Что называется проекцией вектора на данную ось

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

рис. 1

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Вектор. Проекция вектора на ось.

Проекцию вектора на ось ОХ принято понимать в различных смысловых значениях: геометрическом и арифметическом (алгебраическом).

На письме геометрическую проекцию данного вектора можно показать следующим образом:

или .

В случае задачи оси ОХ с помощью вектора с, вектор называется проекцией вектора на направление вектора с, и на письме его принято обозначать в виде .

Геометрическую проекцию вектора на ось ОХ иначе принято называть компонентой вектора по оси ОХ.

2. Алгебраической или арифметической проекцией вектора на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора , которая берется с положительным «+» или с отрицательным «-» знаком, согласно тому, направлен ли рассматриваемый вектор одинаково с осью ОХ или иначе.

На письме обозначается следующим образом:

или .

Геометрическая проекция вектора выражена в виде вектора, а алгебраическая проекция вектора представлена числовым значением.

В случае, когда векторы и равны, их алгебраические проекции по одинаковой оси тоже равны между собой Аналогично можно выразить случай с геометрической проекцией вектора.

Арифметическая проекция одного и того же вектора, но для случая разнонаправленных осей, (О₁Х₁ и О₂Х₂) равна:

.

Аналогично получаем и для случая геометрической проекции векторов, но только при условии параллельности осей, которые нам заданы.

3. Рассмотрим взаимосвязь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора.

При условии когда c₁ является разнонаправленным с осью ОХ вектором, и имеет длину равную 1, геометрическая проекция выбранного вектора а по оси ОХ равна произведению вектора с₁ на алгебраическую проекцию вектора а по оси ОХ. Сказанное записывают в виде:

.

В случае параллельности, но разнонаправленности осей алгебраические проекции не равны, т.к. отличаются своим знаком.

Таким образом, =-2 .

Источник

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Проекции векторов на координатные оси

Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.

На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:

sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км

Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:

sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км

Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.

На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:

υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c

Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.

Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.

На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.

Источник

Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось I, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24). Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом. Основные свойства проекций 1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось I равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25) 2.

Заметив, что (b| cosy> есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать (рис. 27 6) и,аналогично, (рис.27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или Ь — нулевой, будем считать, что Проекция вектора на ось.

Скалярное произведение векторов 5.1.

Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и Ь ортогональны, a J.h. Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение. Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так: 2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скалярное произведение векторов, заданных координатами Пусть векторы а и Ь заданы своими координатами в ортонор миро ванном базисе Рассмотрим скалярное произведение векторов и и Ь: Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим Учитывая, что Тоесть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. Пример.

Тогда формула (7) примет следующий вид cos Пример. Найти угол между векторами Пользуясь формулой (8), находом Пусть b = i, т.е. b = <1,0, 0>. Тогда для всякого вектора О имеем Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов или, в координатной записи, где q есть угол, образованный вектором а с осью Ох.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник