Что называется точкой приведения

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Точка приведения и направление силы Fnp могут быть выбраны произвольно. Чаще всего приведенная сила приводится к ведущему звену, а ее направление совпадает с направлением скорости точки приведения. Эквивалентность приведенной силы всем силам, приложенным к механизму, определяется по равенству их работ. [1]

Выбор точки приведения определяется в зависимости от отношения величины сосредоточенной массы к массе трубопровода. [5]

За точку приведения принимаем центр тяжести или центр изгиба сечения. В точке приведения помещаем начало прямоугольной системы координат. Ось х направляем по нормали к сечению, а оси у и z располагаем в его плоскости. Составляющие R и М рассматриваются для отсеченной части как внешние силы и пары и называются внутренними силовыми факторами. [8]

За точку приведения ( начальную точку) при дисконтировании принят конец первого квартала. [9]

В качестве точки приведения принимаем узловую точку С, прикладываем в ней силу Р и определяем кривые статического прогиба. [12]

При изменении точки приведения системы момент результирующей пары не меняется. Система эквивалентна одной результирующей паре, которую еще называют равнодействующей парой. [13]

Обычно за точку приведения принимается точка, имеющая траекторию движения, одинаковую с траекторией движения контактной системы. В существующих конструкциях траекторией является или прямая, или дуга окружности. [14]

Так как выбор точки приведения в общем случае может быть произвольным, то при рассмотрении сложного процесса, состоящего из ряда последовательных процессов сжатия или расширения с подводом энергии или без него, лучше всего выбрать одну и ту же точку приведения для всех рассматриваемых процессов. [15]

Источник

Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Приведение к точке плоской системы произвольно расположенных сил

Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произвольно выбранную точку — точку приведения. Применяют теорему Пуансо. При любом переносе силы в точку, не лежащую на линии ее действия, добавляют пару сил.

Появившиеся при переносе пары называют присоединенными парами.

Дана плоская система произвольно расположенных сил (рис. 5.2).

Переносим все силы в точку . Получим пучок сил в точке , который можно заменить одной силой — главным вектором системы. Образующуюся систему пар сил можно заменить одной эквивалентной парой — главным моментом системы.

Главный вектор равен геометрической сумме векторов произвольной плоской системы сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на оси, получим проекции главного вектора.

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно точки приведения.

Таким образом, произвольная плоская система сил приводится к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Влияние точки приведения

Точка приведения выбрана произвольно. При изменении положения точки приведения величина главного вектора не изменится.

Величина главного момента при переносе точки приведения изменится, т.к. меняются расстояния от векторов-сил до новой точки приведения.

С помощью теоремы Вариньона о моменте равнодействующей можно определить точку на плоскости, относительно которой главный момент равен нулю. Тогда произвольная плоская система сил может быть заменена одной силой.

Эту силу называют равнодействующей системы сил.

Численно равнодействующая равна главному вектору системы сил, но приложена в другой точке, относительно которой главный момент равен нулю. Равнодействующую принято обозначать .

Численно ее значение определяется так же, как главный вектор системы сил:

Точку приложения равнодействующей можно определить по формуле

где — расстояние от выбранной точки приведения до точки приложения равнодействующей;

— величина главного момента относительно выбранной точки приведения;

— величина главного вектора системы сил.

Частные случаи приведения системы сил к точке

При приведении системы сил к точке возможны следующие варианты:

Эта теория взята со страницы решения задач по предмету «техническая механика»:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Приведение силы к данной точке. Приведение плоской системы сил к данному центру

Приведение силы к данной точке. Приведение плоской системы сил к данному центру

тела параллельно. Для того чтобы действие, действующее на тело, не изменилось, необходимо приложить к нему пару в момент, равный моменту начальной силы, к точке, в которую она передается. Доказательство Пусть сила F приложена к телу в точке K

(рис. 4.1). Действие этой силы заключается в том,что в любой точке тела две Людмила Фирмаль

уравновешенные силы силы F ‘и F’ прикладываются параллельно силе F, где все силовые модули равны, система преобразования может быть выражена как сила F’, сила F передается параллельно из точки K в точку B для исходного положения, сила против силы F’.: M=Mb (f)=±F h, (4.1), где h-плечо этой пары, то есть длина перпендикуляра от точки B до линии действия силы F. Пара (F, F»),

образованная переносом точки приложения силы из точки K в точку B, называется присоединенной парой. Здесь рассмотрим системуприменяется в точке B2, лежащей в одной плоскости…, Соответственно, ВП. Возьмем любую точку С в этой плоскости и перенесем все силы, действующие на нее 32 года 4.1 Рис 4.2 g (рис. 4.2, а). Затем, согласно теореме,

g l=2P-(4.3) k=l Затем, используя теорему сложения VS, замените все присоединенные пары на те, которые находятся на одной плоскости, моменты которых равны 3-480 33ms

сформулировать следующим образом. Плоская система любой силы статически эквивалентна в своем действии:главный вектор этой системы FrJi приложен к центру редукции, главный момент для центра редукции 4.2 (6). Сила Frn не является результатом силы этой системы, потому что она заменяет эту систему не в одиночку, а вместе с присоединенной парой. Из определения основного вектора Frjl это означает, что он не изменяется при изменении центра приведения. Другими словами, если в качестве центра убывания взять разные точки плоскости, то сила GGL, равная основному

вектору, будет одинаковой как по модулю, так и по направлению. Величина главного момента зависит от положения центра редукции (если главный вектор не равен нулю), так как с изменением центра редукции изменяется плечо силы этой системы. Значение Frjl может быть определено либо методом анализа по формуле (1.6), либо геометрическим методом построения силового многоугольника. Значение МС определяется по формуле (4.4)

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ

— преобразование системы сил, приложенных к твёрдому телу, в другую, ей эквивалентную систему сил, в частности простейшую. В общем случае любая система сил, действующих на твёрдое тело, при приведении к произвольному центру О, называемому центром приведения, заменяется одной силой, равной геом. сумме (гл. вектору R )сил системы и приложенной в центре приведения, и одной парой с моментом, равным геом. сумме (гл. моменту ) всех сил системы относительно центра приведения. В зависимости от того, чему у данной системы сил равны и эта система может окончательно приводиться к одному из следующих простейших видов: а) к паре сил с моментом когда = 0, а 0; б) к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной когда 0, а == 0 или в) к динамическому винту, когда векторы и не равны нулю и не взаимно перпендикулярны. При = 0 и =0 система сил находится в равновесии. С. М. Тарг.

Полезное

Смотреть что такое «ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ» в других словарях:

Приведение сил — преобразование системы сил, приложенных к твёрдому телу, в другую, эквивалентную ей систему, в частности простейшую. В общем случае любая система сил при приведении к произвольному центру, называется центром приведения, заменяется одной… … Большая советская энциклопедия

ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ — замена системы сил, приложенных к твёрдому телу, другой эквивалентной ей системой. В общем случае любую систему сил, прилож. к твёрдому телу, можно заменить одной силой, равной геом. сумме (главному вектору) всех сил системы и приложенной в к. л … Большой энциклопедический политехнический словарь

приведение системы сил к данной точке — Операция замены системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентной ей системой сил, состоящей из одной силы, приложенной в данной точке, и пары сил. Примечание. Эта точка называется центром приведения, а саму операцию можно… … Справочник технического переводчика

приведение системы сил к данной точке — Операция замены системы сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, эквивалентной ей системой сил, состоящей из одной силы, приложенной в данной точке, и пары сил … Политехнический терминологический толковый словарь

Система базирования сил флота — расположенные в операционной зоне флота пункты постоянного и рассредоточенного базирования подводных лодок, надводных кораблей, авиации и других сил, а также сеть командных пунктов, узлов связи и наблюдения, ремонтных предприятий, складов оружия… … Морской словарь

