Что называется следом прямой на плоскости проекций

Научная электронная библиотека

Что называется следом прямой на плоскости проекций

2.4. Следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

В системе двух плоскостей проекций p1 и p2 прямая в общем случае имеет два следа:

Это точки пересечения прямой соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций (рис. 2.11, а).

Установим правило нахождения следов прямой.

Для нахождения горизонтального следа прямой необходимо:

1) продолжить фронтальную проекцию прямой а до пересечения с осью Х (получим точку НХ º Н2)

2) восстановить перпендикуляр в точке НХ к оси Х (провести линию связи перпендикулярную к оси Х);

3) продолжить горизонтальную проекцию прямой а до пересечения с перпендикуляром;

4) полученная точка пересечения и будет горизонтальным следом прямой а Н º Н1 (рис. 2.11, б).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рис. 2.8. Прямая, перпендикулярная Рис. 2.9. Прямая, перпендикулярная

горизонтальной плоскости проекций фронтальной плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рис. 2.10. Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рис. 2.11. Изображение следов прямой линии:

Для нахождения фронтального следа прямой необходимо:

1) продолжить горизонтальную проекцию прямой а до пересечения с осью Х (точка FXº F1);

2) восстановить перпендикуляр в точке FX к оси Х;

3) продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с перпендикуляром;

4) полученная точка пересечения Fº F2 будет фронтальным следом прямой а (рис. 2.11, б).

В начертательной геометрии считается, что наблюдатель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэтому видимыми геометрическими фигурами будут только те, которые расположены в первом октанте.

Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических проекциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями.

Источник

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Прямая линия А В определяется двумя точками, которые находятся на концах отрезка. Прямоугольную проекцию отрезка А В можно построить следующим образом (рис. 89, а).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Опустив перпендикуляры из точек и на плоскость Н, получим проекции а и b этих точек. Соединив точки а и b прямой линией, получим искомую горизонтальную проекцию отрезка А В.

На рис. 89, в показано построение фронтальной проекции отрезка АВ. Плоскость Р перпендикулярна плоскости V.

Рассмотрим различные случаи расположения отрезков прямой линии по отношению к плоскостям проекций Н, V и W.

1. Прямая, перпендикулярная к плоскости V, называется фронтально-проецирующей прямой (рис. 90, а).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Из комплексного чертежа отрезка А В (рис. 90, б) видно, что горизонтальная проекция аb перпендикулярна к оси х и подлине равна отрезку AB фронтальная проекция а’b’ является точкой.

Если, например, резец расположить так, чтобы его длинные ребра были параллельны плоскостям V и Н, то ребро АВ будет фронтально-проецирующей прямой (рис. 90, в).

2. Прямая, перпендикулярная к плоскости H (рис. 91, а), называется горизонтально-проецирующей прямой.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Из комплексного чертежа отрезка (рис. 91, б) видно, что фронтальная проекция b’c’ перпендикулярна к оси х и по длине равна отрезку ВС, а горизонтальная проекция bс является точкой.

Ребро ВС резца на рис. 91, в является горизонтально-проецирующей прямой.

3. Прямая, перпендикулярная к плоскости H. называется профильно-проецирующей прямой (рис. 92, а).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

На комплексном чертеже обе проекции отрезка — фронтальная и горизонтальная — параллельны оси Ох и по длине равны отрезку АВ (рис. 92, б). Профильная проекция а»b» отрезка АВ — точка.

Длинное ребро А В резца (рис. 92, в) — профильно-проецирующая прямая.

4. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или сокращенно — горизонталью (рис. 93, а).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

На комплексном чертеже горизонтали (рис. 93, б) видно, что фронтальная а’b’ и профильная a»b» проекции параллельны соответственно осям проекций Ох и Oy1 Горизонтальная проекция ab горизонтали А В расположена под углом к оси Ох и равна длине отрезка АВ.

Ребро А В (режущая кромка) головки резца (рис. 93, в) параллельно плоскости Н и представляет собой горизонталь.

5. Прямая, параллельная плоскости V, называется фронталью (рис. 94, а).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Горизонтальная проекция ab фронтали AB параллельна оси Ох (рис. 94, б).Фронтальная проекция а’b’ фронтали наклонена к оси Ох и равна действительной длине отрезка А В.Профильная проекция а»b» фронтали АВ параллельна оси Oz.

Ребро А В резца (рис. 94, в) параллельно плоскости V и, следовательно, представляет собой фронталь.

