Что называется суммой отрезков
Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
Равные и неравные отрезки
Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, и отрезок АВ направим по отрезку CD. Если точка В совпадаете точкой D, то отрезки АВ и CD равны; АВ = CD.
Сравним два отрезка КО и ЕМ (рис.). 
Наложим отрезок КО на отрезок ЕМ так, чтобы точки К и Е совпали. Отрезок КО направим по отрезку ЕМ. Если точка О окажется где-нибудь между точками Е и М, то говорят, что отрезок ЕМ больше отрезка КО; отрезок КО меньше отрезка ЕМ.
Записывается это тaк: ЕМ > КО, КО 1 /5 часть отрезка МN.
в) Чтобы разделить отрезок на равные части с помощью циркуля, поступают таким образом. Например, если нужно разделить отрезок на две равные части, то циркуль раздвигают на глаз так, чтобы раствор циркуля составлял примерно половину отрезка. Затем на данном отрезке от его конца последовательно один за другим откладывают этим раствором циркуля два отрезка. Если полученная сумма отрезков будет меньше данного отрезка, тo раствор циркуля увеличивают; если сумма окажется больше данного отрезка, то раствор циркуля уменьшают. Так, постепенно исправляя ошибку, можно отыскать довольно точнo половину отрезка (рис.).
Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла
Пусть на стороне АВ угла АВN отложены равные отрезки ВМ = МК = КС (рис.) и через точки деления М, К и С проведены параллельные прямые, пересекающие сторону ВN того же угла.
На этой стороне образовались три отрезка: ВМ’, М’К’ и К’С’. Требуется доказать, что ВМ’ = М’К’ = К’С’.
Для доказательства через точки М’ и К’ проведём прямые, параллельные АВ. Мы получим треугольники ВММ’, М’ЕК’ и К’РС’. Сравним эти треугольники.
Сначала сравним треугольники МВМ’ и М’ЕК’. В этих треугольниках имеем:
∠1 = ∠2, как соответственные углы при параллельных ВА и М’Е и секущей ВN;
∠3 = ∠4, как острые углы 1 с соответственно параллельными сторонами (АВ || М’Е и ММ’ || КК’).
ВМ = МК по построению;
МК = М’Е, как противоположные стороны параллелограмма.
Углы 1-й и 4-й могут оказаться оба тупыми, но и в этом случае они останутся равными, а потому доказательство теоремы не изменится.
Следовательно, ВМ = М’Е. Таким образом, ΔВММ’ = ΔМ’ЕК’ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что ВМ’ = М’К’.
Так же можно доказать, что ВМ’ = К’С’, т. е. ВМ’ = М’К’ = К’С’. При доказательстве теоремы мы откладывание отрезков начали от вершины угла, но теорема справедлива и для того случая, когда откладывание отрезков будет начато не от вершины угла, а от любой точки его стороны.
В этом случае вершину угла на чертеже можно не отмечать (рис.).
Теорема справедлива и для случая, когда прямые КО и МР параллельны.
Пропорциональные отрезки
Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: 16 /4 = 20 /5; 2 /3 = 4 /6 To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.
отрезки а, b, c, d называются пропорциональными.
В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.
Поскольку в пропорции a /b = c /d под буквами подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции a /x = c /d x = a • d /c
Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.
а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.
Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.
А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.
В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.
Построение пропорциональных отрезков
Пусть две прямые ЕF и ОР пересечены тремя параллельными прямыми АВ, СD и МN (рис.).
Требуется доказать, что отрезки АС, СМ, ВD и DN, заключённые между параллельными секущими, пропорциональны, т. е.
Пусть длина отрезка АС равна р, а длина отрезка СМ равна q.
Например, р = 4 см. и q = 5 см.
Разделим АС и СМ на отрезки, равные 1 см, и из точек деления проведём прямые, параллельные прямым АВ, СD и МN, как это показано на рисунке.
Тогда на прямой ОР отложатся равные между собой отрезки, при этом на отрезке BD их будет 4, а на отрезке DN — 5.
Значит, отрезки АС, СМ, ВD и DN пропорциональны. Пропорциональны также и отрезки АС, АМ, ВD и ВN (налегающие друг на друга), т. е. AC /AM = BD /BN,
Теорема будет справедлива и при любых других целых значениях р и q.
Если длины отрезков АС и СМ не выразятся в целых числах при данной единице измерения (например, сантиметре), то надо взять такую более мелкую единицу (например, миллиметр или микрон), при которой длины отрезков АС и СМ практически выразятся в целых числах.
Доказанная теорема справедлива и в том случае, когда одна из параллельных секущих проходит через точку пересечения данных прямых. Она справедлива также и в том случае, когда отрезки откладываются не непосредственно один за другим, а через некоторый промежуток.
Сумма и разность отрезков
Сумма
Суммой нескольких отрезков называют отрезок, составленный из длин данных отрезков.
Рассмотри два отрезка AB и CD:
Для нахождения их суммы можно расположить данные отрезки друг за другом на одной прямой, длина полученного отрезка и будет являться суммой данных отрезков:
Полученный отрезок, длина которого равна 12 см, и будет являться суммой данных отрезков, то есть:
AB + CD = 5 см + 7 см = 12 см.
Из данного примера можно сделать вывод, что для нахождения суммы отрезков надо сложить их длины.
Разность
Разностью двух отрезков называют отрезок, длина которого равна разности от вычитания длины меньшего отрезка из длины большего.
Рассмотри два отрезка AB и CD:
Для нахождения их разности можно взять больший отрезок, а затем от его начальной точки отложить длину меньшего отрезка. Длина отрезка, который лежит между конечными точками двух данных отрезков и будет их разностью:
Полученный отрезок, длина которого равна 7 см, и будет являться разностью данных отрезков, то есть:
Из данного примера можно сделать вывод, что для нахождения разности двух отрезков надо вычесть из длины большего отрезка длину меньшего.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие длины отрезка;
— равные отрезки на чертежах;
— определение длины отрезков.
Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.
За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:
— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;
— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;
— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.
Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.
Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.
Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.
«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.
На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.
Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.
Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.
Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Чем же можно измерить длину отрезка?
Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.
Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.
Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.
Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.
Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.
Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.
Рассмотрим ещё одно свойство длин.
Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.
Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.
Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?
На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.
Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.
В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.
Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.
Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?
Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.
№2. Тип задания: выделение цветом.
Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?
Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.
Решение: изобразим условие задачи на рисунке.
Сумма и разность отрезков
Урок 5. Математика 2 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Сумма и разность отрезков»
— Буду делать та-а-к, потом вот та-ак, а потом вот так.
— Привет, Плюс! Я хотел пригласить тебя погулять. Но, как видно, ты опять чем-то занят.
— Ой, вот здорово! Мне она тоже дала похожее задание, только находить не сумму, а разность отрезков. Давай разберемся вместе, а потом пойдем гулять.
— Стоп-стоп, Плюс. Как это нет конца. Ты же остановился и перестал ее рисовать.
— Да, остановился. Но, её можно тянуть бесконечно, но не будем. Нам хватит и того, что нарисовали.
— Дальше я могу отложить на этом луче отрезок двумя способами. Например, мне нужен отрезок длиной 6 сантиметров. Я могу приложить линейку к лучу так, чтобы отметка ноль на линейке совпала с точкой, которую мы поставили. Это обязательно! А сама линейка должна лежать точно под прямой, близко-близко. И напротив нужной отметки, на прямой, ставим еще одну точку.
Расстояние между двумя точками и будет отрезком длиной 6 сантиметров. А теперь от этой второй точки я построю еще один отрезок длиной, например, 5 сантиметров.
— А почему от второй точки? Почему не от первой?
— Потому что, если надо найти сумму отрезков, конец первого отрезка как раз и будет началом второго отрезка. Не перебивай меня, пожалуйста. Итак, я продолжаю.
Опять прикладываю линейку к прямой, но теперь так, чтобы отметка ноль оказалась строго напротив второй точки. А там, где на линейке стоит пятерка, на прямой ставлю еще одну точку.
Вот появился и еще один отрезок. Если сложить их вместе, получится третий, более длинный отрезок. А теперь найдем сумму первых двух отрезков, то есть длину полученного третьего отрезка. Получаем:
— Так это и есть нахождение суммы двух отрезков?
— Да. Чтобы найти сумму двух отрезков, надо к длине первого отрезка прибавить длину второго отрезка.
— А ты что-то там говорил про второй способ построения отрезков.
— Да, можно построить отрезки и с помощью циркуля. Главное, чтобы циркуль был хороший, не разболтанный.
— Что значит, циркуль разболтанный?
— Это когда ножки циркуля плохо закреплены и легко сдвигаются и раздвигаются. Измерения таким циркулем будут неточные.
Ну так вот. Допустим, нам надо нарисовать отрезки длиной 8 и 4 сантиметра. Начинаем точно так же, как и в первый раз. Ставим точку. От точки под линейку проводим луч.
А теперь возьмем циркуль, установим его ножки так, чтобы иголочка циркуля встала на линейке на отметку ноль, а грифель на отметку 8
Теперь переносим циркуль на прямую так, чтобы иголочка встала на точку начала луча, а грифель сделает на луче еще одну точку. Вот и получится отрезок, длина которого 8 сантиметров.
Опять ставим циркуль на линейку, устанавливаем ножки так, чтобы иголочка стояла на нулевой отметке, а грифель на отметке 4. Переносим циркуль на луч, но теперь его иголочка стоит на второй точке, а грифель ставит новую точку на прямой.
Получился отрезок длиной 4 сантиметра
— А теперь будешь находить сумму двух отрезков?
— Да. Складываю длины первого и второго отрезков. Получаем:
В результате сложения двух маленьких отрезков получился третий, больший, длина которого равна сумме длин двух меньших отрезков.
— Ну, Плюсик, ты своё задание закончил?
— Да. Теперь давай разбираться с твоим заданием. Тебе надо найти разность двух отрезков?
— Да, разность двух отрезков… Как же мне это задание выполнить? А, кажется, я догадался!
А вот видна разница между длинами отрезков. Эта разница и будет разностью длин отрезков. А найдем мы ее так:
— А теперь найди разность второй пары отрезков.
— Легко! Опять отмеряю от начала луча 8 сантиметров, потом от той же точки начала луча отмеряю 4 сантиметра. И вот она, разность двух отрезков.
— Ух ты! Классно! Ты так быстро справился с заданием!
— Это потому, что рядом был ты, мой друг.
— Конечно, заметил. А когда я находил разность двух отрезов, то оба отрезка строил от начала луча. И выполнял вычитание.
Ну, гулять теперь можно идти?
Математика. 2 класс
Нахождение неизвестного компонента арифметического действия
Какой отрезок длиннее и на сколько сантиметров?
длиннее розовый отрезок на 1 см
короче зелёный отрезок на 1 см
длиннее зелёный отрезок на 2 см
Чтение и запись чисел от ноля до миллиона
Длина первого отрезка 11 см, длина второго – на 3 см меньше. Какова общая длина отрезков? Решите задачу и найдите путь к правильному ответу.
Геометрические фигуры
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.
Чтение и запись чисел от ноля до миллиона
Общая длина двух отрезков 17 см, длина второго – 9 см. Какова длина первого отрезка? Решите задачу и найдите путь к правильному ответу.
Измерение длины отрезка
Кто из девочек измерил длину отрезка верно, Оля или Даша? Выберите один правильный вариант ответа.
Геометрические фигуры
Расставьте подписи к рисунку.
Решение примеров
Пройдите путь по лабиринту.
Числа и величины
Поставьте знаки сравнения.
Сумма и разность отрезков
Вставьте в в текст нужные слова.
Чтобы найти сумму длин двух отрезков нужно длины этих отрезков. Чтобы найти длин двух отрезков, нужно из длины отрезка вычесть длину меньшего отрезка.