей его сторону.

Сумма углов многоугольника

Рассмотрим теперь произвольные замкнутые ломаные, возможно с самопересечениями A ₁ A ₂ … A_nA ₁ (рис. 12, а). Такие самопересекающиеся ломаные будем называть звездчатыми многоугольниками (рис. 12, б-г).

Если M – многоугольник, образован простой замкнутой ломаной, проходимой в направлении по часовой стрелке (рис. 13, а), то сумма углов этого многоугольника будет равна 180 ° ( n – 2). Если же ломаная проходится в направлении против часовой стрелки (рис. 13, б), то сумма углов будет равна 180 ° ( n + 2).

Таким образом, общая формула суммы углов многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, имеет вид

= 180 ° ( n 2),

Наша задача состоит в том, чтобы вывести формулу суммы углов произвольного многоугольника, образованного замкнутой (возможно самопересекающейся) ломаной. Для этого введем понятие степени многоугольника.

Степенью многоугольника называется число оборотов, совершаемой точкой при полном последовательном обходе его сторон. Причем обороты, совершаемые в направлении против часовой стрелки, считаются со знаком «+», а обороты по часовой стрелке – со знаком «-».

Ясно, что у многоугольника, образованного простой замкнутой ломаной, степень равна +1 или –1 в зависимости от направления обхода. Степень ломаной на рисунке 12, а равна двум. Степень звездчатых семиугольников (рис. 12, в, г) равна соответственно двум и трем.

Аналогичным образом понятие степени определяется и для замкнутых кривых на плоскости. Например, степень кривой, изображенной на рисунке 14 равна двум.

Теорема 4. Для произвольного многоугольника имеет место формула

= 180 ° ( n +2 m ),

Приводя подобные члены, получим

= 180 ° ( n 2 … 2) = 180 ° ( n+2 m),

Задачи для самостоятельного решения

1. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.

5. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

6. Изобразите многоугольник, имеющий четыре острых угла.

7. Найдите суммы углов семиконечной звездочки (рис. 17, б).

8. Чему равны степени звездчатых многоугольников на рисунке 18?

В основном курсе геометрии доказывается, что около всякого треугольника можно описать окружность. Оказывается, для четырехугольников это уже не имеет место.

Теорема 6. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда сум­мы его противоположных сторон равны.

Теорема Птолемея для четырехугольника, вписанного в окружность, утверждает, что произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Мы докажем более сильную теорему.

Теорема 7. Произведение диагоналей произвольного четырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается только в случае четырехугольника, вписанного в окружность.

Складывая почленно эти равенства, получим

Рассмотрим теперь пятиугольники, вписанные в окружность.

Доказательство следует из того, что углы A и C пятиугольника ABCDE опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE (рис. 22).

Естественный вопрос, который возникает после этого – является полученное условие достаточным для того, чтобы около пятиугольника можно было описать окружность?

Вернемся теперь к поставленному вопросу. Для ответа на него рассмотрим какую-нибудь окружность и разделим ее на дуги, равные удвоенным углам между диагоналями исходного пятиугольника, выходящим из одной вершины. Концы этих дуг будут вершинами искомого пятиугольника вписанного в окружность.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Ситуация с вписанными в окружность семиугольниками, девятиугольниками и т. д. аналогична рассмотренной ситуации с пятиугольниками.

Для вписанных многоугольников с четным числом сторон ситуация аналогична ситуации с вписанным четырехугольником.

Задачи для самостоятельного решения

1. Можно ли описать окружность около: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба?

Ответ: а), в) Нет; б) да.

2. Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы?

4. Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные углы, но неравные стороны?

Перейдем теперь к рассмотрению описанных многоугольников. Ситуация здесь в некотором смысле двойственная по отношению к вписанным многоугольникам. При этом стороны описанного многоугольника двойственны углам вписанного многоугольника. Так, например, если для вписанности четырехугольника необходимым и достаточным условием является равенство сумм противоположных углов, то для описанности выпуклого четырехугольника необходимым и достаточным условием является равенство сумм противоположных сторон. А именно, имеют место следующие теоремы.

Теорема 10. Суммы противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны.

Теорема 11. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Самостоятельно подумайте, где в доказательстве использовалась выпуклость четырехугольника. Приведите пример невыпуклого четырехугольника, у которого суммы противоположных сторон равны и в который нельзя вписать окружность.

Следующие теоремы, двойственные соответствующим теоремам для вписанных пятиугольников, предлагаем для самостоятельного доказательства.

Теорема 12. Сумма любых двух несмежных сторон описанного пятиугольника меньше суммы трех оставшихся сторон.

Сформулируем общие теоремы о вписанных и описанных многоугольниках. Их доказательства повторяют доказательства рассмотренных выше частных случаев.

Теорема VIII. Если сумма n несмежных сторон 2n-угольника равна сумме его остальных сторон, то существует 2n-угольник с такими же сторонами, в который можно вписать окружность.

Задачи для самостоятельного решения

1. Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) дельтоид (рис. 10)?

Ответ: а), б) Нет; в), г), д) да.

2. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность?

3. Можно ли вписать окружность в четырехугольник со сторонами 1, 2, 3, 4?

4. Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника?

5*. На рисунке 27 изображен четырехугольник ABCD и вневписанная в него окружность, касающаяся продолжений всех его сторон. Установите взаимосвязь между сторонами этого четырехугольника.

2. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

3. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.

5. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Части I, II. – М.: Наука, 1986.

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →