Что называется проекцией вектора на ось физика 10 класс мякишев
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка 
Как определяют проекцию вектора на ось
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора 
на ось Ох обозначена через 
а проекция вектора 
— через 
Проекция 
— число положительное, т. к. угол 
на рисунке 25, а — острый. Проекция 
— число отрицательное 
т. к. угол 
на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник 
на рисунке 25, а. Его гипотенуза 
катет 
а угол между ними равен 
Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства 
следует равенство для проекций: 
Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор 
лежащий в плоскости 
(рис. 28). Его проекции на оси 
определим из рисунка: 
Модуль вектора 
находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: 
Разделив 
на 
получим: 
По значению косинуса находим угол 
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: 
(рис. 29). 
Главные выводы:
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов 
(рис. 30). Найдите модули векторов суммы 
и разности 
Решение
Сумму векторов 
находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы 
взаимно перпендикулярны, модуль вектора 
находим по теореме Пифагора: 
Разность векторов 
определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора 
находим аналогично:
Ответ: 
Пример №2
Выразите вектор 
через векторы 
(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: 
Отсюда 
Определив координаты 
начальных и конечных точек векторов 
находим проекции этих векторов: 
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: 
Ответ: 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
§ 1.10. Векторы
Вектор перемещения, векторные величины
В механике вектором перемещения или просто перемещением называется направленный отрезок прямой, проведенный из начального положения движущейся точки в ее конечное положение. Длина вектора перемещения называется его модулем.
Величины, подобные перемещению, которые, кроме своего модуля, характеризуются еще направлением в пространстве, называются векторными. Но в отличие от математики, где вектор есть только математическое понятие и ничего больше, в физике вектор имеет определенный физический смысл: он обозначает какую-либо физическую величину. Поэтому к слову «вектор» мы должны добавить название этой физической величины. На рисунке 1.22 изображен вектор перемещения.
Обратите внимание: при криволинейном движении модуль перемещения не равен пути, пройденному точкой с момента времени t1 до момента t2 (рис. 1.23), т. е. длина кривой А1А больше длины вектора перемещения.
Векторной величиной является также скорость. Все векторные величины изображают направленными отрезками прямой, выбрав надлежащий масштаб при заданной единице этой величины. Как и для обычного отрезка, крайние точки вектора часто обозначают буквами (см. рис. 1.22). Однако в отличие от обычного отрезка (где А, В — концы отрезка) точка А называется началом вектора, а точка В — его концом. С помощью букв А и В вектор обозначается так: 
(над АВ ставится символическая стрелка, указывающая на то, что отрезок АВ — направленный).
Так же как и обычный отрезок, вектор обладает длиной, которая называется его модулем и обозначается ||. Модуль вектора так же, как и длину обычного отрезка, можно обозначать одной буквой, например || = а. Да и сам вектор можно записать тоже с помощью одной буквы: АВ = 
.
Радиус-вектор
Положение тела в произвольной точке А пространства (рис. 1.24) можно задать с помощью радиуса-вектора. Радиусом-вектором называется вектор, проведенный из начала системы координат (точка О) в данную точку пространства.
Действительно, длина радиуса-вектора 
или его модуль || = г определяет расстояние, на котором точка А (рис. 1.24) находится от начала координат, а стрелка указывает направление на точку пространства. Следовательно, радиус-вектор указывает, на каком расстоянии и в каком направлении находится точка А пространства относительно начала выбранной системы координат.
Проекции радиуса-вектора
Проекциями радиуса-вектора = 
(см. рис. 1.24) на координатные оси X и У являются координаты конца этого вектора, т. е. точки А. Проекции мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом внизу, указывающим, на какую ось проецируется вектор. Так, rx и ry — проекции вектора на оси координат X и Y. Тогда
Проекции, как и координаты, могут быть положительными и отрицательными.
Координаты х и у точки А полностью определяют модуль радиуса-вектора и его направление на плоскости относительно координатных осей. Действительно, по известной из геометрии теореме Пифагора имеем:
|| 2 = (ОВ) 2 + (АВ) 2 или
Угол α между направлением вектора и осью X также определяется однозначно координатами х и у; его можно измерить, например, транспортиром. Можно также вычислить по формуле
а затем, пользуясь таблицами значений тригонометрических функций, определить сам угол.
Проекции вектора
Опустив перпендикуляры из начала и конца вектора перемещения 
(рис. 1.25) на оси координат X и Y, можно найти его проекции на эти оси. Проекции перемещения есть изменения координат Δх и Δу движущейся точки. Изменения координат могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. Поэтому проекции перемещения на оси координат также могут быть положительными и отрицательными.
Модуль и направление перемещения полностью определяются его проекциями на оси координат. Для модуля перемещения имеем (см. рис. 1.25):
Направление вектора определяется углом α: 
.
Если, напротив, известен вектор перемещения, то однозначно определяются изменения координат Δх и Δу движущейся точки.
Проекции любого вектора находятся так же, как и проекции перемещения. Но они выражаются не в единицах длины, а в тех единицах, в которых выражается модуль данной величины.
Так как понятие проекции вектора мы будем широко использовать в дальнейшем, то дадим наиболее общее определение проекции.
Направление вектора (рис. 1.26) можно задать углами α или β между вектором и положительными направлениями осей координат.
Из рисунка видно, что модуль проекции aх равен длине отрезка АС, а модуль проекции aу — длине отрезка AD. Из прямоугольных треугольников ABC и ABD следует
Проекция (или компонента) любого вектора на ось равна произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси.
Формулы (1.10.1) показывают, что проекции вектора есть алгебраические величины, т. е. могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Знак проекции определяется знаком косинуса. Для острых углов cos α > 0, поэтому ах> 0. Для тупых углов косинусы отрицательны, поэтому отрицательными являются проекции вектора на ось. Если α = 90°, то cos α = 0 и ах = 0. Для наглядности эти случаи изображены на рисунке 1.27, а, б, в. В случае, соответствующем рисунку 1.27, б, можно записать:
Скаляры
Конечно, не все величины характеризуются направлением. Число горошин в стручке, длина предмета, температура, электрический заряд и т. д. характеризуются одним числом (это число может быть положительным, отрицательным или нулем). Подобные величины принято называть скалярами.
Значения скаляров не зависят от выбранной системы отсчета.
Положение точки на плоскости и ее перемещение могут быть заданы с помощью векторов. Вектор на плоскости определяется двумя числами — проекциями на оси прямоугольной системы координат. Наоборот, задание, например, радиуса-вектора г эквивалентно заданию координат х и у, а задание вектора перемещения эквивалентно заданию изменений координат Δх и Δу движущейся точки. Модуль вектора — неотрицательное число, а проекция может быть как положительной, так и отрицательной величиной (или равной нулю).
При движении точки ее радиус-вектор меняется со временем, т. е. является функцией времени: = (t). Это выражение есть сокращенная запись двух уравнений х = x(t) и у = y(t), описывающих движение на плоскости. Вместо двух уравнений (в общем случае движения в пространстве — трех) для координат или других величин, изменяющихся со временем, можно записать одно уравнение для векторов.
1 Для большей определенности надо следить за перемещением одной точки, например метки, сделанной мелом на носке ботинка.
Проекция вектора на ось
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
План-конспект урока по теме «Проекция вектора на ось»
Тема: «Проекция вектора на ось»
Образовательная : Обеспечить и сформировать осознанное усвоение знаний о проекции вектора на ось;
Развивающая : Продолжить развитие навыков самостоятельной деятельности, навыков работы в группах.
Воспитательная : Формировать познавательный интерес к новым знаниям; воспитывать дисциплину поведения.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Оборудование и источники информации:
Исаченкова, Л. А. Физика : учеб. для 9 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский ; под ред. А. А. Сокольского. Минск : Народная асвета, 2015
Организационный момент(3 мин)
Актуализация опорных знаний(5 мин)
Изучение нового материала (18 мин)
Закрепление знаний (15 мин)
Здравствуйте, садитесь! (Проверка присутствующих). Сегодня на уроке мы должны разобраться с проекцией вектора на ось. А это значит, что Тема урока : Проекция вектора на ось.
Актуализация опорных знаний
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Каковы ее свойства?
Изучение нового материала
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
Обозначать проекцию вектора будем той же буквой, что и вектор, но с индексом внизу (например, а х — проекция вектора а на ось Ох).
На рисунке 31, а угол между вектором и осью Ох острый, а на рисунке 31, б угол — тупой. Поэтому проекция вектора а на ось Ох положительна (а х = А 1 > 0), а проекция вектора b — отрицательна ( b x = D l C l 0).
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция вектора равна нулю (рис. 32).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Для тупых углов (см. рис. 31, 6) cos b x = b cos получится b х 0 (как и должно быть по определению проекции).
А можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси?
Рассмотрим вектор d = АС, лежащий в плоскости хОу (рис. 33). Его проекции на оси Ох и Оу легко определить из рисунка: d x = 8, d y = 6. Из треугольника ACD по теореме Пифагора находим модуль: 
. Разделив AD на AC , получим cos =0,8. По значению косинуса находим угол = 37°. Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, определяется двумя проекциями на оси координат. Вектор, произвольно направленный в пространстве, определяется тремя проекциями а х , a у , а г (рис. 34).
Обратим внимание на важное свойство проекций:
проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 35, а, б проверьте, что из равенства c = a + b следует 
При проверке не забывайте о знаках проекций.
Вектор можно определить, задав его модуль и направление либо задав его проекции на оси координат.
Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
Итак, подведем итоги. Что вы сегодня узнали на уроке?
Организация домашнего задания
Сегодня на уроке я узнал…
Знания, которые я получил на уроке, пригодятся