СТРАТЕГИЧЕСКОЕ РАЗВЕРТЫВАНИЕ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ — комплекс мероприятий по переводу вооруженных сил на военное положение, созданию группировок вооруженных сил для ведения войны и завершению непосредственной подготовки к войне. Включает: перевод вооруженных сил с мирного на военное положение… … Юридическая энциклопедия

БАЛЛАСТИРОВКА ПОДВОДНОГО АППАРАТА — Приведение сил нагрузки и плавучести подводного аппарата к равновесию в подводном положении при нулевых углах крена и дифферента с помощью балласта. При проектировании количество твердого балласта и его положение по длине подводного аппарата… … Морской энциклопедический справочник

Нуль-система — система, состоящая из плоскостей и точек, находящихся в таком взаимном соответствии, что каждой плоскости соответствует вполне определенная лежащая в ней точка, называемая нулевой точкой, и каждой точке соответствует вполне определенная… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Океан-70 — У этого термина существуют и другие значения, см. Океан (значения). «Океан 70»[1], также «Океан 100»[2] или просто «Океан» кодовое название крупномасштабных манёвров (военно морских учений) Военно Морского Флота СССР, проходивших с 14… … Википедия

РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ — системы сил сила, к рая по её влиянию на движение твёрдого тела полностью эквивалентна рассматриваемой системе сил, прилож. к телу. Система сил имеет Р, только в том случае, если для неё существует такой центр приведения (см. Приведение сил),… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Источник

Лекция 4. Приведение системы сил к центру. Равновесие твердого тела

4.1. Приведение системы сил к центру

Как было показано ранее, если система сил сходящаяся, то она приводится к равнодействующей. Для этого все линии переносятся в одну точку вдоль своих линий действия. Как быть, если система сил, приложенных к телу, не является сходящейся?

По аналогии, мы вновь хотим отложить все силы от одной точки (тогда их можно будет складывать по правилу параллелограмма). Но теперь, чтобы добиться этого, придется сместить часть сил с их первоначальных линий действия. Чтобы произвести эти действия корректно, следует пользоваться теоремой, приведенной ниже.

Теорема (о параллельном переносе силы). Силу, приложенную к твердому телу, можно переносить в любую другую точку тела, не изменяя ее действия на тело. Для этого к ней надо присоединить пару с моментом, равным моменту исходной силы относительно той точки, куда она переносится.

Доказательство. Пусть сила \(\vec F\) приложена к точке A, и требуется перенести эту силу в точку B, не лежащую на ее линии действия (рис. 4.1 а). Воспользуемся второй аксиомой статики и присоединим к исходной силе еще две, \(\vec F’\) и \(\vec F»\), отложенные от точки B и уравновешивающие друг друга. При этом потребуем, чтобы векторы \(\vec F\) и \(\vec F’\) были равны (рис. 4.1 б).

Рис. 4.1. Доказательство теоремы о параллельном переносе силы

После такого построения сила \(\vec F’\), равная \(\vec F\), оказывается перенесенной в точку B, а \(\vec F\) и \(\vec F»\) образуют пару. Ее момент \(\overrightarrow\times\vec F\), очевидно, равен моменту силы \(\vec F\) относительно точки B. Тем самым, теорема доказана.

Это утверждение также носит название леммы Пуансо (напомним, что леммой в математике называют вспомогательное утверждение, с помощью которого доказывают следующие несколько важных утверждений или теорем).

Пример. Длинный брусок или палку проще удерживать в горизонтальном положении, взяв его за середину (рис. 4.2 а), а не за край (рис. 4.2 б).

В первом случае кисть руки (ее можно воспринимать как жесткую заделку) испытывает давление лишь силы тяжести \(\vec G\), приложенной к середине бруска. Во втором случае, перенося \(\vec G\) на край бруска (в место «защемления») и заменяя ее силой \(\vec G’\), мы будем вынуждены присоединить к ней пару \(\vec G,\vec G»\), что создаст дополнительное давление на связь (кисть руки).

