Что называется погрешностью приближения

Погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью. Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.

Если a — это точное значение числа, а b — его приближенное значение, то погрешность приближения определяется по формуле |a – b|.

Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552. В таком случае погрешность приближения будет равна |1,552 – 1,5| = 0,052.

Как известно, приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку. То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15. Причина, по которой в вычислениях используется его приближение по недостатку, заключается в применении правил округления. Согласно этим правилам, если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку. Если меньше пяти, то по недостатку. Так как третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то поэтому при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Действительно, если вычислить погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку, то получим:

|3,14159. – 3,14| = 0,00159.
|3,14159. – 3,15| = 0,0084.

Говоря о погрешности приближения, также как и в случае с самим приближением (по избытку или недостатку), указывают его точность. Так в приводимом выше примере с числом π следует сказать, что оно равно числу 3,14 с точностью до 0,01. Ведь модуль разности между самим числом и его приближенным значением не превышает 0,01 (0,00159. ≤ 0,01).

Точно также π равно 3,15 с точностью до 0,01, так как 0,0084. ≤ 0,01. Однако если говорить о большей точности, например до 0,005, то мы можем сказать, что π равно 3,14 с точностью до 0,005 (так как 0,00159. ≤ 0,005). Сказать же это по отношению к приближению 3,15 мы не можем (так как 0,0084. > 0,005).

Источник

Абсолютная и относительная погрешности

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.

где х — это точное значение числа, а — его приближенное значение.

Приближение может выполняться как по недостатку , так и по избытку .

То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.

Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.

Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:

Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.

Относительная погрешность приближения

Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.

Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.

Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведём несколько примеров.

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.

Найдите абсолютную погрешность приближения:

числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;

числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;

числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;

числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;

Запишите в виде двойного неравенства:

Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:

Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?

Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:

Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.

Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).

Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).

Источник

что называется предельной, абсолютной и относительной погрешностью

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения

Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.

При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.

При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – «дельта». А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.

В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.

Погрешность действий над приближенными числами

Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.

Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.

Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.

Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.

Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.

Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.

Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!

Источник

Погрешность и точность приближения

Урок 29. Алгебра 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Погрешность и точность приближения»

При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.

Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.

У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.

Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.

Такую неточность называют погрешностью измерения.

В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.

Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.

Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.

Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD.

Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком.

Если истинную длину отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:

Пусть истинное значение измеряемой величины равно .

Измерение дало результат .

Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Принято писать

Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.

Вот, например, комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.

Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.

Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.

Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 28 октября 2019 г.

Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность

Для подсчёта абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.

В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400 , то абсолютная погрешность измерения равна :

На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет

При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет

Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит.

Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.

Длина рулона обоев составляет.

Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью .

Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.

Допустим, что при измерении коридора длиной в 20 м мы допустили абсолютную погрешность всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на 20 м ошибка в 1 см вполне допустима и неизбежна, но на 18 см такая ошибка является очень грубой.

Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см составляет

Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении коридора длиной в 20 м, то это измерение можно считать максимально точным.

Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной, не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае 0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то

Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае ∆ l = 0,5 и, следовательно,

Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм, то вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.

Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого значения :

При измерении в (сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили следующие результаты :

l ≈ 100 с точностью до 0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0,1 . Однако 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и ничтожную часть числа 100 . Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Если взять абсолютную погрешность в 1 см, при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10% . А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Различают систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё значение.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.

Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна :

Здесь а = 17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину ). Относительная погрешность равна

По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна

Можно воспользоваться формулой

Подставляя в формулу

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Складываются приближённые числа

Пусть предельная погрешность первого есть 5 , а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

Так, если истинное значение первого есть 270 , а второго 33 , то приближённая сумма

Найти сумму приближённых чисел :

0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

Предельная погрешность каждого слагаемого

Предельная погрешность суммы :

При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше истинного на одну единицу и так далее.

– когда истинная величина каждого слагаемого больше приближённой величины на 0,00005 ;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближённой величины на 0,00005 .

Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.

Найти сумму точных чисел :

0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим :

0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы :

Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003 , то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет :

0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013 .

Предельная абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2 , а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3 . Предельная погрешность разности

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться

Тогда истинная разность есть

Она на 5 отличается от приближённой разности 53 .

Относительная погрешность суммы и разности.

Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.

Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

Найти предельную абсолютную и предельную относительную погрешность суммы чисел :

В каждом слагаемом суммы

24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та же, а именно :

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15 , а относительная

0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

В противоположность сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. > особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности.

Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 , и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%.

Тогда предельная относительная погрешность произведения

приближённо равна 0,9% . В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

Если истинная величина произведения есть 1009,2 , то погрешность произведения равна

а если 991,02 , то погрешность произведения равна

Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02 . Предельная относительная погрешность равна

Источник