Что называется промежутками знакопостоянства функции
Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.
теория по математике 📈 функции
Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.
На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.
Остановимся подробнее на свойствах функций.
Нули функции
Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.
На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!
Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.
а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22
Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2
Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.
Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.
Промежутки знакопостоянства
Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.
Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).
Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.
Возрастание и убывание функции
Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.
Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Свойства функций
Урок 2. Алгебра 9 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Свойства функций»
На прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились находить область определения и область значений функции.
· промежутки знакопостоянства функции;
· промежутки монотонности функции.
Нулями функции называют такие значения аргумента, при которых функция равна нулю.
В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.
Решив уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.
Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.
График не пересекает ось икс ни в одной точке.
Промежутки знакопостоянства функции
Функция принимает положительные значения:
И отрицательные значения:
Запишите промежутки знакопостоянства функции:
Положительные и отрицательные значения функции:
Промежутки монотонности функции
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Опишем свойства функции:
Графиком является прямая, поэтому для построения достаточно двух точек:
Найдём значения функции:
Областью определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь х и у могут быть любыми числами.
Как найти промежутки знакопостоянства функции по формуле
Урок 2. Алгебра 9 класс
Конспект урока «Свойства функций»
На прошлом уроке мы с вами изучили понятие функция. Изучили её график и научились находить область определения и область значений функции.
· промежутки знакопостоянства функции;
· промежутки монотонности функции.
Нулями функции называют такие значения аргумента, при которых функция равна нулю.
В данном случае функция задана графически и мы определили нули функции по графику. Так же нули функции можно находить по формуле, с помощью которой задана функция.
Решив уравнение, мы найдём те значения х, при которых функция равна нулю.
Стоит обратить внимание на то, что не каждая функция имеет нули.
График не пересекает ось икс ни в одной точке.
Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – это такие промежутки из области определения, на которых данная функция принимает значения только одного знака, либо положительные, либо отрицательные.
Функция принимает положительные значения:
И отрицательные значения:
Запишите промежутки знакопостоянства функции:
Положительные и отрицательные значения функции:
Промежутки монотонности функции
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Промежутками монотонности называют такие промежутки из области определения, на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Опишем свойства функции:
Графиком является прямая, поэтому для построения достаточно двух точек:
Найдём значения функции:
Областью определения и областью значений будет множество всех действительных чисел. Ведь х и у могут быть любыми числами.
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Итак, мы познакомились с функцией, узнали, что такое область определения и область значений функции. Теперь рассмотрим свойства функций. Их существует много, однако, изучаются они постепенно. В 9 классе мы знакомимся с нулями функции, промежутками возрастания и убывания (монотонность) и промежутками знакопостоянства и чётностью (нечётностью) функции. Рассмотрим их подробно.
Нулями функции называются значения независимой переменной (аргумента), при которых значение функции равно нулю. В графической интерпретации нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (осью х). 
Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.
Рассматривая график сверху, найдём промежутки знакопостоянства.
функция принимает только положительные значения на тех участках графика, где он находится выше оси Ох, т.е. при ;
Это неравенство можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств и методом интервалов. Метод интервалов будет рассмотрен нами чуть позже, поэтому воспользуемся системами неравенств. Произведение двух множителей положительно, если эти множители имеют одинаковый знак. Значит, получается совокупность двух систем:
Теперь находим промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.
Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют разные знаки, т.е.
Чётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, т.е. . График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).
Нечётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции.
Для того, чтобы определить чётность функции, заданной аналитически, необходимо в заданную функцию вместо х подставить –х и произвести упрощение. Если в результате получится функция, равная заданной, то функция чётная; если получится функция, противоположная заданной, то она нечётная; если не получится ни один из предложенных вариантов, то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Находим значение этой функции при противоположном значении х, т.е.
Полученное выражение не совпадает с заданным и не противоположно ему, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. Её график не симметричен относительно оси Оу и не симметричен относительно начала координат.
После упрощения получили выражение, полностью совпадающее с заданным. Значит, функция является чётной и её график симметричен относительно начала координат.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), т.е. если при , то функция возрастающая.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции), т.е. если при , то функция убывающая.
Для примера рассмотрим графики на рисунках выше.
Синий график: функция возрастает при
функция убывает при
Зелёный график: функция возрастает при
функция убывает при
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.
Если функция задана аналитически, то нахождение промежутков монотонности является более сложным процессом и он изучается в 11 классе. Мы ограничимся определением этих промежутков по графикам.
Наибольшим значением функции называется самое большое значение функции по сравнению со всеми остальными.
Наименьшим значением функции называется самое маленькое значение функции по сравнению со всеми остальными.
Строгое определение наибольшего и наименьшего значения функции будет дано в старших классах.
На зелёном графике нет ни наибольшего, ни наименьшего значения функции.
На рисунках изображены части графиков нечётных функций. Достройте эти графики.
Ответ или решение 1
Решение: Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
Существует следующий алгоритм метода интервалов :
Теперь выполняем задание в указанном порядке:
областью определения этой функции будут промежутки:
В нашем случае: x / (9 – x 2 ) = 0; очевидно что x = 0
3) Откладываем все найденные точки на числовой оси OX точки:
Определяем знак функции на интервалах.
Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала.
Из (0 ; 3) выбери число 1;
Из ( 3 ; ∞) выбери число 4;
Ответ: Промежутки знакопостоянства :
Промежутки знакопостоянства и нули функции
Определение: Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается положительной или отрицательной, называются промежутками знакопостоянства функции.
1. Если на некотором промежутке график функции расположен выше оси абсцисс, то функция на этом промежутке принимает положительные значения.
2. Если на некотором промежутке график функции расположен ниже оси абсцисс, то функция на этом промежутке принимает отрицательные значения.
Определение: Значения аргумента х из области определения функции, при которых функция обращается в нуль, называются нулями функции.
Вывод: Нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
Пример: Определить промежутки знакопостоянства и нули функции 
, заданной на 
.
| а |
| х1 |
| О |
| х2 |
| х3 |
| b |
| х |
| у |
; 
.
Ограниченность функций
Определение: Функция называется ограниченной, если существуют два числа т и М такие, что все значения функции удовлетворяют условию 
, то есть 
.
Определение: Функция называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что все значения функции удовлетворяют условию
, то есть 
.
| х |
| у |
| у |
| х |
| М |
| М |
| т |
Определение: Функция называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что все значения функции удовлетворяют условию 
, то есть 
.
| у |
| у |
| х |
| х |
| т |
— ограниченная функция 
— ограниченная сверху, но неограниченная снизу функция
— ограниченная снизу, но 
— неограниченнаясверху неограниченная сверху функция и снизу функция
Упражнения:
1. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Найти область определения функции, заданной формулой:
| х |
| у |
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Дана функция 
на отрезке 
.
Найти обратную ей функцию и ее область определения.
4. Исследовать функцию, заданную графиком:
Схема исследования функции
Линейная функция, ее свойства и графики
Определение: Линейной функцией называется функция вида 
, где x – независимая переменная, k, b – некоторые числа.
Замечание:Графиком линейной функции является прямая.
1. Область определения функции 
: 
.
2. Множество значений функции : 
.
3. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
и 
.
4.
 |
| х |
| у |
 |
| х |
| у |
| l |
| l |
Функция является монотонной:
Рис. 1. Рис. 2.
Определение: Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.
Þ – монотонно возрастающая функция (Рис. 1.)
Þ – монотонно убывающая функция (Рис. 2.)
5. Функция является обратимой:
; 
— функция, обратная для .
6.
| __ |
| х |
| + |
 |
| __ |
| х |
 |
| + |
у = 0; 
; 
— нуль функции ( k ¹ 0 ).
Рис. 3. Рис. 4.
; 
; ; 
;
y 0;
7. 
у > 0;
у > 0.
8. Функция является ограниченной снизу, так как у ³ 0.
Замечание: Графиком функции 
является парабола.
| х |
| у |
| -2 |
| -8 |
1. Область определения функции: 
(любое действительное число можно возвести в куб).
2. Множество значений функции: 
:
;
х = 0 у = 0;
.
Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и третьей координатных четвертях.
3. Функция является нечетной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого х Î Rвыполняется равенство 
.
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.
5. Функция 
имеет обратную функцию 
, так как монотонна.
7. 
у 0.
8. Функция является неограниченной сверху и снизу.
Замечание: Графиком функции является кубическая парабола.
Вывод:
1. Область определения функции: 
.
(Арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа).
2. Множество значений функции: 
.
(Приизвлечении арифметического квадратного корня из неотрицательного числа получается неотрицательное число).
х = 0 у = 0;
.
Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой координатной четверти.
3. Функция ни четная, ни нечетная,так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат.
4. Функция является монотонно возрастающей.
5. Функция обратима, так как монотонна.
7. у > 0.
8.
| х |
| у |
Функция является ограниченной снизу, так как у ³ 0.
1. Область определения функции: .
(Существует корень нечетной степени из отрицательного числа).
2. Множество значений функции: , так как
;
х = 0 у = 0;
.
Вывод: График функции проходит через начало координат, расположен в первой и третьей координатных четвертях.
3. Функция является нечетной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого 
выполняется равенство , 
.
Вывод: График функции симметричен относительно начала координат.
4. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения.
7. у 0.
8. Функция является неограниченной.
| х |
| у |
| — 2 |
| — 1 |
| — 1 |
| — 8 |
1. Область определения функции: 
.
2. Множество значений функции: 
, так как
; .
Вывод: График функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
3. Функция является четной,так как ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого 
выполняется равенство 
.
.
Вывод: График функции симметричен относительно оси ординат.
4. Функция не является монотонной, так как она возрастает при иубывает при .