Теперь можно вернуться к проблеме, поставленной в начале лекции. Пусть на тело действуют силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\), и требуется отложить их от одной и той же точки O (рис. 4.3 а). Согласно доказанной нами теореме, при переносе каждой из сил в эту точку к ней надо будет присоединить пару с соответствующим моментом. Далее все силы, приложенные к O, можно привести к равнодействующей \(\vec R\) (этот процесс описан в п. 1.3). В свою очередь, на основании теоремы о сложении пар все полученные пары можно заменить одной. Ее момент \(\vec M_\) будет равен сумме моментов всех сил относительно выбранной точки O. Тем самым, исходную систему сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) можно заменить на одну силу и одну пару с моментом \(\vec M_\) (рис. 4.3 б).

Рис. 4.3. Приведение системы сил к центру

Описанный выше процесс называется приведением системы сил к центру, а указанная точка O – центром приведения. Полученные в итоге векторы \(\vec R\) и \(\vec M_\) называют, соответственно, главным вектором и главным моментом системы сил относительно центра приведения:

Выписанные формулы свидетельствуют, что главный вектор не зависит от того, какая точка будет выбрана в качестве центра (т.е. является инвариантом приведения). Действительно, точка O в выражении для \(\vec R\) никак не фигурирует. Напротив, главный момент \(\vec M_\) инвариантом приведения не является, поскольку момент каждой из сил зависит от того, какая точка будет выбрана в качестве центра.

Замечание. Хотя главный вектор \(\vec R\) системы сил и равен геометрической сумме сил, приложенных к телу, его не надо путать с равнодействующей. Он эквивалентен исходной системе сил не «в одиночку», а вместе с парой, момент которой равен главному моменту \(\vec M_\) системы относительно выбранного центра O. Вектор \(\vec R\) является равнодействующей только для сходящейся системы сил.

Если к центру приводится плоская система сил, то необходимо вычислять алгебраические моменты сил относительно указанного центра.

Пример. Находящаяся в вертикальной плоскости плита 8×2 м имеет вес P = 24 кН (равная ему по величине сила тяжести \(\vec G\) приложена в центре симметрии плиты). Кроме того, на нее действуют силы F₁ = 10 кН и F₂ = 15 кН (рис. 4.4). Привести систему сил к точке A. Расстояние от A до B (точки приложения силы \(\vec F_<1>\)) равно 6 м.

Для удобства введем систему координат с началом в точке A и осями, сонаправленными со сторонами плиты. Чтобы найти главный вектор \(\vec R\), вычислим проекции векторов \(\vec G\), \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) на оси; после этого эти силы можно будет складывать покомпонентно.

Результаты вычислений сведем в таблицу, аналогичную той, что была представлена в п. 2.3:

Подставляя известные модули сил и складывая соответствующие проекции и моменты, получим:

Итак, исходная система эквивалентна силе \(\vec R=\<6.34;-19\>\) кН, приложенной к точке A, и паре с алгебраическим моментом –36 кН·м.

Отметим, что если две системы сил при приведении к одному и тому же центру O имеют одинаковые главные векторы \(\vec R\) и главные моменты \(\vec M_\), то они эквивалентны (поскольку порознь эквивалентны одной и той же системе, состоящей из силы \(\vec R\) и пары с моментом \(\vec M_\)). Очевидно, верно и обратное: эквивалентные системы сил имеют равные главные векторы и главные моменты (относительно одного и того же центра).

4.2. Условия равновесия. Теорема Вариньона

Ранее задача об условиях равновесия (одна из двух основных в статике) была решена для сходящейся системы сил. Теперь мы обладаем всеми необходимыми знаниями, чтобы решить этот вопрос и в наиболее общем случае. Итак,

Абсолютно твердое тело под действием произвольной системы сосредоточенных сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда главный вектор этой системы равен нулю и главный момент системы относительно любого полюса равен нулю.

Математическим выражением этого условия служат равенства

Доказательство. По сути, приведенное выше условие содержит два утверждения: «если тело находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю» и в обратную сторону – «если главный вектор и главный момент системы равны нулю, то она находится в равновесии». Докажем каждое из них.

Если система уравновешена, то она эквивалентна двум силам, равным по модулю, противоположным по направлению и разделяющим общую линию действия (см. первую аксиому статики). Главный вектор этой новой системы равен нулю. Ее главный момент относительно любой точки также нулевой, ибо модули сил равны, плечо одно и то же, вращение происходит в одной и той же плоскости, но в противоположных направлениях (рис. 4.5).

Значит, равны нулю главный вектор и главный момент исходной системы. Первое утверждение доказано.

Наоборот, если \(\vec R=\vec 0\), то система приводится к паре сил. Но момент этой пары \(\vec M_=\vec 0\). Значит, либо силы, составляющие пару, имеют общую линию действия, либо их модули равны нулю. В любом случае, эти силы уравновешены. Значит, уравновешена и исходная система. Доказательство завершено.

Замечание. Если из утверждения A следует утверждение B, это еще не значит, что из B следует A. Например, из того, что фигура является квадратом, следует, что она одновременно является и прямоугольником; обратное неверно. Поэтому если надо показать, что два утверждения эквивалентны (как выше – равновесие тела и равенство нулю главного вектора и главного момента), то рассуждения надо проводить в обе стороны: «из A следует B» и «из B следует A«.

Основываясь на формулах (4.1) и (4.2), докажем теорему, которой бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

Теорема (Вариньона; о моменте равнодействующей). Если система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно любого полюса равен сумме моментов всех сил системы относительно этого же полюса.

Доказательство. Пусть к телу приложена система сил \(\vec F_<1>, \vec F_<2>,\ldots,\vec F_\), у которой имеется равнодействующая \(\vec R\) (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Доказательство теоремы Вариньона

Присоединим к этой системе уравновешивающую силу \(\vec R’\). Вновь полученная система \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_,\vec R’\) является уравновешенной. Согласно формуле (4.2) это означает, что ее главный момент относительно любого полюса O равен нулю. Тогда из формулы (4.1) следует, что

Однако моменты \(\vec m_(\vec R)\) и \(\vec m_(\vec R’)\) противоположны (ср. с комментариями к рис. 4.5). Заменяя \(\vec m_(\vec R’)\) на \(-\vec m_(\vec R)\) и перенося указанное слагаемое в другую часть равенства с противоположным знаком, получим соотношение, которое и доказывает теорему:

Доказанная теорема справедлива и для моментов сил относительно осей, поскольку эти величины являются проекциями момента силы на оси, проходящие через полюс.

Пример. В одном из примеров п. 3.2 момент силы \(\vec F\) относительно координатных осей вычислялся двумя способами: по формуле (3.2) или (3.3) и непосредственно по определению. В последнем случае при вычислении момента относительно Oz было сказано, что лишь компонента \(\vec F_\) вносит вклад в искомую величину, ибо линия действия \(\vec F_\) проходит через указанную ось. Фактически при этом была использована теорема Вариньона: равнодействующая \(\vec F\) была заменена суммой двух сил \(\vec F_\) и \(\vec F_\), и момент вычислялся для каждой из них по отдельности. Без применения теоремы нам пришлось бы проводить линию действия исходной силы \(\vec F\) и искать расстояние от нее до оси Oz.

Итак, доказанную теорему выгодно применять, когда силу, момент которой требуется вычислить, можно разложить на несколько слагаемых, момент каждого из которых вычисляется просто.

Во многих практически важных случаях, например, при определении реакций связей, заранее известно, что тело находится в равновесии. Неизвестными служат силы, приложенные к телу. Для их определения следует составить уравнения равновесия (4.2) и разрешить их относительно искомых величин. Последовательность таких действий для сходящейся системы сил приведена в п. 2.3; в общем случае она такая же, но к вычислению проекций известных и неизвестных сил добавляется вычисление их моментов.

