Что называется периодом функции какие периоды имеют тригонометрические функции

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Например, — периодические функции.

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Источник

Свойства тригонометрических функций

Содержание

Знаки тригонометрических функций

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin α	Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α	Рис.4. Знак ctg α

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

sin (α° + 360°) = sin α°, cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°, cos (α° – 360°) = cos α°,

Поворачивая луч OM₁ на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Теперь рассмотрим рисунок 6.

sin (α° + 180°) = – sin α°, cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°, cos (α° – 180°) = – cos α°,

sin (α – π) = – sin α, cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

то справедливы формулы:

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Следовательно, справедливы формулы:

откуда вытекают формулы:

Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.

Источник

Математика. Периодичность тригонометрических функций.

Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периодафункции): существует такое ненулевое число TT (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T).f(x)=f(x+T).

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

Периодичность функций sin φ и cos φ

Предположим, что вектор ОА = (х, у) единичной длины образует с осью абсцисс угол φ.

Если сделать полный оборот вектора ОА вокруг точки О против часовой стрелки, то получится угол φ + 360°. Но вектор ОА при этом займет первоначальное положение, а потому координаты его х и у не изменятся.

у = sin φ = sin(φ + 360°),

x = cos φ = cos (φ+ 360°).

Эти соотношения показывают, что значения функций sin φ и cos φ не изменяются, если их аргумент, увеличить на 360°.

Пусть f(х) есть некоторое выражение, зависящее от переменной величины х. (Например, f(х) = x 2 , f(х) = sin x и т. д.)

Тогда равенство y = f(х)

Определяет у как функцию аргумента х.

Если при любых допустимых значениях аргумента х

где Т — некоторое отличное от нуля число, то функция f (x) называется периодической, а число Т — ее периодом.

Согласно этому определению функции sin x и cos х являются периодическими с периодом Т = 360°.

При n полных оборотах вектора ОА против часовой стрелки образуется угол φ + 360°n, а по часовой стрелке — угол φ — 360°n. В каждом из этих случаев координаты х и у вектора не изменяются, а потому не изменяются sin φ и cos φ.

Таким образом, cos φ = cos (φ + 360°n),

sin φ = sin (φ + 360°n), (1)

где n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Можно доказать, что любая периодическая функция (а не только sin φ и cos φ) имеет бесконечное множество периодов.

Говоря о периоде функции, удобно из бесконечного множества всех ее периодов иметь в виду какой-нибудь один вполне определенный период. Обычно выделяют наименьший положительный период функции.

Из всех рассмотренных выше периодов функции sin φ наименьшим положительным периодом является угол в 360°. Но, может быть, существует еще меньший угол, который мы просто упустили из виду, но который, Также является периодом функции sin φ? Чтобы решить этот вопрос, предположим, что наименьший положительный период функции sin φ равен Т. Тогда при любом φ

sin (φ + Т) = sin φ.

В частности, при φ = 0 получаем: sinТ = sin 0° = 0.

Составляет ли он период функции sin φ? Если бы это было так, то равенство sin (φ + 180°) = sin φ должно было бы выполняться при всех значениях φ. В частности, при φ = 90° мы получили бы

sin 270° = sin 90°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360° Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Периодичность функций tg φ и ctg φ

Следовательно, при любом φ

tg (φ + 180°) = tg φ.

Это означает, что функция tg φ является периодической с периодом 180°. Но будет ли угол в 180° наименьшим жительным периодом этой функции?

Предположим, что наименьший положительный период функции tg φ равен Т. Тогда для всех допустимых значений φ должно быть

tg (φ + Т) = tg φ

В частности, при φ = 0° получаем:

tg Т = tg 0° = 0.

Но тангенс положительного угла равен нулю лишь тогда, когда синус этого угла равен нулю, то есть при Т = 180°, 360°, 540° и т, д. Следовательно, никакой положительный угол, меньший 180°, не может быть периодом функции tg φ. Остается признать, чтб периодом(то есть наименьшим положительным периодом) функции tg φ является угол в 180°.

Аналогично можно доказать, что периодом функции сtg φ также является угол в 180°. Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Упражнения

1. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы были положительными и не превышали 180°:

a) tg 205°; б) tg (—185°); в) ctg 300°; г) ctg (—210°).

2. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90°:

3. Доказать, что угол в 120° является одним из периодов функции у = ctg 3х.

4. Доказать, что любой период Т функции у = ctg х является корнем уравнения

Верно ли обратное утверждение?

О периодических функциях.

Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.

Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т — период этой функции.

Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ).

Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b‘ из интервала (а, а + T ), отстоящую от b на расстоянии T.

В силу периодичности функции f(x)

f(b) = f( b‘)

Таким образом, по заданным значениям функции f в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).

Итак, задание периодической с периодом Т функции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin φ и у = cos φ достаточно рассмотреть их лишь при 0° Просмотр содержимого документа
«Математика. Периодичность тригонометрических функций.»

Источник

• визитки установка дверей шаблоны →

Рис.1. Знак sin α

Рис.2. Знак cos α

Рис.3. Знак tg α