Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Навигация по странице.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a₁ проходит единственная плоскость. Обозначим ее .

Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

С определением координат точки М₁ сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости : .

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду и вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле .

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

Разберем решение примера.

Очевидно, прямая a проходит через точку и имеет направляющий вектор . Прямая b проходит через точку , а ее направляющим вектором является вектор .

Вычислим векторное произведение векторов и :

Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости равен . Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид .

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости :

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Источник

Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула

Вы будете перенаправлены на Автор24

Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.

Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.

Рисунок 1. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.

Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод

Готовые работы на аналогичную тему

$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.

Данная формула позволяет высчитать расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$

Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=\frac<\begin <|ccc|>l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end><\sqrt<\begin <|cc|>m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end^2>>\left(3\right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 03 2021

Источник

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

Через каждую пару скрещивающихся прямых может проходить плоскость, параллельная данной, причем только одна.

Плоскость χ является единственной, так как прямая, проходящая через заданную прямую, находящуюся в пространстве, параллельна заданной прямой. Рассмотрим на рисунке, предоставленном ниже.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

То есть расстояние между прямой и плоскостью является расстоянием от заданной точки к плоскости. Тогда применима формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых к плоскости, проходящей через другую прямую, параллельную первой прямой.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения

Расстояния между скрещивающимися прямыми находятся при построении отрезка. Искомое расстояние равняется длине этого отрезка. По условию задачи его длина находится по теореме Пифагора, по признакам равенства или подобия треугольников или другим.

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Источник

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не имеют общих точек и при этом не параллельны, т. е. плоскости, которая содержала бы обе, не существует.

Прямые состоят из множества точек в метрическом пространстве, но нас интересует кратчайший интервал между ними, точная нижняя грань всего множества расстояний между множеством точек прямой а и множеством точек прямой b.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Итак, можно сделать вывод, что кратчайший перпендикуляр между лежащими в разных плоскостях прямыми а и b будет равен расстоянию от прямой а до плоскости, содержащей прямую b, или расстоянию от прямой b до плоскости, содержащей прямую a.

Координатный метод нахождения расстояния

Иногда отрезок, равный искомому расстоянию, можно достроить на схеме, измерить и найти с помощью теоремы Пифагора, подобия треугольников и т. д. Но в случаях, когда сделать это затруднительно, остается только один способ — найти координаты конкретной точки, лежащей на одной из прямых, и уравнение плоскости, параллельной этой прямой и содержащей вторую прямую. Такой метод нахождения расстояния называется координатным.

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

\(А \times (x — x_<2>) + B \times (y — y_<2>) + C \times (z — z_<2>) = 0.\)

Если привести это уравнение к нормальному виду, получится следующее выражение:

В итоге расстояние между точкой \(N_<1>\) и плоскостью \(\chi\) можно вычислить по формуле:

\(\left|N_1H_1\right| = \left|\cos\alpha\times x_1+\cos\beta\times y_1+\cos\gamma\times z_1-р\right|.\)

Примеры нахождения

Дан куб \(ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_<1>\) со стороной, равной единице. Вычислите расстояние между \(A_<1>D\) и \(CC_<1>.\)

Возьмем точку А за точку отсчета, при которой: \(\overrightarrow <АВ>= \overrightarrow, \overrightarrow <АD>= \overrightarrow, \overrightarrow<АВА_<1>> = \overrightarrow. \) Получим следующие координаты:

\(A_ <1>(0, 0, 1), D (0, 1, 0), С (1, 1, 0), C_ <1>(1, 1, 1).\)

Тогда координаты векторов будут следующими:

Модуль произведения равен единице.

Умножение направляющих векторов даст нам — \(\overrightarrow = (-1, 0, 0).\)

Прямую а определяют уравнения

Прямую b определяют уравнения

Вычислите расстояние между а и b.

\(\left[\overrightarrow а\times\overrightarrow b\right]\;=\;\begin\overrightarrow i&\overrightarrow j&k\\0&2&-3\\1&-2&6\end\;=\;6\times\overrightarrow i\;-\;3\times\overrightarrow j\;-\;2\times\overrightarrow k.\)

Применим нормирующий множитель, равный

Получаем нормальное уравнение плоскости \(\chi\) :

Теперь подставим координаты точки \(N_<1>\) в формулу:

Источник

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB₁ (точку O) проведем прямую, параллельную прямой A₁B. Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A₁D₁ обозначаем соответственно N и M. Прямая MN лежит в плоскости MNB₁ и параллельна прямой A₁B, которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A₁B параллельна плоскости MNB₁ по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A₁B до плоскости MNB₁. Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA, ось Y — вдоль ребра BC, ось Z — вдоль ребра BB₁ (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB₁ в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M, N и B₁: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB₁ проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле:

где — координаты точки B. — коэффициенты при переменных в уравнении плоскости. Точка B имеет координаты Получаем окончательно:

Ответ:

Источник