Что называется статическим моментом площади

6.1. Статический момент площади сечения

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Источник

iSopromat.ru

Формулы для расчета геометрической характеристики статического момента сечений, плоских фигур и площади:

Рассмотрим сечение (плоскую фигуру) произвольной формы площадью A:

Выделим в нем элементарную площадку dA и зададим систему координат:

Координаты площадки обозначим соответственно как x и y:

Статический момент элементарной площадки:

Суммируя выражения по всей площади фигуры, получим соответственно:

Единица измерения статического момента [м 3 ].

тогда статические моменты относительно осей x и y:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Решение задач, контрольных и РГР

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Набор студента для учёбы

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ

Математические определения геометрических характеристик плоских фигур: статические моменты, осевые моменты инерции и центробежный, полярный момент инерции. Центральные оси. Главные оси. Определение положения центра тяжести элементарных сечений и составленного из элементарных фигур. Нахождение геометрических характеристик сечений относительно центральных осей.

Различают следующие характеристики сечений: площадь А, статические моменты площади, моменты инерции площади, центробежный момент инерции площади.

Рис. 10. Площадь А в системе координат х, у

Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:

Определение центра тяжести сечения. Статические моменты сечения относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения. Для этого проводят вспомогательные оси x и y и координаты центра тяжести сечения определяют по зависимостям:

(3)

Моменты инерции сечения. Осевым моментом инерции сечения I называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до оси. Осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y будут соответственно равны

(4)

Полярным моментом инерции сечения Iρ называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.

(5)

Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, осевые моменты инерции относительно их принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ 2 = y 2 + z 2 ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Моменты сопротивления. Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

Полярный момент сопротивления

Осевой и полярный моменты сопротивления имеют размерность м3.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

Вычисление геометрических характеристик простых фигур.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота) (рис. 11). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)равна dA = b•dy. Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:

По аналогии запишем

Вначале целесообразно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга Jx = Jy, а Jρ = Jx + Jy, найдем Jx = Jy = Jρ/2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ (рис. 12); площадь такого кольца . Подставляя выражение для площади кольца в выражение для Jρ и интегрируя, получим:

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим формулы для определения геометрических характеристик плоских сечений: статического момента площади фигуры, осевых моментов инерции и радиуса инерции сечения.

При расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится кроме общеизвестной характеристики – площади поперечного сечения A, оперировать такими геометрическими характеристиками сечений, как статический момент площади, момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции.

Статический момент площади

Интегралы вида:

называются статическими моментами площади сечения A относительно осей X и Y соответственно.

В тех случаях, когда сечение может быть разделено на простейшие фигуры площади A_i и координаты центров тяжести x_i и y_i которых известны, статические моменты площади сложной фигуры определяются через суммирование

Статические моменты площади имеют размерность [м 3 ] и могут принимать любые числовые значения. Для осей X_C, Y_C, проходящих через центр тяжести сечения C (центральные оси), статические моменты равны нулю:

Координаты центров тяжести сечения определяются относительно так называемых вспомогательных осей по формулам:

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

При наличии двух и более осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Моменты инерции

Моментами инерции площади сечения называют интегралы вида:

где:
I_x, I_y — осевые моменты инерции площади сечения относительно осей OX, OY соответственно;
I_xy — центробежный момент инерции;
I_ρ — полярный момент инерции.

Размерность момента инерции [м 4 ], I_x, I_y, I _ρ всегда положительны, I_xy может принимать любые значения, при этом, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, I_xy=0.

Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей выражаются формулами:

где a, b – расстояния между осями X, X_C и Y, Y_C.

Оси, относительно которых I_xy=0, называют главными, а осевые моменты инерции относительно них – главными моментами инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями, а соответствующие им моменты инерции – главными центральными моментами инерции.

Главные оси характерны тем, что их моменты инерции принимают экстремальные значения (I_max, I_min).

Момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси находится суммированием моментов инерции составляющих его частей относительно той же оси:

Радиусы инерции

Величины

называют радиусами инерции сечения относительно осей OX и OY соответственно.

Эллипс, построенный в главных осях, с полуосями, равными главным радиусам инерции

называют эллипсом инерции.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Статические моменты площади сечения

Статические моменты Sz и Sy имеют размерность единицы длины в третьей степени, обычно в см3 или м3. Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, равным нулю. Если известны координаты ( y,czc) центра тяжести (C ) сечения, то статические моменты площади сечения, на основании теоремы Вариньона, можно определить по формулам:

Анализируя зависимость (1.5) видим, что если S 0, то оси z и y проходят через центр тяжести сечения.

Оси, относительно которых стати-ческие моменты площади равны нулю, называются центральными осями. Любая ось симметрии является центральной осью, так как центр тяжести сечения лежит на этой оси и, следовательно, статический момент относительно ее всегда равен нулю. Например, ось y (рис. 1.2) является осью симметрии прямоугольного сечения и, следовательно, она центральная.

Ось z1 не совпадает с центром тяжести сечения, поэтому не является центральной, и статический момент площади сечения относительно оси z1 будет не равен нулю 1. Если сечение представляет сложную фигуру (рис. 1.3), состоящую из ряда простых фигур, например, прямоугольника, треугольника и т. д., для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно определить как сумму статических моментов этих простых фигур; (1.4) (1.5)

С учетом (1.6) координаты центра тяжести для сложной фигуры по отношению к вспомогательным осям z и y определятся по формулам: n ─ площади простейших сечений, на которые разбивается сложное сечение; yn─ координаты центров тяжести простейших сечений по отношению к вспомогательным осям z1 и y1.

В ряде случаев при вычислении статических моментов удобно использовать формулы с двойным интегралом вида: Здесь D ─ область интегрирования. Пример 1.1 Вычислить координату центра тяжести сечения в виде полукруга (рис. 1.5). Решение: Определяем положение центра тяжести по формуле ;Площадь сечения с учетом уравнения окружности.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник