Что называется случайной погрешностью изложите методику расчета случайной погрешности прямых

Что называется случайной погрешностью изложите методику расчета случайной погрешности прямых

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Расчет погрешностей при прямых измерениях

Допустим, что мы проводим серию из n измерений одной и той же величины х. Из-за наличия случайных ошибок отдельные значения х₁, х₂, х_3, х_n неодинаковы, и в качестве наилучшего значения искомой величины выбирается среднее арифметическое , равное арифметической сумме всех измеренных значений, деленной на число измерений:

. (П.1)

где å – знак суммы, i – номер измерения, n – число измерений.

Итак, – значение, наиболее близкое к истинному. Истинного же значения никто не знает. Можно лишь рассчитать интервал Dх вблизи , в котором истинное значение может находиться с некоторой степенью вероятности р. Этот интервал называется доверительным интервалом. Вероятность, с которой истинное значение в него попадает, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности (так как знание доверительной вероятности позволяет оценить степь надежности полученного результата). При расчете доверительного интервала необходимая степень надежности задается заранее. Она определяется практическими потребностями (например, к деталям мотора самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору). Очевидно, для получения большей надежности требуется увеличение числа измерений и их тщательности.

Благодаря тому, что случайные погрешности отдельных измерений подчиняются вероятностным закономерностям, методы математической статистики и теории вероятностей позволяют рассчитать среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического значения Dх_сл. Запишем без доказательства формулу для расчета Dх_сл при малом числе измерений (n

Так как каждое из значений х_i получено с погрешностью d, то полный доверительный интервал Dх, или абсолютную погрешность измерения, рассчитывают по формуле:

. (П.3)

Заметим, что если в формуле (П.3) одна из величин хотя бы в 3 раза больше другой, то меньшей пренебрегают.

Абсолютная погрешность сама по себе не отражает качества проведенных измерений. Например, только по информации абсолютная погрешность равна 0,002 м² нельзя судить о том, сколь хорошо было проведено данное измерение. Представление о качестве проведенных измерений дает относительная погрешность e, равная отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеренного значения. Как правило, относительную погрешность выражают в процентах:

100 %. (П.4)

Рассмотрим пример. Пусть диаметр шара измеряется с помощью микрометра, инструментальная погрешность которого d = 0,01 мм. В результате трех измерений получились следующие значения диаметра:

По формуле (П.1) определяют среднее арифметическое значение диаметра шара

мм.

Затем по таблице коэффициентов Стьюдента находят, что для доверительной вероятности 0,68 при трех измерениях t_n,p = 1,3. После чего по формуле (П.2) рассчитывают случайную погрешность измерения Dd_сл

мм.

Так как полученная случайная погрешность всего в два раза превышает приборную погрешность, то при нахождении абсолютной погрешности измерения Dd по (П.3) следует учитывать и случайную погрешность, и погрешность прибора, т. е.

мм » ±0,03 мм.

Погрешность округлили до сотых миллиметра, так как точность результата не может превышать точность измерительного прибора, которая в данном случае составляет 0,01 мм.

Итак, диаметр проволоки равен

мм.

Данная запись говорит о том, что истинное значение диаметра шара с вероятностью 68 % лежит в интервале (2,42 ¸ 2,48) мм.

Относительная погрешность e полученного значения согласно (П.4) составляет

%.

Источник

Методы расчета случайных погрешностей

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.В. Беховых, А.А. Лёвин,

Е.Г. Сизов, С.В Макарычев

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Зав. кафедрой технологических дисциплин института физико-математического образования АлтГПУ,к.ф-м.н., д.п.н., профессорА.В. Овчаров;

к.ф-м.н., доцент кафедры физики АлтГТУЕ.В. Черных.

Беховых Ю.В. Электричество и магнетизм:лабораторный практикум / Ю.В. Беховых, А.А. Лёвин, Е.Г. Сизов, С.В. Макарычев.− Барнаул: РИО Алтайского ГАУ, 2016.−95 с.

Учебное издание составлено в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Физика», содержит учебный материал к подготовке и выполнению лабораторного практикума по разделу физики «Электричество и магнетизм».

Предназначено для самостоятельной и аудиторной работы студентов очного и заочного отделений инженерных направлений подготовки аграрных вузов классификации бакалавр.

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета природообустройства Алтайского ГАУ (протокол №1 от 26.09.2016 г.).

ãБеховых Ю.В., Лёвин А.А, Сизов Е.Г., Макарычев С.В., 2016

ã ФГБОУ ВО АлтГАУ, 2016

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Основные понятия об измерениях

Согласно основному стандарту метрологии ГСИ ГОСТ 16263-70 измерениями называется процесс нахождения значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств (средств измерений), а получаемая при этом информация называется измерительной.

Результат измерения представляется в виде аналитического соотношения, известного как основное уравнение метрологии:

(1)

где – значение измеряемой физической величины;

— отношение измеряемой величины к образцу;

– значение величины, принятой за образец.

Метод измерений – это совокупность использования принципов и средств измерений. Метод измерений отличается от методики измерений, которая представляет собой общий или поэтапный план проведения измерений, т. е. последовательность и правила проведения операций.

Объект измерений – это реальный физический объект, свойства которого характеризуются одной или несколькими измеряемыми физическими величинами, которые подразделяются на основные и производные. Основные величины независимы друг от друга, но используются для установления связей с другими физическими величинами, которые называют производными. Основным величинам соответствуют основные единицы измерений, а производным – производные. Совокупность основных и производных единиц представляет собой систему единиц физических величин.

В мировой практике наиболее широко распространена Международная система единиц (СИ – система интернациональная). В данную систему входят семь основных единиц, две дополнительных и ряд производных единиц физических величин. Основными единицами измерений являются: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела, а дополнительными – радиан и стерадиан. Остальные единицы измерений являются производными.

Вместе с единицами международной системы применяются и внесистемные единицы, например сутки, литр, тонна, гектар и др.

По способу получения результата измерения подразделяются на прямые и косвенные. Прямым называется измерение, когда искомое значение физической величины находится непосредственно из опытных данных (например, измерение напряжения вольтметром и силы тока амперметром). Математически прямые измерения характеризуются формулой:

(2)

где – измеряемая величина;

– значение величины, найденное путем ее измерения и называемое результатом измерения.

Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины определяется на основании функциональной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми прямыми измерениями. Косвенные измерения можно охарактеризовать формулой:

(3)

где – результаты прямых измерений величин, связанных с искомым значением измеряемой величины А.

Примерами косвенных измерений являются измерение сопротивления с помощью амперметра и вольтметра, определение резонансной частоты колебательного контура по результатам прямых измерений емкости и индуктивности контура и т.д.

Погрешности измерений

Результат каждого отдельного измерения физической величины не совпадает с ее истинным значением в результате действия множества искажающих факторов. Отклонение результата измерений от истинного (действительного) значения измеряемой величины называется погрешностью измерений (ошибкой измерений).

Абсолютная погрешность измерений – погрешность измерений, определяемая как разность между измеренным и истинным значением измеряемой величины, взятая по модулю:

(4)

где – измеренное значение величины.

Истинное значение величины применяют только в теоретических исследованиях, на практике вместо него используют действительное значение величины .

Относительная погрешность измерений – погрешность измерений, равная отношению абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(5)

Различают три типа погрешностей измерений: грубые ошибки, систематические и случайные погрешности.

Грубые ошибки (промахи) – это погрешности, связанные с неисправностью измерительной аппаратуры, либо с ошибкой экспериментатора в отсчете или записи показаний приборов, либо с резким изменением условий. Результаты измерений в таких случаях необходимо отбрасывать и проводить новые измерения.

Систематическая погрешность измерений – это погрешность результата измерений, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же физической величины. К таким погрешностям относят методические и инструментальные (приборные) погрешности измерений.

Методическая погрешность обусловлена недостатком метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины.

Инструментальная (приборная) погрешность вызывается несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Данная погрешность определяется на основе паспортных данных прибора, а при отсутствии документации – по классу точности, который для электроизмерительных приборов определяется максимальной допустимой приведенной погрешностью:

(6)

где – абсолютная погрешность прибора при максимальных показаниях на данном пределе;

– номинальное значение, условно принятое для приборов данного типа значение, равное верхнему пределу измерений, или диапазону измерений.

Под основной приведенной погрешностью прибора понимают отношение абсолютной погрешности к номинальному значению прибора. Таким образом, класс точности прибора показывает относительную погрешность прибора на предельном значении, выраженную в процентах. На шкале прибора при представлении класса точности знак (%) не обозначается.

Согласно ГОСТ 1845-59, электроизмерительные приборы по точности делят на 8 классов:

§ 0,05; 0,1; 0,2 − образцовые;

§ 0,5; 1,0 − лабораторные;

§ 1,5; 2,5; 4,0 − технические приборы.

Поскольку действительное значение измеряемой величины при измерении неизвестно, для определения абсолютной погрешности прибора можно воспользоваться классом точности прибора:

, (7)

–абсолютная погрешность некой величины А;

– номинальное значение (предел);

k – класс точности прибора.

Пусть электроизмерительный прибор, например, вольтметр, предел измерений которого 75 В имеет класс точности 0,5 и показывает значение напряжения равное 20 В. Тогда по формулам (7) и (5) получаем:

То есть, если такой вольтметр показывает напряжение U = 20 В, то действительное его значение будет в пределах U=(20,0±0,4) В с относительной погрешностью Е_U=2 %.

При проведении измерений необходимо выбирать такие пределы, чтобы приборная погрешность была как можно меньше. При этом стрелка должна отклоняться на максимальный угол, но не выходить за границы шкалы.

Случайная погрешность измерений – это погрешность результата измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины. Полностью устранить случайную погрешность невозможно, но путем увеличения числа измерений их можно уменьшить.

Методы расчета случайных погрешностей

Для прямых измерений.

Пусть при измерениях возникают только случайные погрешности, систематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь, а грубые ошибки отсутствуют.

Тогда, измеряя несколько раз величину , мы получаем серию значений . Каждое из измеренных значений содержит случайную погрешность

( ) (8)

Поскольку истинное значение неизвестно, то остаются неизвестными по величине и знаку случайные погрешности, возникающие при каждом измерении, поэтому для учета максимально возможной погрешности разность берется по модулю.

Теория показывает, что близким к истинному значению измеряемой величины является среднее арифметическое ряда отдельных измерений:

(9)

где – число повторных измерений.

Среднее значение в данном методе используется как действительное, поэтому данный метод расчета погрешностей получил название метода среднего арифметического или метода среднего значения.

Находя для каждого измерения , аналогично (9) находим :

В теории погрешностей доказывается, что при увеличении числа случайная погрешность среднего арифметического стремится к нулю и может быть использована в качестве оценочного значения абсолютной погрешности. Окончательный результат измерений записывается в виде:

(10)

с указанием под результатом величины средней относительной погрешности. Средняя относительная погрешность определяется выражением:

(11)

Для электронных приборов при отсутствии паспорта и неизвестном классе точности приборная погрешность принимается равной дискретности прибора на данном пределе измерения. Дискретность можно определить даже при нулевых показаниях включенного прибора. Например, электронный прибор включен на так, что на табло светятся цифры 0.000, следовательно, дискретность равна 0,001. Если прибор показывает 0.00, дискретность равна 0,01. При показаниях 00.0, дискретность 0,1.

В случае однократных измерений в качестве абсолютной погрешности тоже используется приборная погрешность. В любом случае, результирующая погрешность не может быть равной нулю. Если она таковой оказывается, то это является либо следствием неправильно выбранного для данного измерения метода расчета погрешностей, либо ошибки в расчетах.

Для косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомую физическую величину определяют путем вычислений по результатам прямых измерений других величин. Для оценки погрешностей косвенных измерений величины необходимо вывести формулу для ее относительной погрешности . Пусть искомая величина является функцией нескольких переменных:

(12)

Тогда для расчета погрешности измерений можно использовать дифференциальный (другое название логарифмический) метод, в основе которого лежит свойство натурального логарифма:

Полный дифференциал логарифма исходной функции будет равен:

где – показатели степени аргументов

Таким образом, получаем:

Учитывая, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению ( ), и если приращение аргумента мало для функции, то дифференциал функции приблизительно равен ее приращению, то есть , получаем:

Значения измеряют один или несколько раз и обрабатывают по правилам оценки погрешностей прямых измерений. Если при логарифмировании и дифференцировании в выражении появились знаки «–», то для нахождения максимальной относительной погрешности их необходимо заменить на знаки «+».

Таким образом, для определения погрешностей косвенных измерений искомой величины используют формулу, полученную по следующим правилам:

§ взять натуральный логарифм расчетной формулы;

§ продифференцировать полученное выражение;

§ произвести замену знаков дифференциала на знаки конечного приращения ;

§ знаки “минус” заменить знаками “плюс”, так как суммарная погрешность всегда больше погрешности отдельных измерений;

§ в полученную формулу подставить средние арифметические значения измеренных величин и их абсолютные погрешности;

§ рассчитать относительную (Е), а затем абсолютную (ΔY) погрешности измерений искомой величины;

§ результат измерений записать в виде: .

Пример: Пусть в лабораторной работе требовалось определить удельное сопротивление проволоки с использованием закона Ома. Прямыми измерениями определяются сила тока , напряжение , длина , площадь поперечного сечения проволоки через радиус . Тогда расчетная формула будет иметь вид:

Выведем формулу для расчета погрешностей:

;

(в данном случае число принято за постоянную);

;

;

;

;

результат запишем в виде:

.

Дата добавления: 2018-04-05 ; просмотров: 994 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник