Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Перечень рассматриваемых вопросов:

Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямойине являющийся перпендикуляром к прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки. Введём также следующие понятия:

1) расстояние от точки до прямой;

2) расстояние между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М – любая точка прямой а, отличная от Н. Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b. Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY‎ перпендикулярно b, то XY‎ перпендикулярно а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.

Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Очевидно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: по аксиоме параллельных прямых, через точку A проведем прямую b, b║a, тогда все точки b║a равноудаленыот точек прямой a. Докажем, что B, C∈ b.

Пусть B∉ b, C∉ b, значит, расстояние от точки B до a и C будет больше или меньше, чем расстояние h. Но это противоречит AA₁ = BB₁ = CC₁.

Следовательно, наше предположение неверно и A, B и С ∈ b || a, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см. Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Объяснение: равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (значит, и с тремя равными углами, то есть – по 60°). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AC, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник AHD. В нём угол H = 90°, так как DH – перпендикуляр к AC (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла DAH = 30°, поэтому AD = 2 ∙ 12= 24см (по свойству).

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD⊥ BC, значит, AD = 24 см.

Источник

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Покажем вывод этой формулы.

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при — по формуле

То есть, при любом значении С₂ расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: . Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при . Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Второй способ решения.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида и .

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .

Источник

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

Как называется расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Две линии могут пересекаться или не иметь общих точек. Во втором случае прямые будут располагаться параллельно относительно друг друга. Для данного положения существует ряд характеристик, одной из которых является расстояние.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длиной отрезка, мысленно прочерченного от некоторой произвольно отмеченной точки на одной из линий до другой.

Схематично такие прямые можно представить следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На рисунке представлен чертеж с двумя параллельными прямыми a и b. Точка М1 отмечена на прямой a. От нее можно опустить перпендикулярную линию к прямой b. Отрезок М1Н1 будет представлять расстояние между этими точками или параллельными линиями, на которых они расположены.

Представленное определение расстояния между двумя линиями, расположенными параллельно относительно друг друга, применимо в условиях плоскости. Такой же способ определения расстояния подходит для расчетов, выполняемых в трехмерном пространстве.

Доказательство теоремы, формула вычисления

Расстояние между двумя параллельными прямыми описывается теоремой. Звучит утверждение следующим образом: «На двух параллельных прямых все точки на одной из них равноудалены от точек, отмеченных на другой линии».

В качестве доказательства этой теории необходимо схематично представить две параллельные прямые линии a и b. На первой прямой можно отметить точку М1 и точку М2. С помощью перпендикуляров, пересекающих прямую b, можно отметить на ней аналогичные точки Н1 и Н2. Согласно определению расстояния между двумя параллельными прямыми, отрезок М1Н1 является расстоянием между прямой a и прямой b. Исходя из теоретического утверждения, необходимо доказать следующее отношение:

Схему можно дополнить с помощью некой секущей линии, которая представляет собой отрезок, пересекающий параллельные прямые. Исходя из условия параллельности двух прямых, можно заметить, что внутренние углы, образованные при пересечении секущей двух параллельных линий и лежащие накрест, равны друг другу. Таким образом:

угол М2М1Н2 = угол Н1Н2М1.

Согласно методике построения, отрезок М2Н2 перпендикулярен прямой b и расположен перпендикулярно к прямой a. Образованные в результате треугольники М1Н1Н2 и М2М1Н2 обладают прямыми углами и считаются равными по следующим характеристикам:

Исходя из утверждения, что у равных треугольников стороны также будут равны,

Таким образом, доказательства теоремы представлены.

У расстояния, на которое удалены две прямые, расположенные параллельно друг другу, есть важная особенность. Этот отрезок будет являться наименьшим расстоянием от точек на одной линии до точек на другой параллельной линии.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Определить удаленность двух линий, которые располагаются параллельно относительно друг друга, не составит труда. Достаточно измерить длину перпендикуляра, соединяющего две точки на этих прямых. Существует несколько способов, чтобы произвести данные вычисления:

Подробнее следует рассмотреть последний способ. Если зафиксировать прямоугольную систему координат и задать в ней две параллельные линии a и b, то необходимо вычислить, насколько эти прямые удалены друг от друга. Решение задачи базируется на вычислении расстояния между этими линиями. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Исходя из примеров уравнений прямой на плоскости или в пространстве, можно достаточно просто вычислить координаты точки М1. Можно представить, что линия a соответствует следующему уравнению:

Пусть линия b соответствует такому уравнению:

Определить расстояние, на которое удалены эти параллельные прямые, можно по формуле:

Если выбрать какую-то точку М1(х1, у1) на прямой а, ее координаты будут соответствовать следующему уравнению:

В этом случае стоит отметить справедливость равенства:

Ах1 + Ву1 + С1 = 0, из которого получается следующая формула:

В случае, если С2 меньше 0, то вид нормального уравнения прямой b будет следующим:

Когда С2 равно либо больше 0, можно представить нормальное уравнение для прямой b таким образом:

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми, если С2 меньше 0, можно, используя такую формулу:

В случаях, когда С2 больше либо равно 0, расстояние вычисляется по следующей формуле:

В таком случае расстояние между двумя параллельными прямыми не зависит от величины С2 и определяется по формуле:

Следует применить формулу, полученную ранее:

Тогда окончательные расчеты будут выглядеть следующим образом:

Таким образом, получилась формула, характерная для алгоритма метода координат. Данное уравнение можно применять для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми.

Примеры задач с решением

По условиям задачи необходимо определить расстояние между двумя параллельными прямыми:

С помощью параметрических уравнений достаточно просто определить координаты точки, через которую проходит линия, соответствующая параметрическим уравнениям. Исходя из этих данных, получается:

Далее необходимо вычислить нормирующий множитель:

Полученный нормирующий множитель следует умножить на обе части последней формулы, чтобы в конечном итоге вывести формулу нормального уравнения прямой:

Ответ: расстояние между двумя параллельными прямыми составляет \(\frac<20><\sqrt<13>>\)

На фиксированной прямоугольной системе координат Оху расположены две линии, параллельно относительно друг друга. Данные прямые определяются с помощью следующих уравнений:

Необходимо рассчитать расстояние, на которое две прямые отдалены друг от друга.

Исходя из условий задачи, в которых указано одно общее уравнение, выделим формулу для одной из исходных линий:

С помощью исходного канонического уравнения можно вычислить общую формулу:

При переменной х наблюдается равенство коэффициентов в обоих уравнениях (также равны и при у — нулю). Исходя из данного условия, представляется возможным использовать формулу, чтобы вычислить расстояние, на которое удалены эти параллельные прямые друг от друга:

Ответ: расстояние между двумя параллельными прямыми равно 8.

Источник