Что называется сонаправленным вектором
Вектор. Виды векторов.
Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется
величиной и направлением.
В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая
из его граничных точек является началом, а какая — концом.
У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как
направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.
Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является
точка В, а непосредственно вектор обозначен через 
. У направления
вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую
сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора
удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на
рыбалку и с рыбалки – разница огромная.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть
разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.
Виды векторов.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.
У такого вектора конец и начало совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 
. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.
Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой
или которые лежат на одной прямой.
Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются
сонаправленными векторами только тогда, когда их направления
соответствуют друг другу: a↑↑b
Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора
a и b называются противоположно направленными векторами, только
когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.
Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной
плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную
двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются
Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на
одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.
То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место
Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые
и имеют одинаковые длины:
Для координатного представления векторов огромное значение
оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную
прямую).
проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,
при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление
проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.
Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция
вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.
Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую
декартову систему координат и уже в этой системе находят
координаты вектора по базисным векторам.
Разложение по базису геометрически можно показать проекцией
вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и
конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая
из координат конца вектора координат начала вектора.
За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как 
, соответственно
осям x, y, z. Исходя из этого, вектор 
можно записать в таком виде:
Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование
из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,
кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только
те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).
Вектор. Определение и основные понятия
Обозначение вектора
Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.
Длина вектора
Нулевой вектор
Длина нулевого вектора равна нулю.
Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.
Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Длина вектора на плоскости
Длина вектора в трехмерном пространстве
Длина вектора в n-мерном пространстве
Коллинеарные вектора
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами
Сонаправленные вектора
Противоположно направленные вектора
Компланарные вектора
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Равные вектора
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
О сайте
На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.
Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.
calcsbox.com
На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.
© 2021 Все калькуляторы online
Копирование материалов запрещено
Определение вектора
В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.
Для начала дадим определение:
Вектор – это направленный отрезок прямой.
Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.
Нулевой вектор
Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.
Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.
Длина вектора
Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.
Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.
Коллинеарность векторов
Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.
Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.
Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.
Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.
Направление векторов
Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.
Равные и противоположные векторы
Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.
Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.
Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.
Углы между векторами
Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .
Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.
Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).
Что такое вектор: определение, обозначение, виды
В данной публикации мы рассмотрим, что такое вектор, как он обозначается, а также какие виды бывают. Теоретическую информацию сопроводим рисунками для лучшего восприятия.
Определение вектора
Вектор – это направленный отрезок. Другими словами, это отрезок определенной длины, который направлен в конкретную сторону.
У вектора есть начало и конец. На рисунке ниже – это точки A и B, соответственно. Направление вектора показывается соответствующей стрелкой.
Примечание: нахождение длины вектора (| AB | или | a |) мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.
Виды векторов
2. Единичный – вектор, длина которого равна единице. Также называется ортом.
3. Коллинеарные – векторы лежат на одной и той же или на параллельных прямых.
4. Сонаправленные – коллинеарные векторы, направления которых совпадает. Например, на рисунке ниже a и b являются сонаправленными.
5. Противоположно направленные – коллинеарные векторы, направления которых противоположны.
6. Компланарные – векторы, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости.
Примечание: любые два вектора компланарны, так как всегда найдется плоскость, параллельная им обоим.
7. Равные – векторы, имеющие одинаковую длину и направление, а также лежащие на одной или параллельных прямых.
Примечание: для вектора AB в произвольной точке C пространства удастся построить только один единственный вектор (например, CD ) той же длины.
Понятие о векторе
Вектор (векторная величина) – всякая величина, обладающая направлением.
Скаляр (скалярная величина) – величина, не обладающая направлением.
А вот например температура есть скаляр, так как не связано c направлением. Масса, плотность, объём, площадь, время это тоже скаляр.
В аналитической геометрии направленный отрезок называется вектором.
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Модуль есть скалярная величина.
О единичном векторе см. здесь
Обозначение вектора
Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами слева и справа:
Нуль-вектор
Если начало A и конец B отрезка AB совпадают, то отрезок AB обращается в точку и теряет направление. Этот вектор называется нуль-вектором и считается коллинеарным и сонаправленным с любым вектором. Обозначается, как число нуль (знак 0).
Любая точка пространства может рассматриваться как нуль-вектор.
Коллинеарные векторы
Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых.
Неколлинеарные векторы – это векторы, не лежащие на параллельных прямых.
Другим словами параллельные вектора называются коллинеарными.
Векторы a, c, d – коллинеарны.
Векторы a и d – векторы имеющие одинаковое направление и их называют или сонаправленными или равнонаправленными векторами, а векторы a и c и векторы с и d называют противоположно направленными.
Компланарные векторы
Компланарными векторами называют три вектора, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.
На этом рисунке векторы a,b,c являются компланарными
На рисунке векторы m,n,p — некомпланарны
Смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0, т.е.
(a, b, c) = 0
Пример смешанного произведения трех компланарных векторов смотрите здесь
Равенство векторов
Два вектора a и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль (длину).
На рисунке векторы a и b равны.
Векторы c и d не равны (даже если длины одинаковы), так как направления различны, следовательно и векторы c и a тоже не равны.
Векторы d и a равны.
Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы — это коллинеарные вектора, направленные в одну сторону, т.е. совпадают направления.
Обозначение: a↑↑b
Противоположные векторы
Два коллинеарных (параллельных) вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, т.е. друг другу называются противоположными векторами.
Вектор, противоположный вектору a, обозначается как –a.
Обозначение: a↑↓b
Векторы a и – a — противоположные.