Что называется приближенным значением

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

а – приближенное число

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

Записать правильно следующие приближенные числа:

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

Число в стандартном виде записывают так:

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

Округлить число с заданной точностью:

Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

159734 ≈ 160000 = 160·10 3

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Источник

Приближенное значение величины и погрешности приближений. Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Министерство образования Сахалинской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

«Профессиональное училище № 13»

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Рекомендовано методической комиссией преподавателей ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13»

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а’ есть приближенное значение числа а, записывается следующим образом:

Если а’ есть приближенное значение величины а, то разность Δ = а — а’ называется погрешностью приближения*.

* Δ — греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,8 = —0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ, а абсолютной величиной этой погрешности |Δ|. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью. Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ| = | — 0,044| =0,044, а для второго |Δ| = |0,056| = 0,056.

Число а’ называется приближенным значением числа а с точностью до ε, если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε:

|а — а’| а, то а’ называется приближенным значением числа а с избытком.

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а’ и b’, то результат а’ + b’ будет приближенным значением суммы а + b. Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

Источник

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

БИК Курс лекций по дисциплине «Численные методы»

Приближенные числа и действия над ними

1.1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Приближенное значение величины. Погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенное значение величины. Погрешность

В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному, причем степень близости определяется погрешностью вычисления.

Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5 пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 – точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными; кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники включены в счет количества деревьев.

Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Таким образом, приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

При решении той или иной задачи вручную или на вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.

Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:

1) неточное отображение реальных процессов с помощью математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами, близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;

2) приближенное выражение величин, входящих в условие задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных, физических констант, чисел π, е и др.;

3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса на некотором этапе. Например, если в ряде

взять определенное количество членов и принять их сумму за sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;

4) округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное число цифр числа.

При отбрасывании младших разрядов числа имеет место погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное число примет следующий вид: 0,7835479;

5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат вычислений.

Полная погрешность является результатом сложного взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все их виды.

Во всех случаях полная погрешность не может превышать по своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но обычно она редко достигает такой максимальной величины.

Таким образом, погрешности можно подразделить на три большие группы:

1) исходные, или неустранимые, к которым относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все вычисления и, являются неустранимыми;

2) погрешности округления (зарождающиеся), которые появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и окончательных результатов;

3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий;

2. Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумевается методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда решение должно быть найдено в жатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Оценка погрешности может быть произведена: с помощью абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью остаточного члена; с помощью статистических оценок.

При работе с приближенными величинами вычислитель должен уметь:

а) давать математические характеристики точности приближенных величин;

б) зная степень точности исходных данных, оценить степень точности результатов;

в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;

г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

3. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное числовое значение некоторой величины.

a* – известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Абсолютная величина разности между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа:

(1)

Здесь возможны два случая.

1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная; погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).

Пример 1. Пусть a = 784,2737, a * = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δ а = | а- a * | = |784,2737—784,274| = 0,0003.

2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству

Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Следовательно, если Δ_а* – предельная абсолютная погрешность, то

Δ(а*) = |а- a*| Δ_а* (2)

Значение точного числа А всегда заключено в следующих границах:

a* — Δ_а* a a* + Δ_а*. (3)

Пример 2. Число 45,3 получено округлением. Точное значение числа неизвестно, однако, пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютная погрешность не превышает (меньше или равна) 0,05.

Следовательно, границей абсолютной погрешности (предельной абсолютной погрешностью) можно считать 0,05. Записывают это так: 45,3 ( ± 0,05). Скобки часто опускают, так что запись 45,3 ± 0,05 означает то же самое. Двойной знак ± означает, что отклонение приближенного значения числа от точного возможно в обе стороны. В качестве границы абсолютной погрешности берут по возможности наименьшее число.

Пример 3. При измерении длины отрезка оказалось, что ошибка, допущенная нами, не превышает 0,5 см; тем более она не превышает 1, 2 или 3 см. Каждое из этих чисел можно считать границей абсолютной погрешности. Однако нужно указать наименьшую из них, так как чем меньше граница абсолютной погрешности, тем точнее выражается приближенное значение числа. В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность.

На практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до 1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно равна 0,01; 1 см и т. д.

Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05 см, то пишут l = 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная погрешность Δ _l *= 0,05 см, а точная величина длины l отрезка заключена в следующих границах: 183,95 см l 184,05 см.

По абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или плохо произведено измерение.

Пример 5. Пусть при измерении книги и длины стола были получены результаты: l ₁ = 28,4 ±0,1 (см) и l ₂ = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако второе измерение было произведено более точно, чем первое.

Для того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить, какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью _а приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ _а к модулю точного числа А (А0), т.е.

_а = (4)

Δ _а = | A | _а (4’)

Из соотношений (4) и (5) вытекает, что

* _а ; Δ _а | A | _а *.

Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ _а Δ _а * _. Тогда можно записать

Δ _а * =| A | _а *. (6)

и за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно принять

_а * = . (7)

Учитывая, что А, как правило, неизвестно и что А а, равенства (6) и (7) можно записать так:

_а * = . (7’)

Возвращаясь к примеру 5, найдем предельные относительные погрешности измерения книги и стола:

* _{l 1} = 0,1(см)/28,4(см) 0,0035, или 0,35%;

* _{l 2} = 0,1(см)/110,3(см) 0,009, или 0,09%.

Таким образом, измерение стола было произведено намного точнее.

Очевидно, что как относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых выражаются результаты измерений.

Пример 6. Определить (в процентах) предельную относительную погрешность приближенного числа а = 35,148 ±0,00074.

Решение. Воспользуемся формулой (7). Тогда

_а * = = 0,00074 / 35,148 = 0,000021 0,0021%.

Пример 7. Определить предельную абсолютную погрешность приближенного числа а = 4,123, если _а * = 0,01%.

Решение. Запишем проценты в виде десятичной дроби и для определения предельной абсолютной погрешности и воспользуемся формулой (6′); тогда

Δ _а * = | а | _а * = 4,123 • 0,0001 = 0,00042.

Пример 8. Определить относительные погрешности чисел х и у, полученных при измерении углов. Какой из результатов более точный?

Решение. Переведем заданные значения x и у в секунды и определим относительные погрешности измерений. Более точным измерением будет то, где относительная погрешность меньше. Имеем:

x = 181810″ ±3″, _x = 3/181810 0,000017 = 0,0017%;

у = 162936″±2″, _y =2/162936 0,000013 = 0,0013%.

Измерение y произведено более точно.

Пример 9. Определить, какое равенство точнее: a ₁ = 13/19 0,684 или a ₂ = 7,21?

Решение. Для нахождения предельных абсолютных погрешностей берем числа a ₁ и a ₂ с большим числом десятичных знаков: 13/19 0,68421; 7,2111. Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

Δ * _{а 2} = | 7,2111-7,21 | 0,0012.

Находим предельные относительные погрешности:

* _а1 = Δ* _а1 / a ₁ = 0,00022/0,684 0,00033 = 0,033%;

* _а2 = Δ* _{a 2} / a 2 = 0,0012/7,21 0,00017=0,017%.

Источник