Что называется скалярным произведением векторов

Скалярное произведение векторов определение, основные свойства, формулы и условия вычисления, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор

В старших классах на уроках алгебры, геометрии и физики ученики решают задачи с числами-скалярами. Для нахождения результата используется формула скалярного произведения векторов: (а, а) > 0, для всех а≠0. Полученное значение не зависит от системы координат. Оно характеризует длину сомножителей и угол, образованный между ними. Подобной операции соответствует линейность.

Трактовка понятий

Под скалярным произведением (СП) в пространстве над полем вещественных чисел подразумевается функция (x, y) для соответствующих элементов, принадлежащих указанному координатному пространству. Из определения вытекает линейность СП по первичному аргументу.

Для косинуса и синуса справедливо смешанное сопряжение. СП принимает положительную определённость, если соблюдается условие, что x=0. Для вычислений показателя в алгебре используется следующая форма: а = [a1, a2, …, an] и b = [b1, b2, …, bn].

Пример: нужно найти в трёхмерном пространстве произведение двух скаляров [1, 3, −5] и [4, −2, −1]. Решение: необходимо перемножить градиенты (вектора). [1, 3, −5] х [4, −2, −1] = 1 х 4 + 3 х (-2) + (-5) х (-1) = 3.

Геометрическое определение отличается от физического и алгебраического. Чтобы вычислить СП, используя длину и угол между градиентами, которые введены независимым способом, используется следующее выражение: (а, b) = lal x lbl x cos (a, b). Базисом аксиоматики считается скалярное произведение. После его нахождения определяется длина основного вектора и угла.

В современных теоремах понятие СП находится в основе некоторых производных, включая евклидову норму. Термин «длина» используется по отношению к конечномерным векторам. Если имеет смысл криволинейный путь, тогда применяются векторы ненулевой длины. Чаще они находятся в бесконечномерном пространстве.

Угол между такими величинами отличен от нуля. Его значением является число, косинус которого — отношение их СП к произведению их длин. Если пространство псевдоевклидовое (конечномерное, для которого характерна невырожденная индефинитная метрика), понятие «угол» применяется относительно скаляров без изотропных прямых.

Сам угол является числом. Чтобы дать ему значение, вычисляется гиперболический косинус: отношение модуля СП к произведению длин векторов. При перпендикулярности либо ортогональности на плоскости СП равняется нулю. Это свойство скалярного произведения векторов характерно для любого промежутка с положительно определённым СП.

При соблюдении такого условия пространство называется вещественным либо комплексным. Конечномерный вещественный промежуток с положительным СП называется евклидовым, а комплексный — унитарным (эрмитовым).

Если скалярное произведение отрицательное либо не считается знакоопределённым, промежуток называется индефинитной метрикой. Примером такого промежутка является пространство Минковского. СП на таких участках не порождает нормы. Из бесконечномерных выделяются пространства:

Описание свойств

С помощью специальных математических онлайн сервисов или калькулятора легко находится значение СП через теорему косинусов: a = arccos (a, b)/√(а, а)(b, b). Знак зависит от косинуса угла. В норме значения векторов только положительные. СП больше нуля, если угол острый, и меньше, когда он тупой.

Главные свойства умножения скаляров:

Задача 1: вычислить СП векторов а = <1;2>и b = <4;8>. Решение: а х b = 1 х 4 + 2 х 8 = 20.

Задача 2: найти СП скаляров а и b, если из длины равны 3 и 6, а угол — 60 градусов. Решение: а х b = lal x lbl cos α = 3 х 6 х cos60 = 9. Для лучшего усвоения материала два вектора перемножается с помощью матрицы. Чтобы различать множители, первый оформляется в строку, а второй — в столбец. Если в условиях задачи указываются три величины, тогда последняя оформляется в скобки в форме квадратов. Их скалярное произведение вычисляется путём умножения матриц. Результат — единственное число.

Применение в физике

Впервые скалярное произведение ввёл У. Гамильтон в 1846 году. Одновременно учёные начали использовать в своих работах векторное произведение, сумму скаляров. Понятие получило широкое применение и в физике. На его основе сформулированы главные законы электродинамики и механики.

Скаляр является физической величиной. Чтобы его задать, используется одно число. Примеры скаляров в физике:

В каждом предложенном варианте величина задаётся с помощью одного числа, поэтому масса тела и температура относятся к скалярам. Но это понятие в физике не считается простым числом. Для него характерна размерность.

Если в условиях задачи известно, что масса тела равна 3, необходимо указывать единицу измерения (килограммы, граммы). В математике можно сложить числа 3 и 10, а в физике суммируются только скаляры с одинаковой размерностью: массы с массой, градусы с градусами.

Если рассматривать векторную физическую величину, она характеризуется следующим образом:

Понятие скаляр — модуль вектора либо абсолютная величина. Если предположить, что транспортное средство двигается со скоростью 60 км/ч, такая информация считается неполной. В физике важно знать направление движения. Кроме модуля скорости как абсолютной величины, потребуется знать направление в пространстве, поэтому скорость считается векторной величиной.

Если на земле лежит кирпич массой в 1 кг и на него действует сила в 100 Н (модуль), потребуется найти направление движения объекта. Невозможно выяснить параметр, если нет информации о направлении действия силы. Если она идёт вверх, тогда и кирпич будет двигаться в аналогичном направлении.

Если сила идёт вдоль горизонта, тогда объект поедет горизонтально. При вертикальном воздействии силы вниз кирпич останется на прежнем месте. Он будет вжиматься в землю. Подобные явления указывают на то, что сила является вектором, поэтому для неё характерна размерность, модуль.

Для обозначения вектора в физике используются латинские буквы и стрелка:

Стрелка является направленным отрезком. Её начальная точка — начало вектора, а конечная или остриё — конец вектора. В математике величина с начальной точкой А и концом В обозначается →АВ. Если начало и конец направленного отрезка совпадают, тогда получается нулевой вектор. Он обозначается →0.

Такой отрезок считается точкой. У него нет конкретного направления, а длина равняется нулю. К безразмерным скалярам относятся коэффициенты трения и полезного действия, показатель преломления света.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Формула скалярного произведения двух векторов и

Через их координаты

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа k справедливы равенства:

1) причем при

2) (переместительный закон).

3) (распределительный закон).

4) (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дано: прямоугольный параллелепипед, где . Найти и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D₁.

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD <1-0;1-0;0-0>. А вектор

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Ответ:

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .

Ответ:

Источник

Скалярное произведение векторов

Содержание

Определение [ править ]

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

Геометрический смысл скалярного произведения [ править ]

Связь с проекциями [ править ]

Таким образом, скалярное произведение

Связь с длинами [ править ]

Рассмотрим скалярное произведение вектора на самого себя.

Связь с углами [ править ]

Рассмотрим скалярное произведение единичных векторов. Поскольку их длины равны 1, то

Скалярное произведение в ортонормированной системе координат [ править ]

a ⋅ b = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) ⋅ ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = = a 1 b 1 e 1 ⋅ e 1 + a 2 b 2 e 2 ⋅ e 2 + a 3 b 3 e 3 ⋅ e 3 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) e 1 ⋅ e 2 + ( a 1 b 3 + a 3 b 1 ) e 1 ⋅ e 3 + ( a 2 b 3 + a 3 b 2 ) e 2 ⋅ e 3 <\displaystyle <\begin\mathbf \cdot \mathbf &=(a_<1>\mathbf _<1>+a_<2>\mathbf _<2>+a_<3>\mathbf _<3>)\cdot (b_<1>\mathbf _<1>+b_<2>\mathbf _<2>+b_<3>\mathbf _<3>)=\\&=a_<1>b_<1>\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<1>+a_<2>b_<2>\mathbf _<2>\cdot \mathbf _<2>+a_<3>b_<3>\mathbf _<3>\cdot \mathbf _<3>+(a_<1>b_<2>+a_<2>b_<1>)\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<2>+(a_<1>b_<3>+a_<3>b_<1>)\mathbf _<1>\cdot \mathbf _<3>+(a_<2>b_<3>+a_<3>b_<2>)\mathbf _<2>\cdot \mathbf _<3>\end>>

Аксиоматический подход [ править ]

При аксиоматическом подходе скалярное произведение определяется как некоторая функция, аргументы которой — два вектора, результат — число, не зависящее от системы координат, обладающее свойствами:

Тогда производными понятиями становятся

Источник

Скалярное произведение векторов

Нулевой вектор: \( \vec <0>\)

Угол между векторами: \( \theta \)

Скалярным произведением векторов \(\vec\) и \(\vec\) называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

\[ \vec \cdot \vec = \left| \vec \right| \cdot \left| \vec \right| \cdot \cos \theta \]

Коммутативность скалярного произведения
\(\vec \cdot \vec = \vec \cdot \vec\)

Ассоциативность скалярного произведения
\(\left( <\lambda \vec> \right) \cdot \left( <\mu \vec> \right) = \lambda \mu \vec \cdot \vec\)

Дистрибутивность скалярного произведения
\(\vec \cdot \left( <\vec+ \vec> \right) = \vec \cdot \vec + \vec \cdot \vec\)

Скалярное произведение векторов равно нулю:

Скалярное произведение векторов положительно:

Скалярное произведение векторов отрицательно:

Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
\(\vec \cdot \vec \le \left| \vec \right| \cdot \left| \vec \right|\)

Скалярные квадраты единичных координатных векторов
\(\vec \cdot \vec = \vec \cdot \vec = \vec \cdot \vec = 1\)

Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов
\(\vec \cdot \vec = \vec \cdot \vec = \vec \cdot \vec = 0\)

Источник

Что называется скалярным произведением векторов

Скалярным произведением двух векторов `vec a` и `vec b` называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается `vec a * vec b`.

Иногда используют более сложные обозначения для скалярного произведения векторов: `(vec a vec b)` или даже `(vec a, vec b)`.

Если векторы `vec a` и `vec b` ортогональны `(vec a _|_ vec b)`, то `cos alpha = 0` и поэтому `vec a * vec b = 0`. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.

Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то `cos alpha = 1`, поэтому скалярное произведение векторов `vec a` и `vec b` равно произведению модулей векторов `vec a` и `vec b`. В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: `vec a * vec a = a^2`.

2. Имеется ещё одна важная форма записи скалярного произведения: через проекции векторов в прямоугольной системе координат `xOy`. Пусть в некоторой системе координат векторы `vec a` и `vec b` имеют координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула

Действительно, имеем `vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * (b_x vec i + b_y vec j)`, или после перемножения скобок

`vec a * vec b = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`.

Учитывая, что векторы `vec i` и `vec j` единичные и взаимно перпендикулярные,

(`vec i * vec i = vec j * vec j = 1` и `vec i * vec j = vec j * vec i = 0`), получим (7).

(написано по просьбе Володковича Н.А., преподавателя школы Смоленской обл.). Кажущееся привычным перемножение скобок

`vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * ( b_x vec i + b_y vec j) = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`

не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения. Докажем, что

`(vec a + vec b)(vec c + vec d) = vec a * vec c + vec a * vec d + vec b * vec c + vec b * vec d`. (*)

Для этого заметим, что скалярное произведение (6) можно переписать в виде

`vec a * vec b = a * b_a` (6′),

где `b_a` – проекция вектора `vec b` на направление вектора `vec a`.

(Можно было записать и иначе:

`vec a * vec b = a_b * b` (6″),

где `a_b` – проекция вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.)

Далее – цепочка простых выкладок:

`vec a * (vec c + vec d) = (vec c + vec d) * vec a = a (c_a + d_a) = a * c_a + a * d_a = vec a * vec c + vec a * vec d`,

При другом выборе системы координат векторы `vec a` и `vec b` имели бы другие координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Поэтому могло бы показаться, что в новой системе координат скалярное произведение векторов (7) будет иметь другое значение. На самом деле, согласно (6) величина скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол между ними не зависят от поворотов и сдвигов системы координат.

`vec a = (3; lambda)`, `a = 5`. Определите `lambda`.

Согласно формуле (4) имеем `3^2 + lambda ^2 = 5^2`, откуда `lambda = 16` и `lamda =+- 4`. Заметим, что условию задачи удовлетворяют два разных вектора (см. рис. 16).

Векторы `vec a = (0; 3)` и `vec b = (lambda ; 5)` коллинеарны друг другу. Определите `lambda`.

Вектор `vec a` параллелен оси `Oy` (перпендикулярен оси `Ox`: `a_x = 0`). Поэтому коллинеарный ему вектор `vec b` также должен быть перпендикулярен оси `Ox`, т. е. должно выполняться равенство `b_x = 0`, или `lambda = 0`.

Векторы `vec a = (- 1; 3)` и `vec b = (lambda; 5)` перпендикулярны друг другу. Определите `lambda`.

Векторы `vec a` и `vec b` перпендикулярны друг другу, поэтому равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения векторов имеем: `(- 1) * lambda + 3 * 5 = 0`, откуда `lambda = 15`.

Векторы `vec a`, `vec b`, `vec c` составляют треугольник (см. рис. 17).

Воспользовавшись свойствами скалярного произведения векторов, докажите теорему косинусов

`vec c * vec c = + (vec a + vec b) * (vec a + vec b) = vec a * vec a + vec a * vec b + vec b * vec a + vec b * vec b = a^2 + b^2 + 2ab cos alpha`.

`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt13`,

`b = sqrt(b_x^2 + b_y^2) = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2) = sqrt5`.

Тогда `cos alpha = (- 8)/(sqrt13 * sqrt5) = (- 8)/sqrt(65)

Источник