Ниже будет более подробно рассмотрено решение задач о равновесии твердого тела на плоскости и в пространстве.

4.3. Равновесие плоской системы сил

На плоскости условия (4.1) и (4.2) равносильны трем уравнениям. Два из них получаются как проекции равенства \(\vec R=\vec 0\) на координатные оси, в третьем к нулю приравнивается сумма алгебраических моментов всех сил, приложенных к абсолютно твердому телу:

Здесь \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) – силы, приложенные к телу, F_kx и F_ky – проекции силы \(\vec F_\) на координатные оси Ox и Oy, соответственно, центром приведения служит начало координат O.

В частных случаях количество уравнений может уменьшаться. Так, если заранее известно, что система сил, приложенных к телу, – сходящаяся, то достаточно двух уравнений (как в примере, приведенном в Лекции 2).

Пример. Балка AB имеет длину 4 м и вес 800 Н. Она удерживается в горизонтальном положении нитью, укрепленной в точке A, и неподвижным шарниром B. Нить, переброшенная через неподвижный блок, составляет угол 60° с балкой и натягивается грузом веса P = 1600 Н. В точке D на балку помещен груз веса Q, расстояние AD составляет 1.5 м. Кроме того, на балку действует пара сил с моментом m = 400 Н·м (рис. 4.7). Найти реакцию шарнира и вес груза. Выдержит ли шарнир оказанное на него давление, если максимально допустимая для него нагрузка составляет 1700 Н?

Рассмотрим равновесие балки AB и укажем на чертеже все силы, действующие непосредственно на нее. Это сила тяжести \(\vec G\), численно равная 800 Н и приложенная к середине балки, неизвестная пока сила \(\vec Q\), с которой на тело в точке D давит груз, и пара с моментом m (как следует из доказанной ранее теоремы, о паре нельзя сказать, что ее силы куда-то приложены). Кроме того, на тело наложены связи. Заменим их соответствующими реакциями, воспользовавшись принципом освобождаемости от связей. Направление реакции шарнира заранее неизвестно, поэтому разложим ее на компоненты \(\vec X_\) (вдоль балки) и \(\vec Y_\) (перпендикулярно ей). Непосредственно к телу приложено также натяжение нити \(\vec T\), численно равное весу P груза (но не сам этот вес!). Все приложенные к телу силы и пары изображены на рис. 4.8.

Введем систему координат с началом в точке B, ось x направим по горизонтали вправо, а ось y – по вертикали вверх (рис. 4.9).

Найдем проекции всех сил на координатные оси и моменты сил относительно центра B. Результаты вычислений представим в таблице, подобно тому, как это делалось прежде:

Не комментируя подробно все промежуточные действия, остановимся на ряде важных деталей.

Во-первых, выбор точки B в качестве центра приведения позволил не вычислять моменты \(\vec X_\) и \(\vec Y_\).

Во-вторых, при вычислении момента силы натяжения \(\vec T\) можно не находить плечо силы, проводя дополнительные построения, а использовать теорему Вариньона. Для этого достаточно разложить \(\vec T\) на компоненты \(\vec T_\) и \(\vec T_\), направленные горизонтально и вертикально (см. рис. 4.9). Модули этих сил, равные P cos 60° и P sin 60°, были нами вычислены при определении проекций \(\vec T\) на оси Bx и By. Очевидно, \(m_(\vec T_)=0\), а плечо силы \(\vec T_\) равно AB. Поэтому момент всей силы \(\vec T\) относительно полюса B составляет –AB·T_y.

В-третьих, нет смысла вычислять проекции сил, составляющих пару, на координатные оси. Сами по себе эти силы неизвестны (нам дан лишь момент пары). Кроме того, указанные силы равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому при вычислении главного вектора системы сил по формуле (4.1) они взаимно уничтожатся.

