Что называется определением понятия в математике

Определение понятий. Способы определения понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой указываются существенные (отличительные) свойства объекта изучения, достаточные для распознавания этого объекта, т.е. в процессе которой раскрывается содержание понятия либо устанавливается значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Невербальное определение – это определение значения понятия путём непосредственной демонстрации предметов или указания контекста, в котором применяется то или иное понятие.

Невербальные определения понятий используются в начальном курсе математики, так как младшие школьники обладают преимущественно наглядным мышлением, и именно наглядные представления о математических понятиях играют для них основную роль в обучении математике.

Невербальные определения разделяются на остенсивные (лат. слово «ostendere» – «показывать») и контекстуальные определения.

Остенсивное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается путём демонстрации объектов (указания на объекты).

1. Понятия «треугольник», «круг» «квадрат», «прямоугольник» в дошкольном образовательном учреждении определяются с помощью демонстрации соответствующих моделей фигур.

2. Таким же способом показа можно определить в начальном курсе математики понятия «равенство» и «неравенство».

3 · 5 > 3 · 4 8 · 7 = 56

15 – 4 18 17 – 5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

При ознакомлении дошкольников с новыми математическими понятиями в основном используются остенсивные определения.

Однако это не исключает в дальнейшем изучения их свойств, то есть формирования у детей представлений об объёме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл водимого понятия.

1. Понятия «больше», «меньше», «равно» в начальном курсе математики определяются с помощью указания контекста (больше на 3 – это значит столько же и ещё 3).

2. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, которые даются во 2 классе. В учебнике математики после записи  + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим число неизвестное число буквой х (икс): х + 6 = 15 – это уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, т.к. 9+6=15. Объясни, почему числа 0,5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Иногда встречаются определения, сочетающие контекст и показ.

1. Нарисовав прямые углы, имеющие разное расположение на плоскости, и сделав надпись: «Это – прямые углы», учитель знакомит младших школьников с понятием «прямой угол».

2. Примером такого определения может служить следующее определение прямоугольника. На рисунке дается изображение четырехугольников и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это – прямоугольники».

Таким образом, на начальном этапе обучения учащихся математике чаще всего используются невербальные определения понятий, а именно, остенсивные, контекстуальные и их сочетание.

Необходимо отметить, что невербальные определения понятий характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение понятий путем показа или через контекст не всегда указывает на свойства, существенные (отличительные) для данных понятий. Такие определения только связывают новые термины (понятия) с некоторыми объектами или предметами. Поэтому после невербальных определений необходимо дальнейшее уточнение свойств рассмотренных понятий и изучение строгих определений математических понятий.

В средних и старших классах, в связи с развитием языка и накоплением достаточного запаса математических понятий, на смену невербальным определениям приходят вербальные определения понятий. При этом все большую роль начинают играть не наглядные представления о математических понятиях, а их строгие определения. Они основываются на свойствах, которыми обладают определяемые понятия.

Вербальное определение – перечисление существенных (отличительных) свойств данного понятия, сведенных в связное предложение.

В начальном курсе математики изучаемые понятия располагают в таком порядке, чтобы каждое последующее понятие можно было определить, опираясь на ранее изученные их свойства или ранее изученные понятия. Поэтому некоторые математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятия: «множество», «точка», «прямая», «плоскость». Они являются основными, базисными или неопределяемыми понятиями математики. Определение понятий можно рассматривать в виде процесса сведения одного понятия к другому, ранее изученному, и, в конечном счете, к одному из основных понятий.

Например, квадрат есть особый ромб, ромб – особый параллелограмм, параллелограмм – особый четырехугольник, четырехугольник – особый многоугольник, многоугольник – особая геометрическая фигура, геометрическая фигура – точечное множество. Таким образом, мы дошли до основных неопределяемых понятий математики: «точка» и «множество».

В этой последовательности понятий каждое понятие, начиная со второго, является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объёмы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения:

с: «параллелограмм», d: «четырехугольник», e: «многоугольник»,

f: «геометрическая фигура», q: «точечное множество». Наглядно объемы этих понятий можно изображать и на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 7).

Рассмотрим основные способы вербальных определений понятий.

I. Определение через род и видовое отличие – самый распространенный вид явных определений.

Например, определение понятия «квадрат».

«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Видовым отличием называются свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемое понятие из объема родового понятия.

Следует иметь в виду, что понятия рода и вида относительны. Так, «прямоугольник» – это родовое к понятию «квадрат», но видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Кроме того, для одного понятия может существовать несколько родовых. Например, для квадрата родовыми являются ромб, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура. В определении через род и видовое отличие для определяемого понятия принято называть ближайшее родовое понятие.

Схематично структуру определений через род и видовое отличие можно представить следующим образом (рис. 8).

Очевидно, что определяемое понятие и определяющее понятие должны быть тождественны, т.е. их объёмы должны совпадать.

По данной схеме можно строить определения понятий не только в математике, но и в других науках.

Следующие способы определения понятий являются частными случаями определения через род и видовое отличие.

II. Генетическое или конструктивное определение, т.е. определение, в котором видовое отличие определяемого понятия указывает на его происхождение или способ образования, построения (греч. слово «denesis» – «происхождение», лат. слово «constructio» – «построение»).

1. Определение понятия «угол».

2. Определение понятия «треугольник».

«Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков».

В этом определении указано родовое понятие по отношению к треугольнику – «фигура», а затем видовое отличие, которое раскрывает способ построения фигуры, являющейся треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком.

III. Индуктивное определение или определение понятия с использованием формулы, позволяющей сформулировать общее отличительное свойство данного понятия (лат. слово «inductio» – «наведение» на рассуждение от частного к общему).

Например, определение понятия «функция прямой пропорциональности».

Рассмотренные способы определения понятий позволяют наглядно изобразить виды определения понятий на следующей схеме (рис. 9).

Определение понятий

Неявное определение Явное определение

Невербальное определение Вербальное определение

Остенсивное Контекстуальное Определение понятия «через

определение определение род и видовое отличие»

Остенсивно-контекстуальное Генетическое или Индуктивное

Источник

Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Структура определения понятия через род и видовые отличия

Остенсивные определения- это такие определения, вводят понятие путём демонстрации, показаобъектов, которые этим термином обозначаются.

Математика в отличие от других наук изучает окружающий нас мир с особой стороны. Любые математические объекты это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных св-в и отношений. Т.о. математические объекты реально не существуют. Это идеальные понятия, они существуют лишь в мышлениях человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык. Более того, при образовании математических понятий кроме абстрагирования им приписывают такие св-ва, которыми не обладает ни один реальный предмет.

Основные матем.понятия: точка, прямая, плоскость, мн-во, число, величина, арифметическое действие.

Любое матем.понятие характеризуется термином, объёмом и содержанием.

Термин – это слово или группа слов, которыми называют элементы некоторого множества. Объём понятия – это мн-во всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Различают существенные и несущественные св-ва объектов. Св-во будет существенным, если оно присуще объекту, и без него объект не может существовать. Несущественные – отсутствие которых не влияет на существенные объекты.

Содержание понятий – это мн-во всех взаимосвязанных существенных св-в этого понятия или этого объекта.

а-понятие параллелограмм; в-понятие прямоугольник; √вс√а а родовое для в; в-видовое для а; с-понятие четырёхугольник. √а с√с

Одно и то же понятие например параллелограмм может быть родовым для понятия прямоугольник или видовым для понятия четырёхугольник.

Понятия равнобедренный треуг. И прямоугольный треуг. Не находятся в родо-видовых отношениях. Существуют отношения между понятиями как части и целого.

Например, луч это часть прямой, отрезок это часть прямой, дуга это часть окружности.

Если понятия находятся в родо-видовых отношениях, то между объёмом понятия и его содержанием существует такая связь: чем больше объём, тем меньше его содержание и наоборот.

Определение понятий – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. В нём указывают те существенные св-ва, которые достаточны для его распознавания. Определения делятся на явные и неявные (косвенные). Явные определения имеют форму равенства, совпадение двух понятий.

Пример: Параллелограммом наз. четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны. а есть в; а- параллелограмм (определяемое понятие; в-четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны (определяющее понятие; а=r+v

Определяемое понятие=родовое понятие+видовое отличие

Родо-видовое: Биссектрисой угла наз. луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам/ r-родовое понятие: луч; v-видовое понятие: выходящий из вершины угла и делящий угол пополам. В начальной школе явное определение через род и видовое отличие применяют редко. Пример: Определение четного числа, прямоугольника, квадрата, умножения.

Явные определения могут иметь и другую структуру: а) генетические определения. Треугольником наз.фигура, состоящая из 3 точек, не лежащих на одной прямой, и 3 отрезков, последовательно их соединяющих.Родовое понятие и способ построения.

б)рекуррентные (рекурсия-возврат) Арифметической прогрессией наз.числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянной для данной последовательности числом d (разность).

В начальной школе преобладают неявные определения. Неявные определения бывают контекстуальные и остенсивные. Контекстуальные определения – в этих определениях содержание новых понятий раскрывается через контекст, анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Пример: 2+х=5

2. Обучающимся начальных классов предложены задания:

1) Какая фигура лишняя? Ответ объясни.

2) Какие фигуры можно назвать прямоугольниками? Почему?

• С какой целью можно предложить учащимся эти задания?

• По каким существенным свойствам учащиеся различают фигуры?

• Приведите возможные рассуждения ученика при выполнении каждого задания.

• Опишите методику знакомства учащихся с понятием “прямой угол”.

Источник

Определение математического понятия.

Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; три внутренних угла; шесть попарно равных внешних углов и это далеко не все свойства. Математику не интересует, какого цвета треугольник, из какого материала он изготовлен, не ставится задача нахождения массы этого объекта и т.д., перечисленные свойства изучаются другими науками. Более того в природе нет отдельно существующего объекта «треугольник». Если мы вырежем из листа бумаги «треугольник», то с «точки зрения» математики это треугольная призма каждая из двух параллельных граней, которой и есть треугольник. Здесь объект треугольник является частью другого объекта, название которого треугольная призма, но эти объекты не могут существовать друг без друга.

Предложения в которых, что-то утверждается в данный момент являются либо истинными либо ложными, к стати одновременно истинными и ложными они быть не могут. Подобные предложения называются суждениями. Утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства также называются суждениями.

Вот примеры суждений:

Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например:

А вот вопросы, восторги, восхваления, восклицания или требования не являются, суждениями.

Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения.

Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.

Чтобы иметь представление о каком либо объекте, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что мы имеем понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте. Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием).

Так, когда говорят о математическом объекте — треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.

Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.

Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.

Например, определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: Сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм — это четырехугольник; 2) противоположные стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: «Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:

В данном случае мы имеем: название определяемого понятия — четные числа, родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2.

Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.

Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника — фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис — происхождение).

Вот еще пример генетического определения: «Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’, построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ’, равный ОХ». Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F’, симметричной фигуре F относительно точки О.

Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:

Такое определение называется индуктивным (от слова индукция — наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).

Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.

Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества, (совокупность) и некоторые другие.

Овладевая каким либо понятием, необязательно математическим, нужно понимать, что этот процесс сложен и длителен, состоит из нескольких этапов. На начальном этапе нужно произвести анализ свойств изучаемого объекта или его модели, выделить существенные войства и объеденить их в одно множество. Далее происходит длительный процесс запоминания этого множества и привязки его именно к этому объекту. На последнем этапе следует ннаучиться умению строить определение понятий каким-либо способом.

Источник