Что называется средней квадратической ошибкой единицы веса
Средння квадратическая погрешность единицы веса и весового среднего
В случае равноточных измерений для оценки точности данного ряда служит средняя квадратическая погрешность измерения. Для сравнения между собой однородных рядов неравноточных измерений определяют для каждого ряда среднюю квадратическую погрешность, имеющего весом единицу, или короче, погрешность единицы веса.
Пусть L1, L2,…, Ln – результаты неравноточных измерений какой-нибудь величины; р1, р2, …, рn – веса и D 1, D 2, …, D n – случайные погрешности этих измерений.
Из формулы (36) следует, что средняя квадратическая погрешность единицы веса в Ц p раз больше средней квадратической погрешности измерения, вес которого равен р.
На этом основании можно привести эти погршности к единице веса. Взяв D 1Ц р1, D 2Ц р2, …, D nЦ рn, получим ряд погрешностей одинакового веса, равного единице. Так как этот ряд обладает всеми свойствами случайных погрешностей равноточных измерений, то к нему применимы формулы Гаусса (4) и Бесселя (33). На основании этих формул в данном случае, т.е. для неравноточных измерений, соответственно получим:
 | (37) |
| и | |
 | (38) |
Средняя квадратическая ошибка общей арифметической середины определяется по формуле:
 |
1. Границы доверительного интервала нормального распределения случайной погрешности
Рассматривая характеристики нормального распределения, мы уже отмечали, что вероятность появления погрешности, не выходящей за пределы +/-,s составляет 0,6826. В этом случае +/-sрассматривается как граница интервала, в пределах которой с указанной вероятностью лежит отклонение дельта. При нормальном распределении вероятность попадания случайной величины в интервал от -Едо +Е выражается формулой:
,
при t>0
Ф(t) называется интегралом Лапласа или доверительной вероятностью, соответствующей доверительному интервалу +/-Е, а величину 1 – Ф(t) – уровнем значимости. Обычно доверительную вероятность выбирают исходя из конкретных условий. Например, для изготовления какой-либо детали можно считать удовлетворительным значение 0,995 для вероятности того, что отклонение размера не выйдет за пределы заданного интервала. В технике вероятность выражают в процентах – 99,5%. Соответственно, уровень значимости или вероятность того, что детали не будут удовлетворять данному требованию, 0,5%. Это означает, что в среднем будет отбракована 1 деталь из 200. Такая вероятность соответствует доверительному интервалу +/- 2,81.
Часто пользуются «правилом трех сигм», т.е. доверительным интервалом +/-3s, для которого доверительная вероятность составляет 99,73%. На этом основании можно сформулировать следующее правило: если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительное значение результата измерения отличается от среднего значения больше чем на 3s, то с вероятностью 0.997 оно является ошибочным и его следует отбросить. Это правило называется «правилом трех сигм».
2. Средне-квадратическое отклонение многократных измерений
Среднеквадратичное отклонение удобнее дисперсии в том смысле, что ее размерность совпадает с размерностью самой случайной величины. Среднеквадратичное отклонение часто называют среднеквадратичной погрешностью.
Среднеквадратичное отклонение соответствует характерной точке кривой нормального распределения. Абсциссам +/-s соответствуют точки перегиба кривой. Вероятность того, что случайные погрешности измерения не выйдут за пределы +/-s, составляет 0,6826.
Среднее арифметическое определяется по формуле:
,
где х – среднее значение,
хi – результат i-го наблюдения,
N – число наблюдений.
1. Метрология. Термины и определения
Измерение физической величины
Совокупность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с её единицей и получение значения этой величины.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Неравноточные измерения и их веса
В практике математической обработки результатов геодезических измерений встречаются случаи, когда приходится анализировать накопленный материал с неодинаковым числом измерений, инструментами разной точности, с различным числом измеряемых величин и различной протяженности, выполненных в разных условиях. Такие измерения можно отнести к неравноточным. Возникает задача определения по результатам неравноточных наблюдений наиболее надежного значения измеряемой величины, оценки точности этих измерений, а также уравнивания различных геодезических сетей.
Достоинство результата измерения, меру его надежности обозначают числом, называемым весом этого измерения, т.е. весом называют степень доверия к результату измерения, выраженную числом.
Чем лучше условия измерения, чем надежнее результат, тем больше его вес, т.е. тем больше наше доверие к нему. Таким образом вес характеризует условия измерения. Но определенным условиям соответствует определенная средняя квадратическая ошибка. Чем меньше средняя квадратическая ошибка, тем надежнее результат, а следовательно, тем больше его вес. Исходя из сказанного, за веса результатов измерений принимают величины обратно пропоциональные квадратам соответствующих им средних квадратических ошибок.
Пусть некоторая величина измерялась неравноточно n раз
тогда веса результатов измерений будут равны
(2.1)
При установлении весов необходимо соблюдать следующие условия:
1) средние квадратические ошибки, по которым определяются веса, должны быть найдены из достаточно большого числа наблюдений;
2) из измерений, по которым вычисляются средние квадратические ошибки, должны быть исключены систематические ошибки.
Cогласно (2.1) при различных значениях С получаем и различные веса, однако соотношение между ними остается неизменным. Отсюда следует, что веса данного ряда измерений являются величинами относительными и их можно одновременно увеличивать или уменьшать в одинаковое число раз.
2.2. Общая арифметическая средина и ее свойства
Пусть дан ряд результатов измерений
Требуется найти наиболее надежное значение`x измеренной величины. Выразим искомую величину в виде линейной функции
(2.2)
где ki являются некоторой функцией величин mi и связаны условием
(2.3)
(2.4)
Функция приведет нас к надежному результату, если ее средняя квадратическая ошибка будет наименьшей, т. е.
Задачу решим по методу Лагранжа
(2.6)
Условие (2.5) определяется точкой экстремума функции Лагранжа F.
(2.7)
(2.8)
Подставив эти значения в уравнение (2.2), получим
(2.9)
Из уравнения (2.8) найдем
(2.10)
С учетом равенства (2.3) определим множитель Лагранжа l
(2.11)
Полученное значение l подставим в уравнение (2.9)
(2.12)
Учитывая (2.1), равенство (2.12) можно записать в следующем виде:
(2.13)
Общая арифметическая средина равна сумме произведений каждого неравноточного измерения на его вес, разделенной на сумму весов.
Рассмотрим свойства отклонений от общей арифметической средины.
Первое свойство. Алгебраическая сумма произведений отклонений результатов неравноточных измерений от общей арифметической средины на соответствующие веса равна нулю при любом числе наблюдений, т.е.
Перемножив равенства (2.15) на соответствующие веса и сложив левую и правую части, получим
Cогласно (2.13) будем иметь
(2.16)
Данное свойство можно использовать для контроля вычислений общей арифметической средины.
Второе свойство. Cумма произведений квадратов отклонений результатов неравноточных измерений от общей арифметической средины на соответствующие веса является наименьшей, т.е
(2.18)
Установим связь между отклонениями v и v¢
(2.19)
В равенстве (2.19) vi перенесем в правую часть. Затем, умножая на соответствующие веса, возведем в квадрат и почленно сложим
(2.20)
В правой части равенства (2.20) слагаемое 2 
согласно первому свойству отклонений (2.16). Следовательно, из равенства (2.20) следует, что
(2.21)
Данное свойство подтверждает, что если ошибки результатов неравноточных измерений подчиняются нормальному закону распределения, то наиболее надежным значением является общая арифметическая средина.
2.3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса
Дан ряд результатов неравноточных измерений
(2.22)
(2.23)
(2.24)
В соответствии с (2.24) можно записать
(2.25)
или
(2.26)
т.е. cредняя квадратическая ошибка любого результата измерения равна ошибке единицы веса, деленной на корень квадратный из веса соответствующего результата.
2.4. Вычисление весов функций. Вес функции независимых величин
Определим вес функции
(2.27)
(2.28)
Разделим обе части равенства (2.28) на m 2
так как 
то окончательно имеем
(2.29)
2.4.2. Вес функции неравноточных слагаемых
(2.31)
Обратный вес суммы неравноточных слагаемых равен сумме обратных весов.
2.4.3. Вес суммы равноточных слагаемых
(2.32)
(2.33)
Вес суммы равноточных слагаемых в n раз меньше веса одного измерения.
2.4.4. Вес простой арифметической средины
Поскольку простая арифметическая средина вычисляется согласно формуле
(2.34)
ее средняя квадратическая ошибка будет равна
,
Переходя к весам, получим
(2.35)
Вес простой арифметической средины в n раз больше веса одного измерения.
2.4.5. Вес и средняя квадратическая ошибка общей арифметической средины
Представив общую арифметическую средину в виде линейной функции
, (2.36)
cогласно равенства (2.29) получим
(2.37)
Вес общей арифметической средины равен сумме весов результатов измерений.
Средняя квадратическая ошибка M среднего весового согласно формуле (2.26) вычислится
(2.38)
или
(2.39)
2.5. Вычисление ошибки единицы веса. Вычисление ошибки единицы веса при установлении весов по известным средним квадратическим ошибкам
Согласно (2.22) и (2.26) имеем
откуда
(2.40)
Если при этом известны веса, то ошибку единицы веса можно вычислить по формуле
(2.41)
2.5.2. Вычисление ошибки единицы веса через истинные ошибки
Дан ряд неравноточных измерений
с соответствующими истинными ошибками, весами и средними квадратическими ошибками
Умножим каждый результат ряда (2.42) на 
получим новый ряд
(2.46)
При увеличении или уменьшении значения x в произвольное число раз изменяются и истинные ошибки в соответствующее число раз
(2.47)
(2.48)
а это согласно (2.41)
(2.49)
Откуда следует, что ряд (2.46) является равноточным со средней квадратической ошибкой m и истинными ошибками (2.47), тогда, использовав формулу Гаусса (1.13), получим
(2.50)
Надежность определения m вычислится
(2.51)
2.5.3. Вычисление средней квадратической ошибки измерения углов в триангуляции
Даны невязки в треугольниках
(2.52)
Считая углы равноточно измеренными с весом 1, находим вес pi функции ji
или
pi = 
Так как невязки являются истинными ошибками, воспользуемся формулой (2.50)
(2.53)
Формула (2.53) носит название формулы Ферреро.
2.5.4. Вычисление ошибки единицы веса через отклонения от арифметической средины
Пусть даны результаты неравноточных измерений
а также известны истинное значение X и среднее арифметическое `x0. Составим два ряда истинных ошибок и отклонений от арифметической средины
(2.54)
Из первого ряда вычтем второй, в результате чего получим
(2.55)
Равенства (2.55) возведем в квадрат и умножим на соответствующие веса. Полученные равенства почленно просуммируем и в результате будем иметь
(2.56)
В правой части равенства (2.56) второе слагаемое согласно первому свойству отклонений от общей арифметической средины равно нулю. Cледовательно,
(2.57)
Cогласно (2.50) имеем 
, а выражение в круглых скобках является средней квадратической ошибкой среднего значения, т.е.
(2.58)
или
(2.59)
С учетом (2.58) и (2.59) равенство (2.57) примет вид
или 
(2.60)
Надежность определения m вычислится
. (2.61)
Дата добавления: 2014-09-08 ; просмотров: 735 ; Нарушение авторских прав
Оценка точности по значению средней квадратической ошибки единицы веса
Для вычисления средней квадратической ошибки единицы веса найдем значение квадратичной формы 
.
,
то в соответствии с (5.11) найдем(рис.5.76)
Рис.5.73. Команда транспонирования вектора поправок измерений V
Рис. 5.74. Вычисление
Рис.5.75. Значение
Оценка точности по средним квадратическим ошибкам уравненных координат определяемых пунктов
Теперь по формуле (5.10) найдем средние квадратические ошибки координат определяемой и контрольной точек. По каждой координате вычисление производится по формуле
, (5.14)
где 
— средняя квадратическая ошибка координаты точки, 
— диагональный член обратной матрицы, соответствующий этой координате. В данном примере для координаты Х точки 22 вид соответствующей формулы приведен на рис. 5.77
Рис.5.77. Вычисление средней квадратической ошибки точки 22 по оси Х
Здесь G204 – ячейка соответствующего диагонального члена обратной матрицы, КОРЕНЬ( ) – стандартная функция корня, выбранная из категории «Математические»,
1000 000 – множитель перехода от микрон в метры. В307- ячейка СКО единицы веса. На рис. 5.78 приведены средние квадратические ошибки по осям координат обоих точек
Рис. 5.78. Средние квадратические ошибки координат точек.
Средние квадратические ошибки положения точек в плане 
вычисляются по формуле
,
где 
, 
— средние квадратические ошибки положения точек по осям Х и У.
Соответствующие вычисления приведены на рис. 5.79
Рис. 5.79. Средние квадратические ошибки планового положения точек
Выводы по оценке точности
1. Средняя квадратическая ошибка измерений координат точек снимков составляет 3,9 микрона
2. Расхождение координат на контрольных точках составляет:
— в плане 
,
3. Максимальная средняя квадратическая ошибка положения определяемой точки (рис.5.79):
— по высоте 0,09 м(округлено из 0,086м).
Согласно п. 3.7.6 Инструкции по фотограмметрическим работам средние расхождения плановых координат на контрольных точках не должны превышать 0,2мм в масштабе плана(карты), такие расхождения по высоте не должны превышать 1/5 высоты сечения рельефа.
По высоте расхождения на контрольных точках соответствуют высоте сечения рельефа 1 м, так как 0,16м, умноженное на 5 равно 0,80м, что меньше 1м.