Теперь воспользуемся условиями равновесия (4.3). Подставив известные значения G и P в таблицу, получим:

Окончательно, X_B = –800 Н, \(Y_=480\sqrt<3>\approx 831.38\) Н, \(Q=1280\sqrt<3>-800\approx 1417.03\) Н. Модуль реакции шарнира составляет \(\sqrt^<2>+Y_^<2>>\approx 1153.77\) Н. Поскольку максимально допустимая для шарнира нагрузка больше указанного значения (по условию, она составляет 1700 Н), он выдержит давление, оказываемое на него телом.

Отметим, что величина X_B оказалась меньше нуля. Это значит, что горизонтальная реакция шарнира направлена не вправо, как изначально предполагалось, а влево. Данный результат вполне логичен. В горизонтальном направлении на балку действуют лишь силы \(\vec T\) и \(\vec X_\), причем под действием одной только \(\vec T\) она начала бы двигаться вправо. Поскольку балка находится в равновесии, \(\vec X_\) должна компенсировать действие \(\vec T\); поэтому данная сила направлена именно влево.

На разобранном простом примере проиллюстрированы правила, которые позволяют упростить получаемые уравнения равновесия:

Эти правила справедливы при решении как плоских, так и пространственных задач.

Уравнения (4.3) – основная, но не единственная форма условий равновесия на плоскости. Коротко остановимся на двух других способах записи этих условий.

Плоская система сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда сумма проекций сил на некоторую ось x и суммы моментов относительно двух разных полюсов A и B равны нулю, при этом прямые x и AB не должны быть перпендикулярны:

Требование, чтобы прямые x и AB составляли угол, отличный от 90°, является существенным. Нарушив его, можно привести пример неравновешенной системы, для которой выполнены условия (4.4 а). Действительно, пусть x и AB перпендикулярны, а сила \(\vec F\), не равная нулю, приложена вдоль прямой AB, как на рис. 4.10 а). Тогда ее проекция на ось x равна нулю; нулевыми будут и моменты \(\vec F\) относительно полюсов A и B. С другой стороны, система, состоящая из одной только силы \(\vec F\), неуравновешена.

Плоская система сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда суммы моментов этих сил относительно трех произвольных полюсов A, B и C, не лежащих на одной прямой, равны нулю. Эта форма условий равновесия носит также название теоремы о трех моментах:

Аналогично предыдущему случаю, требование, чтобы три выбранные полюса не лежали на одной прямой, весьма важно. Предположим обратное. Тогда можно приложить ненулевую силу \(\vec F\) вдоль прямой, содержащей все три полюса A, B, C (рис. 4.10 б). Очевидно, она будет неуравновешенной, но для нее выполнятся все три условия (4.4 б).

Замечание. Как видно, в условиях равновесия на плоскости можно совершенно обойтись без вычисления проекций на оси, но обойтись без вычисления моментов нельзя. С формальной точки зрения, можно найти проекции всех сил не на две, а на три пересекающиеся оси. Однако на плоскости всего два независимых направления (математически более грамотно будет сказать, что базис образуют два неколлинеарных вектора). Поэтому проекцию любого вектора на третью прямую можно выразить через его проекции на первые две прямые, и из полученных таким образом трех уравнений независимыми будут лишь два.

4.4. Равновесие пространственной системы сил

В пространстве условия (4.1) и (4.2) приводят к шести уравнениям. Три из них отвечают «силовой» части условий (это проекции равенства \(\vec R=\vec 0\) на оси координат). Еще три соответствуют «моментной» части условий – это проекции равенства \(\vec M_=\vec 0\) на координатные оси или, что тоже самое, баланс моментов всех сил и пар относительно каждой из этих осей:

Как и прежде, \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) – это силы, приложенные к телу, а F_kx, F_ky, F_kz – проекции силы с номером k на оси координат.

Аналогично плоской системе сил, в частных случаях количество уравнений может снижаться.

Пример. Откидная полка ABCD пассажирского вагона может вращаться вокруг петель K и L. В горизонтальном положении ее удерживает штанга DM, которая крепится к стене вагона шарниром M. Вес полки и лежащего на ней человека равен P = 900 Н и приложен в центре O полки (рис. 4.11). Определить усилие в штанге и реакции петель. Линейные размеры полки таковы: AD = 1.5 м, AB = 0.6 м, BK = CL = 0.25 м. Расстояние DM составляет 0.75 м. Весом штанги пренебречь.

На ABCD действуют вес \(\vec P\) самой полки и груза, приложенный в точке O и направленный вертикально вниз, реакция \(\vec S\) штанги (эту связь будем считать стержнем, так что \(\vec S\) направлена вдоль отрезка DM), а также реакции петель (шарниров) K и L. Будем считать, что эти реакции не имеют компонент вдоль KL (петли не стесняют движения вдоль своей оси). Введем систему координат Kxyz с началом в точке K, осями Kx, Ky, сонаправленными с BA и BC, соответственно, и осью Kz, направленной вертикально вверх. Тогда \(\vec P=\<0;0;-P\>\), реакции каждой из петель имеют по две ненулевые компоненты: \(\vec R_=\;0;Z_\>, \vec R_=\;0;Z_\>\) (рис. 4.12).

Такой выбор системы координат удовлетворяет изложенным выше правилам. В частности, пропадает необходимость вычислять моменты сил \(\vec X_\) и \(\vec Z_\).

Реакция штанги \(\vec S\) параллельна плоскости Kxz и равна <S sin α; 0; S cos α>, где α – угол между \(\vec S\) и осью Kz. Рассмотрев треугольник DMC с прямым углом C, получим sin α = CD/DM = 0.8, поэтому cos α = 0.6 и \(\vec S=\<0.8S;0;0.6S\>\).

Вычислим проекции всех сил на координатные оси и моменты сил относительно полюса K. Для всех сил, кроме \(\vec S\), это просто сделать, используя определение осевого момента как произведения силы на плечо. Для реакции штанги удобно воспользоваться теоремой Вариньона (разложив вектор на составляющие, параллельные координатным осям) или вычислить момент относительно центра приведения K. При этом можно предполагать, что вектор \(\vec S\) отложен от точки D:

Как и в двумерном случае, для удобства занесем результаты в таблицу:

Проекции сил на ось Ky в таблицу не включены – они все равны нулю.

После подстановки известного значения P и использования условий (4.5) получим систему из пяти уравнений для определения искомых величин:

Отсюда следует, что реакция штанги S = 750 Н. Реакции петель составляют X_K = 150 Н, Z_K = 562.5 Н, X_L = –750 Н, Z_L = –112.5 Н.

Вопросы для самоконтроля

Задачи к лекции

Доказать, что две заданные системы сил эквивалентны. Все компоненты сил измеряются в Н, координаты точек – в м.

Указание. Привести обе системы к одному центру, например, к точке O(0; 0; 0).

Пролет моста AB длины 40 м и веса 20 МН (меганьютон) закреплен неподвижным шарниром A и свободно опирается на плоскость в точке B. Угол наклона плоскости равен 45° (рис. 4.13). Определить абсолютные величины реакций в точках A и B, считая, что сила тяжести приложена в середине пролета.

Концы ножек табурета образуют правильный треугольник ABC со стороной 36 см. На табурет действует сила тяжести, равная 30 Н и приложенная в центре его симметрии. Кроме того, на точку \(M(6\sqrt<3>;12)\) на поверхности табурета давят вертикально вниз с силой 12 Н. Ось Oy параллельна отрезку AB, начало координат O лежит на оси симметрии табурета. Определить силу давления ножек на пол.

Ответы. 3. R_A ≈ 1.975·10 7 Н; N_B ≈ 3.54·10 5 Н. 4. 12 Н, 22 Н, 10 Н.

Также рекомендуется решить:

Источник