Что называется шагом или интервалом ряда

10.04.202214.04.2022 admin 0 Comments

Статистические ряды распределения

Простейшей группировкой является статистический ряд распределения.

Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Ряды распределения принято оформлять в виде таблицы.

Различают атрибутивный и вариационный ряд распределения. Атрибутивные ряды распределения строятся по качественному признаку, а вариационные ряды по количественному.

Элементами атрибутивного ряда распределения являются качественный группировочный признак и число единиц совокупности в каждой группе.

Вариационный ряд представляет собой упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям группировочного признака с подсчетом числа совокупности по группам. Каждая группа вариационного ряда распределения характеризуется двумя элементами – вариантом и частотой.

Вариант– это числовое значение варьирующего признака, которое он принимает в ряду распределения.

Для характеристики ряда распределения и расчета отдельных показателей используются также величины накопленной частоты (кумуляты) и накопленной частости.

Накопленная частота показывает сколько значений признака наблюдалось со значением равным или меньше рассматриваемого. Накопленная частота отдельных групп кроме того показывает ранг (порядковый номер) последнего значения признака в рассматриваемой группе.

Различают два вида вариационных рядов распределения – дискретный и интервальный.

Вариационный дискретный ряд распределения строится на основе признака с прерывной вариацией – дискретной величины. К дискретным величинам относятся целые значения признака, например, число детей в семье, число сидячих мест в автобусах и т.п.

Группировка предприятий по объемам годовой добычи природного

газа в России в 1995 г.

Интервальная группировка с равными интервалами строится в следующем порядке:

1) все единицы совокупности распределяются в порядке возрастания или убывания (ранжируются);

2) определяется число групп, если оно не задано, по формуле Стерджесса:

где n – число групп;

N – численность единиц статистической совокупности.

3) рассчитывается шаг интервала:

Значения шага интервала округляются в большую сторону.

3) определяются границы интервалов. В качестве нижней границы первого интервала берется минимальное значение признака. К нему прибавляют шаг интервала и получают верхнюю границу первого интервала, которая одновременно является нижней границей второго интервала. К ней прибавляется шаг интервала и получают верхнюю границу второго интервала, которая в то же время является нижней границей третьего интервала и т.д.:

4) все единицы совокупности распределяются по интервалам и подсчитываются частоты f _i в каждом интервале.

Открытыми бывают первый и последний интервалы. У первого интервала отсутствует нижняя граница (до 5, до 10), у последнего – верхняя (15 и более). Но для определения середины интервала требуется знать обе границы. Середина интервала равна половине суммы границ интервала. Чтобы определить неизвестную границу открытого интервала, необходимо сначала приравнять шаг открытого интервала шагу смежного интервала. Шаг первого интервала будет равен шагу второго, а шаг последнего – шагу предпоследнего интервала. Нижнюю границу первого интервала находят путем вычитания от верхней границы шага интервала, верхнюю границу последнего интервала – путем сложения нижней границы с шагом интервала.

Нижняя граница первого интервала должна охватывать минимальное значение варьирующего признака. Верхняя граница последнего интервала должна быть такой, чтобы в интервал вошло максимальное значение признака.

Когда признак варьирует в значительных размерах и неравномерно, применяются неравные интервалы. Неравные интервалы могут быть прогрессивно возрастающими в арифметической и геометрической прогрессии:

aрифметическая прогрессия h _i+1= h_i + a,

геометрическая прогрессия h _i+1= h_i *q,

где а – константа, число которое будет положительным при прогрессивно возрастающих интрвалах и отрицательным – при прогрессивно убывающих интервалах;

q – константа, положительное число, которое при прогрессивно возрастающих интервалах будет больше 1, а при прогрессивно убывающих интервалах – меньше 1.

Закономерности варьирования признаков можно представить графически.

Для дискретного ряда распределения график распределения признака называется полигоном распределения, интервального ряда – гистограмма кумулятивного ряда (по накопленным частотам) – кумулятивная кривая или кумулята.

Например, график дискретного ряда, оформленного в таблице 3.5, представлен на рис. 3.2.

Распределение семей по числу детей в семье

Число детей в семье, чел.	Число семей
Итого

Рис. 3.1. Полигон распределения семей по числу детей

Гисторамма, изображающая интервальный ряд, представляет собой сомкнутые столбики, ширина которых равна шагу интервала, а высота – частоте интервалов.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

3. Интервальный вариационный ряд.
Гистограмма относительных частот

На предыдущем уроке по математической статистике (Занятие 1) мы разобрали дискретный вариационный ряд (Занятие 2), и сейчас на очереди интервальный. Его понятие, графическое представление (гистограмма и эмпирическая функция распределения), а также рациональные методы вычислений, как ручные, так и программные. В том числе будут рассмотрены задачи с достаточно большим количеством (100-200) вариант – что делать в таких случаях, как обработать большой массив данных.

Предпосылкой построения интервального вариационного ряда (ИВР) является тот факт, что исследуемая величина принимает слишком много различных значений. Зачастую ИВР появляется в результате измерения непрерывной характеристики изучаемых объектов. Типично – это время, масса, размеры и другие физические характеристики. Подходящие примеры встретились в первой же статье по матстату, вспоминаем Константина, который замерял время на лабораторной работе и Фёдора, который взвешивал помидоры.

Для изучения интервального вариационного ряда затруднительно либо невозможно применить тот же подход, что и для дискретного ряда. Это связано с тем, что ВСЕ варианты многих ИВР различны. И даже если встречаются совпадающие значения, например, 50 грамм и 50 грамм, то связано это с округлением, ибо полученные значения всё равно отличаются хоть какими-то микрограммами.

Поэтому для исследования ИВР используется другой подход, а именно, определяется интервал, в пределах которого варьируются значения, затем данный интервал делится на частичные интервалы, и по каждому интервалу подсчитываются частоты – количество вариант, которые в него попали.

Разберём всю кухню на конкретной задаче, и чтобы как-то разнообразить физику, я приведу пример с экономическим содержанием, кои десятками предлагают студентам экономических отделений. Деньги, строго говоря, дискретны, но если надо, непрерывны :), и по причине слишком большого разброса цен, для них целесообразно строить интервальный ряд:

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в некоторых денежных единицах):

Требуется составить вариационный ряд распределения, построить гистограмму и полигон относительных частот + бонус – эмпирическую функцию распределения.

Такое обывательское исследование проводит каждый из нас, начиная с анализа цены на пакет молока ~~вот это дожил~~ в нескольких магазинах, и заканчивая ценами на недвижимость по гораздо бОльшей выборке. Что называется, не какие-то там унылые сантиметры.

Поэтому представьте свой любимый товар / услугу и наслаждайтесь решением🙂

Очевидно, что перед нами выборочная совокупность объемом наблюдений (таблица 10*3), и вопрос номер один: какой ряд составлять – дискретный или интервальный? Смотрим на таблицу: среди предложенных цен есть одинаковые, но их разброс довольно велик, и поэтому здесь целесообразно провести интервальное разбиение. К тому же цены могут быть округлёнными.

Начнём с экстремальной ситуации, когда у вас под рукой нет Экселя или другого подходящего программного обеспечения. Только ручка, карандаш, тетрадь и калькулятор.

Тактика действий похожа на исследование дискретного вариационного ряда. Сначала окидываем взглядом предложенные числа и определяем примерный интервал, в который вписываются эти значения. «Навскидку» все значения заключены в пределах от 5 до 11. Далее делим этот интервал на удобные подынтервалы, в данном случае напрашиваются промежутки единичной длины. Записываем их на черновик:

Теперь начинаем вычёркивать числа из исходного списка и записывать их в соответствующие колонки нашей импровизированной таблицы:

После этого находим самое маленькое число в левой колонке и самое большое значение – в правой. Тут даже ничего искать не пришлось, честное слово, не нарочно получилось:)
ден. ед. – хорошим тоном считается указывать размерность.

Вычислим размах вариации:
ден. ед. – длина общего интервала, в пределах которого варьируется цена.

Теперь его нужно разбить на частичные интервалы. Сколько интервалов рассмотреть? По умолчанию на этот счёт существует формула Стерджеса:

, где – десятичный логарифм* от объёма выборки и – оптимальное количество интервалов, при этом результат округляют до ближайшего левого целого значения.

* есть на любом более или менее приличном калькуляторе

В нашем случае получаем:
интервалов.

Следует отметить, что правило Стерджеса носит рекомендательный, но не обязательный характер. Нередко в условии задачи прямо сказано, на какое количество интервалов нужно проводить разбиение (на 4, 5, 6, 10 и т.д.), и тогда следует придерживаться именно этого указания.

Длины частичных интервалов могут быть различны, но в большинстве случаев использует равноинтервальную группировку:
– длина частичного интервала. В принципе, здесь можно было не округлять и использовать длину 0,96, но удобнее, ясен день, 1.

И коль скоро мы прибавили 0,04, то по 5 частичным интервалам у нас получается «перебор»: . Посему от самой малой варианты отмеряем влево 0,1 влево (половину «перебора») и к значению 5,7 начинаем прибавлять по , получая тем самым частичные интервалы. При этом сразу рассчитываем их середины (например, ) – они требуются почти во всех тематических задачах:

– убеждаемся в том, что самая большая варианта вписалась в последний частичный интервал и отстоит от его правого конца на 0,1.

Далее подсчитываем частоты по каждому интервалу. Для этого в черновой «таблице» обводим значения, попавшие в тот или иной интервал, подсчитываем их количество и вычёркиваем:

Так, значения из 1-го интервала я обвёл овалами (7 штук) и вычеркнул, значения из 2-го интервала – прямоугольниками (11 штук) и вычеркнул и так далее.

Правило: если варианта попадает на «стык» интервалов, то её следует относить в правый интервал. У нас такая варианта встретилась одна: – и её нужно причислить к интервалу .

В результате получаем интервальный вариационный ряд, при этом обязательно убеждаемся в том, что ничего не потеряно: , и, кроме того, рассчитываем относительные частоты по каждому интервалу, которые уместно округлить до двух знаков после запятой:

Дело за чертежами. Для ИВР чаще всего требуется построить гистограмму.

Гистограмма относительных частот – это фигура, состоящая из прямоугольников, ширина которых равна длинам частичных интервалов, а высота – соответствующим относительным частотам:

При этом вполне допустимо использовать нестандартную шкалу по оси абсцисс, в данном случае я начал нумерацию с четырёх.

Площадь гистограммы равна единице, и это статистический аналог функции плотности распределения непрерывной случайной величины. Построенный чертёж даёт наглядное и весьма точное представление о распределении цен на ботинки по всей генеральной совокупности. Но это при условии, что выборка представительна.

Вместе с гистограммой нередко требуют построить полигон. Без проблем, полигон относительных частот – это ломаная, соединяющая соседние точки , где – середины интервалов:

Автоматизируем решение в Экселе:

Как составить ИВР и представить его графически? (Ютуб)

И бонус – эмпирическая функция распределения. Она определяется точно так же, как в дискретном случае:

, где – количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем «икс», который «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Но вот построить её для интервального ряда намного проще. Находим накопленные относительные частоты:

И строим кусочно-ломаную линию, с промежуточными точками , где – правые концы интервалов, а – относительная частота, которая успела накопиться на всех «пройденных» интервалах:

При этом если и если .

Напоминаю, что данная функция не убывает, принимает значения из промежутка и, кроме того, для ИВР она ещё и непрерывна.

Эмпирическая функция распределения является аналогом функции распределения НСВ и приближает теоретическую функцию , которую теоретически, а иногда и практически можно построить по всей генеральной совокупности.

Помимо перечисленных графиков, вариационные ряды также можно представить с помощью кумуляты и огивы частот либо относительных частот, но в классическом учебном курсе эта дичь редкая, и поэтому о ней буквально пару абзацев:

Кумулята – это ломаная, соединяющая точки:

* либо – для дискретного вариационного ряда;
либо – для интервального вариационного ряда.

* – накопленные «обычные» частоты

В последнем случае кумулята относительных частот представляет собой «главный кусок» недавно построенной эмпирической функции распределения.

Огива – это обратная функция по отношению к кумуляте – здесь варианты откладываются по оси ординат, а накопленные частоты либо относительные частоты – по оси абсцисс.

С построением данных линий, думаю, проблем быть не должно, чего не скажешь о другой проблеме. Хорошо, если в вашей задаче всего лишь 20-30-50 вариант, но что делать, если их 100-200 и больше? В моей практике встречались десятки таких задач, и ручной подсчёт здесь уже не торт. Считаю нужным снять небольшое видео:

Как быстро составить ИВР при большом объёме выборки? (Ютуб)

Ну, теперь вы монстры 8-го уровня 🙂

Но не всё так сурово. В большинстве задач вам предложат готовый вариационный ряд, и на счёт молока, то, конечно, была шутка:

Выборочная проверка партии чая, поступившего в торговую сеть, дала следующие результаты:

Требуется построить гистограмму и полигон относительных частот, эмпирическую функцию распределения

Проверяем свои навыки работы в Экселе! (исходные числа и краткая инструкция прилагается) И на всякий случай краткое решение для сверки в конце урока.

Что ещё важного по теме? Время от времени встречаются ИВР с открытыми крайними интервалами, например:

В таких случаях, что убийственно логично, интервалы «закрывают». Обычно поступают так: сначала смотрим на средние интервалы и выясняем длину частичного интервала: км. И для дальнейшего решения можно считать, что крайние интервалы имеют такую же длину: от 140 до 160 и от 200 до 220 км. Тоже логично. Но уже не убийственно:)