6. Прямая, не параллельная ни одной из трех плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Возьмем отрезок АВ прямой общего положения (рис. 95, а)и построим горизонтальную ab и фронтальную а’b’ проекции этого отрезка. Комплексный чертеж отрезка прямой общего положения показан на рис. 95, б.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

У отрезного резца (рис. 95, в) ребро представляет собой прямую общего положения.

Рассмотренные прямые часто применяются в построениях, поэтому, изучая их комплексные чертежи, надо запомнить, как та или иная проекция прямой располагается по отношению к осям проекций.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ ПРОЕКЦИЙ

Горизонталь, фронталь и прямая общего положения расположены под углом к плоскостям проекций.

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Например, отрезок фронтали АВ (рис. 96, а) составляет угол а с горизонтальной плоскостью проекций Н.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Разберем способ определения угла между прямой и плоскостью проекций на комплексном чертеже. Если прямая — фронталь, то, как видно из рис. 96, б, угол между фронталью и горизонтальной плоскостью проекций H на комплексном чертеже равен углу между фронтальной проекцией фронтали a’b’ и осью проекций x.

Ребро АВ резьбового резца (рис. 96, в) параллельно фронтальной плоскости проекций, т. е. ребро АВ — фронталь. Так как основание резца расположена на горизонтальной плоскости проекций H, то угол а является углом между прямой А и плоскостью Н. Таким образом, по чертежу резца можно определить угол а между ребром АВ и основанием резца. Следовательно, если прямая имеет какую-либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом.

СЛЕДЫ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Чтобы найти фронтальный след прямой АВ (рис. 97, а), необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию ab до пересечения с осью x в точке v, а затем из точки v восстановить перпендикуляр к оси x и найти точку v’ пересечения этого перпендикуляра с продолжением фронтальной проекции отрезка.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВЗАИМНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Из курса начертательной геометрии известно, что:

а) если прямые параллельны в пространстве, то их одноименные проекции параллельны (рис. 98, );

в) если точки пересечения проекций прямых, например, n’ и а не расположены на одном перпендикуляре к оси х (рис. 98, в), то прямые скрещиваются.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Точка v’ — искомый фронтальный след прямой АВ или точнее — фронтальная проекция фронтального следа; точка v — горизонтальная проекция горизонтального следа; точка h’ — фронтальная проекция горизонтального следа.

На комплексном чертеже отрезка эти построения выполняются аналогично (рис. 91, б).

Из чертежа видно, что одна из двух проекций каждого следа прямой расположена на оси х.

Источник

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

Что называется следом прямой на плоскости проекций
а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π1, то его фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций π12, а горизонтальная проекция отрезка А1В1 определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π2, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π21, а фронтальная проекция отрезка C2D2 определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π1 (Рисунок 2.5).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

АА1 – расстояние от точки А до плоскости проекций π1;

ВВ1 – расстояние от точки В до плоскости проекций π1;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ1АА11 – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π1 (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π2

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)
Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

Упражнение

Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

2.5. Следы прямой

След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

2.6. Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут быть:

Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

2.7. Проекции плоских углов

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.15

По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВВС,

2.8. Задачи для самостоятельного решения

1. Построить отрезок прямой АВ // π1, равный 35 мм и наклонённый к π2 под углом 25° (Рисунок 2.17).

Что называется следом прямой на плоскости проекций
Рисунок 2.17

2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π2 и π1.

3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π1 и 45° — к плоскости проекций π2.

4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π21 (Рисунок 2.18).

Источник

Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Проецирование прямой линии:

Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рисунок 2.1). Проекции отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.

Прямые общего и частного положения

Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рисунок 2.1а).

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения (рисунок 2.16, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.

Прямые, параллельные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой. Что называется следом прямой на плоскости проекций

Кроме того, по этой проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной плоскости проекций.

Среди упомянутых прямых особое место занимают горизонталь h и фронталь f (рисунок 2.2), которые обладают замечательными свойствами и поэтому часто применяются при решении различных задач.

Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная

проекция горизонтали Что называется следом прямой на плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция «вырождается» в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их натуральной величиной. На рисунке 2.3 представлены эпюры горизонтально- (а), фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в). Что называется следом прямой на плоскости проекций

Определение натуральной величины прямой

Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° и Что называется следом прямой на плоскости проекцийОни определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

Следы прямой

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

Пространственные чертежи и эпюры параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8). Что называется следом прямой на плоскости проекций

Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых). Что называется следом прямой на плоскости проекций

Сущность метода заключается в следующем:

Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

На рисунке 2.10 представлена пространственная схема определения видимости проекций прямой MN и плоскости ABCD, пересекающихся друг с другом в точке К. На горизонтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая ВС, так как её аппликата больше, чем у прямой MN. На фронтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая MN, так как ордината у неё больше, чем у прямой АВ. Что называется следом прямой на плоскости проекций

Пример: Определить длину растяжек для крепления антенны к крыше здания (рисунок 2.11).

Решение: Длина растяжек АВ и ВС определена методом прямоугольного треугольника на фронтальной проекции. Длину растяжки KD определять не следует, так как прямая KD является фронталью и её фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийпредставляет НВ.

Пример: Построить следы прямой АВ и определить октанты, через которые проходит прямая (рисунок 2.12).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Решение: Задача решена в пространстве и на эпюре. Так как проекции прямой пересекают оси ОХ и 0Y, то в точках пересечения и будут находится проекции горизонтального, фронтального и профильного следов прямой. Далее по знакам координат точек М, К, N, L определяем, что прямая проходит через октанты ll, I, IV и VIII.

Пример: Определить взаимное положение прямых АВ и CD (рисунок 2.13).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Решение: Анализ проекций двух заданных прямых приводит к выводу, что они являются профильными прямыми, так как обе их проекции параллельны осям 0Y и 0Z. Анализ взаимной параллельности одноименных проекций позволяет сделать предварительный вывод о том, что прямые АВ и CD параллельны друг другу. Однако такой вывод неправомерен, так как для профильных прямых следует проверить параллельность на профильной проекции. Построив профильные проекции Что называется следом прямой на плоскости проекций, видно, что прямые скрещиваются.

Пример: Разделить отрезок прямой АВ в отношении 2:3 (рисунок 2.14а). Что называется следом прямой на плоскости проекций

Задача решается исключительно графическим методом. Представленное решение задачи основано на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через засечки любые параллельные прямые, то другая сторона разделится на равные или пропорциональные отрезки. На рисунке 2.14а дано решение задачи в пространственной форме, а на рисунке 2.146 представлен эпюр решения задачи. На горизонтальной проекции вспомогательная прямая m проводится под произвольно углом, и на ней откладывается пять произвольных отрезков равной длины.

На рисунке 2.14в представлены ещё два способа деления отрезка прямой в заданном отношении.

Изготовление любой детали, строительство сооружений, разработка месторождений полезных ископаемых начинается с составления чертежей, планов и схем. Никакие словесные описания не могут заменить чертеж, который позволяет не только определить форму и размеры всех частей предмета, но и получить наглядное представление о нем.

Как и любая научная дисциплина, начертательная геометрия имеет терминологию, которую следует хорошо усвоить, чтобы понимать излагаемый материал.

В геометрии вообще и в начертательной геометрии в частности каждое последующее изложение основывается на предыдущем материале. Такая особенность изучаемого предмета требует систематической, последовательной работы над ним.

Потребность в отображении действительности появилась у человека давно. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием человечества совершенствовалась и техника передачи различных символов (письменность, схемы, чертежи). В Древнем Китае, например, была разработана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению соответствовал особый знак (иероглиф). В Древнем Египте при возведении сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.

Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земельных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны первые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования. В «Оптике» Евклида содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях «видения» предметов.

Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрождения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерландов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. К этому времени относится введение целого ряда основных понятий метода проецирования.

С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленности к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требования, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний по «теории изображений». Работа знаменитого французского геометра и инженера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818) «Geometrie Descriptive» (1798 г.) представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной научной дисциплины.

Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я.И. Севастьянов (1796-1849) в 1821 г. составил курс «Основания начертательной геометрии», ставший классическим учебным пособием по этому предмету.

Среди ученых, внесших наиболее значительный вклад в развитие начертательной геометрии, следует отметить академика Е.С. Федорова (1853-1919), преподававшего в Горном институте. На примере решения задач минералогии и кристаллографии он показал применимость методов начертательной геометрии к исследованиям закономерностей материального мира.

В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехнической дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной геометрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают возможность решать самые сложные проблемы в различных областях: горно-геологических науках, химии, физике и др.

Образование проекций. Методы проецирования

Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся к рис.1.

При этом точка Что называется следом прямой на плоскости проекцийназывается проекцией точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийна плоскости Что называется следом прямой на плоскости проекций. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования (например, на рис.1 проекцией треугольника Что называется следом прямой на плоскости проекцийна плоскости Что называется следом прямой на плоскости проекцийявляется треугольник Что называется следом прямой на плоскости проекций). Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования называется центральным.

Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным. Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отличаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недостатки. Во-первых, сложно построить изображение предмета. Во-вторых, построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причинам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.

Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.

Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.

Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.

Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых приведены в табл.1.

Таблица 1

Основные системы изображения, используемые при проецировании

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде всего, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных в табл.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектировании имеет эпюр (ортогональный чертеж). На его основе выполняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т.д. Поэтому в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно этому методу построения.

Ортогональный чертеж. Проецирование точки

Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную совокупность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

Для наглядного изображения плоскостей проекций взята кабинетная проекцияЧто называется следом прямой на плоскости проекций, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

Что называется следом прямой на плоскости проекцийКабинетная проекция относится к числу косоугольных, более подробно она будет рассмотрена в разделе «Аксонометрические проекции».

Представим себе также в пространстве некоторую точку Что называется следом прямой на плоскости проекций. Чтобы получить проекцию точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийна горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости Что называется следом прямой на плоскости проекцийи найти точку пересечения Что называется следом прямой на плоскости проекцийэтой прямой с плоскостью Что называется следом прямой на плоскости проекций. Точка Что называется следом прямой на плоскости проекцийназывается горизонтальной проекцией точки Что называется следом прямой на плоскости проекций. Путем ортогонального проецирования точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийна фронтальную и профильную плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекций).

Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийдо горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис.3, дают нам пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости чертежа плоскости проекций Что называется следом прямой на плоскости проекций, Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийусловно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Фронтальная плоскость проекций Что называется следом прямой на плоскости проекцийпринимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций Что называется следом прямой на плоскости проекцийсовмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси Что называется следом прямой на плоскости проекций, а профильная плоскость проекций Что называется следом прямой на плоскости проекций— вращением вокруг оси Что называется следом прямой на плоскости проекций. Направление вращения на рис.3 показано стрелками.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже ее обозначают штриховой линией):

Вследствие того, что отрезки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийявляются изображением одной и той же координаты Что называется следом прямой на плоскости проекций, точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийсвязывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийопределяется двумя координатами: горизонтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекций— координатами Что называется следом прямой на плоскости проекций; фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийЧто называется следом прямой на плоскости проекций, профильная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийЧто называется следом прямой на плоскости проекций.

Положение точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийможет быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийрассмотрен нами на рис.3. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийв выбранных единицах длины. Например, запись Что называется следом прямой на плоскости проекцийозначает, что Что называется следом прямой на плоскости проекций.

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

Пример 1. Построить проекции точки Что называется следом прямой на плоскости проекций.

1. Выбираем единичный отрезок (рис.4).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

3. Отмечаем точки Что называется следом прямой на плоскости проекций.

4. Из построенных точек Что называется следом прямой на плоскости проекций— проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.

Пример 2. Построить третью проекцию точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпо двум заданным (рис.5).

1. Даны фронтальная и профильная проекции точки Что называется следом прямой на плоскости проекций: фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийопределяется координатами Что называется следом прямой на плоскости проекций,

Что называется следом прямой на плоскости проекций

профильная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийопределяется координатами Что называется следом прямой на плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и определяем координатные отрезки Что называется следом прямой на плоскости проекцийравные соответствующим координатам точки Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки Что называется следом прямой на плоскости проекций.

4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки Что называется следом прямой на плоскости проекций(рис.6). Горизонтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийопределяется координатами

Что называется следом прямой на плоскости проекций

При определении точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпо Что называется следом прямой на плоскости проекцийперенос осуществляется с оси Что называется следом прямой на плоскости проекцийна соответствующее по знаку направление оси Что называется следом прямой на плоскости проекций.

В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним относится, например, точка А на рис.3);

2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций Что называется следом прямой на плоскости проекций, на осях проекций Что называется следом прямой на плоскости проекцийили в начале координат.

У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

Если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций, равна нулю. Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.

Точка Что называется следом прямой на плоскости проекцийрис.7 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийэтой точки совпадает с самой точкой, фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежит на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций, а профильная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекций— на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций. Координата точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпо оси Что называется следом прямой на плоскости проекцийравна нулю, и, следовательно, точка Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежит в начале координат.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Октанты

Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис.9. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл.2.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Таблица 2

Знаки прямоугольных координат в различных октантах

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой

Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Пусть нам даны на эпюре точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекций. Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве (рис.10). Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекциями отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию и притом только одну.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных проекциях этой линии.

Если на прямой Что называется следом прямой на плоскости проекциймы выберем какую-либо точку Что называется следом прямой на плоскости проекций, то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях прямой (рис.11).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя бы одной проекции точки, поскольку недостающие проекции легко найти в пересечении линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.

Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется прямой частного положения.

Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна третьей плоскости проекций, то на эти две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину, а третья проекция представляет собой точку. Такие прямые называют проецирующими.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника.

Предположим, что точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежат в I октанте (рис.17). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой Что называется следом прямой на плоскости проекций. Построим горизонтальную и фронтальную проекции этой прямой. Из точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпроведем линию, параллельную Что называется следом прямой на плоскости проекций, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка (рис.18): при этом второй катет окажется равным разности координат Что называется следом прямой на плоскости проекций. Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым катетом будет разность координат Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

На рис.18 истинная величина отрезка Что называется следом прямой на плоскости проекцийопределена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных треугольников имеют равную длину и все они определяют истинную величину отрезка Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Таблица 3

Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка примой Что называется следом прямой на плоскости проекцийметодом прямоугольного треугольника

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата Что называется следом прямой на плоскости проекцийточки Что называется следом прямой на плоскости проекцийположительная, а точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийотрицательная, то разность координат

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Пример 3. Определить истинную величину отрезка Что называется следом прямой на плоскости проекцийи угол наклона прямой к плоскости Что называется следом прямой на плоскости проекций(рис.19).

Что называется следом прямой на плоскости проекций

2. Определяем координаты по оси Что называется следом прямой на плоскости проекцийточек Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийи их разность:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию Что называется следом прямой на плоскости проекций. В качестве второго катета откладываем расстояние, равное Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

Выберем две точки, точку Что называется следом прямой на плоскости проекций, лежащую в плоскости проекций Что называется следом прямой на плоскости проекцийи точку Что называется следом прямой на плоскости проекций— в плоскости проекций Что называется следом прямой на плоскости проекций(рис.20). Через эти точки проведем прямую.

Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Поскольку точка Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежит в плоскости Что называется следом прямой на плоскости проекций, ее фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийрасполагается на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций, а профильная Что называется следом прямой на плоскости проекций— на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций. Горизонтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийточки Что называется следом прямой на плоскости проекцийтакже располагается на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций, а профильная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежит на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций. Горизонтальная проекция профильного следа Что называется следом прямой на плоскости проекцийлежит на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций, а фронтальная проекция Что называется следом прямой на плоскости проекций— на оси Что называется следом прямой на плоскости проекций.

Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис.20).

Горизонтальный след Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Что называется следом прямой на плоскости проекций

Фронтальный след Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Профильный след Что называется следом прямой на плоскости проекций:

Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов Что называется следом прямой на плоскости проекцийможет проводиться по двум уже построенным проекциям (горизонтальной и фронтальной), как было показано в разделе 1.2.

Пример 4. Построить проекции следов прямой Что называется следом прямой на плоскости проекций(рис.21).

1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа Что называется следом прямой на плоскости проекций, продолжив Что называется следом прямой на плоскости проекцийдо пересечения с осью Что называется следом прямой на плоскости проекций.

2. Из точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением Что называется следом прямой на плоскости проекцийЗдесь расположена точка Что называется следом прямой на плоскости проекций.

4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа Что называется следом прямой на плоскости проекцийв пересечении Что называется следом прямой на плоскости проекцийс осью Что называется следом прямой на плоскости проекций.

5. Из точки Что называется следом прямой на плоскости проекцийпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой Что называется следом прямой на плоскости проекцийи получаем точку Что называется следом прямой на плоскости проекций.

7. В пересечении Что называется следом прямой на плоскости проекцийс осью Что называется следом прямой на плоскости проекцийстроим точку Что называется следом прямой на плоскости проекций(горизонтальную проекцию профильного следа).

9. По двум проекциям Что называется следом прямой на плоскости проекцийи Что называется следом прямой на плоскости проекцийстроим профильную проекцию профильного следа Что называется следом прямой на плоскости проекцийЧто называется следом прямой на плоскости проекций.

Взаимное положение двух прямых

Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис.22, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис.22, б).

Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи (рис.22, в).

Что называется следом прямой на плоскости проекцийПри помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых и плоскостей относительно друг друга.

Проецирование плоских углов

Что называется следом прямой на плоскости проекций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *