Что называется синусом угла а где 0 а 180
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Угол поворота
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Синус (sin) угла поворота
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Основные функции тригонометрии
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Презентация по теме :»Синус,косинус и тангенс угла», 9-й класс.
Содержимое разработки
Синус, косинус и тангенс для угла от 0° до 180°
Не стыдно чего-нибудь не знать, но стыдно не хотеть учиться. (Сократ)
Какую полуокружность называют единичной?
Радиус равен 1,центр в начале координат, расположена в 1 и 2 координатной четверти.
Что называют синусом угла α, где 0°≤α≤180°
Синусом угла называется ордината точки
Что называют косинусом угла α, где 0°≤α≤180°
Косинусом угла называется абсцисса точки
В каких пределах находится значение синуса, косинуса?
0 для острого угла Cos α» width=»640″
Каким числом положительным или отрицательным является косинус острого угла? тупого угла?
Каким числом положительным или отрицательным является синус острого угла? тупого угла?
Cos α 0 для острого угла
Какой формулой связаны синус и косинус одного и того же угла?
Основное тригонометрическое тождество
Что называют тангенсом угла α, где 0°≤α≤180 °
Тангенс – это отношение синуса к косинусу этого же угла(α≠90°)
Почему тангенс не определен для угла 90°?
х = cosα ≠ 0 значит α≠ 90°
Какое общее название имеют функции f(α) = sinα, g(α) = cosα, h(α) = tgα
Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику.
Он придал всей тригонометрии ее современный вид.
В треугольнике АВС угол С равен 90°. ВС = 2
Синус, косинус, тангенс, котангенс
В этой главе получит дальнейшее развитие тригонометрически аппарат геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс будут определены для углов от 0° до 180°. Это даст возможность вывести формулы, связывающие между собой стороны и углы произвольного треугольника. Утверждения об этих формулах называются теоремой синусов и теоремой косинусов. Они широко используются как в самой геометрии, так и в её приложениях, в частности при проведении измерительных работ на местности, Кроме того, в этой главе вводится ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов. С одной стороны, оно расширяет наши возможности в применении координатно-векторного метода при решении геометрических задач, а с другой — используется в физике для описания физических величин.
Введём прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах (рис. 290). Назовём её единичной полуокружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке М (x; у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).
Если угол а острый, то из прямоугольного треугольника DOM (см. рис. 290) имеем
Но ОМ = 1, MD = у, OD = х, поэтому
sin α = у, cos α = х. (1)
Найдём значения синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Для этого рассмотрим лучи О А, ОС и ОВ, соответствующие этим углам (см. рис. 290). Так как точки А, С и В имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Тангенсом угла α (α ≠ 90°) называется отношение 
, т. e.
При α = 90° tg α не определён, поскольку cos 90° = 0, и в формуле (3) знаменатель обращается в нуль. Используя формулы (2), находим: tg 0° = 0, tg 180° = 0.
Котангенсом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называется отношение 
Котангенс угла а обозначает α ется символом ctg α. Таким образом,
При α = 0° и α =180° ctg α не определён. Исходя из формул (2), получаем: ctg 90° = 0.
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Математика
Урок 1: Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Тема 30.
Синус, косинус, тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.
Введем прямоугольную систему координат Oxy и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Назовем ее единичной полуокружностью. Из точки O проведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке M(x;y).
Обозначим буквой α угол между лучом hи положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).
Если угол α острый, то из прямоугольного ∆DOM:
Найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90°, 180°. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки А, С и В имеют координаты А(1; 0), С(0; 1), В(-1; 0), то
При α = 90° tg α не определен, поскольку cos 90° = 0, и знаменатель обращается в ноль.
При α = 0° и α = 180° сtg α не определен, поскольку
Вернемся к нашей единичной полуокружности АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид x 2 + y 2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у получим равенство sin 2 α + cos 2 α = 1, которое выполняется для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.
Справедливы также следующие тождества:
Они называются формулами приведения.