Что называется углом между двумя векторами

Угол между векторами.

Формула вычисления угла между векторами

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Как найти угол между векторами

Угол между векторами

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

Тупой:

Прямой:

С величиной \(0^\circ\) (то есть, векторы сонаправлены):

С величиной \(180^\circ\) (векторы направлены в противоположные стороны):

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.

Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения:

\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat<\overrightarrow a;\overrightarrow b>\right)\)

В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:

Расчет угла, если вектор задан координатами

Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:

то формула принимает такой вид:

Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат

В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.

Решение

Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:

После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Решение

Подставим известные значения:

Далее найдем угол между данными векторами:

Задача 2

Решение

Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:

Подставляем значения и получаем:

Теперь находим угол α:

Задача 3

Источник

Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя

векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое

характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.

Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое

равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение векторов формула:

Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта

операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.

Скалярное произведение векторов ,, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет

значения, т.е. ).

Еще используются такие обозначения: , , .

В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.

при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным

(неопределенным).

Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то .

Свойства скалярного произведения векторов.

1. — симметричность.

2. обозначается и зовется скалярный квадрат.

3. Если , то

4. Если и и и , то . Обратное утверждение тоже соответствует

5.

6.

7.

Если же векторы и заданы своими координатами: , , то: скалярное

произведение векторов, формула:

Формула для определения длины вектора:

Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов

Длина вектора , заданного своими координатами, равна:

Как определить угол между 2 векторами:

Как найти угол между двумя векторами , , формула:

Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если

же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы

ортогональны.

Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного

произведения двух векторов, заданных своими координатами).

Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте

рассмотрим этот вопрос:

Исходя из этого, координаты вектора АВ:

Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.

Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:

а) В двухмерном пространстве (плоскость):

Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:

б) В трехмерном пространстве:

Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:

Источник

Угол между векторами

1) Углом между векторами

называется угол BAC:

2) Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало.

Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, если один из векторов нулевой либо если оба вектора нулевые, то и в этом случае угол между векторами равен 0°.

Угол между равными векторами также равен 0°.

Угол между противоположно направленными векторами равен 180°.

Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы называются перпендикулярными.

Рассмотрим понятие угла между векторами на конкретных примерах.

Определить угол между векторами:

1) Данные векторы не сонаправлены.

Выберем некоторую точку и от неё отложим векторы, равные данным.

Угол между ними равен α.

Значит, и угол между данными векторами равен α.

2) Данные векторы противоположно направлены.

Значит, угол между ними равен 180°:

Проиллюстрируем этот результат, отложив векторы, равные данным, от одной точки:

3) Поскольку данные векторы сонаправлены, угол между ними равен 0°:

4) Отложим данные векторы от общего начала.

Так как угол между ними равен 90°:

Угол между векторами можно найти с помощью их скалярного произведения.

Источник

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Решение

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Решение

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Решение

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Источник