Что называется операцией декартово произведение
4. Операция декартова произведения.
4. Операция декартова произведения.
Как мы помним из предыдущих лекций, декартово произведение двух отношений-операндов составляется как набор всех возможных пар именованных значений кортежей на атрибутах. Поэтому на языке структурированных запросов операция декартова произведения реализовывается при помощи перекрестного соединения, обозначаемого ключевым словом cross join, что буквально и переводится «перекрестное объединение» или «перекрестное соединение».
Оператор Select в конструкции, представляющей операцию декартова произведения на языке структурированных запросов, присутствует только один и имеет следующий вид:
Select *
From R 1 cross join R 2
Здесь R 1 и R 2 – имена исходных отношений-операндов. Опция cross join обеспечивает, что в результирующее отношение запишутся все атрибуты (все, потому что в первой строчке оператора поставлен значок «*»), соответствующие всем парам кортежей отношений R 1 и R 2.
Очень важно помнить одну особенность воплощения в жизнь операции декартова произведения. Эта особенность является следствием определения бинарной операции декартова произведения. Напомним его:
Как видно из приведенного определения, пары кортежей образуются при обязательно непересекающихся схемах отношений. Поэтому и при работе на языке структурированных запросов SQL непременно оговаривается, что исходные отношения-операнды не должны иметь совпадающих имен атрибутов. Но если эти отношения все же имеют одинаковые имена, сложившуюся ситуацию можно легко разрешить с помощью операции переименования атрибутов, т. е. в подобных случаях необходимо просто использовать опцию as, о которой упоминалось ранее.
Рассмотрим пример, в котором нужно найти декартово произведение двух отношений, имеющих некоторые имена своих атрибутов совпадающими. Итак, пусть даны следующие отношения:
Мы видим, что атрибуты R 1.B и R 2.B имеют одинаковые имена. С учетом этого оператор Select, реализующий на языке структурированных запросов эту операцию декартова произведения, будет выглядеть следующим образом:
Select А, R 1.B as B1, R 2.B as B2, C
From R 1 cross join R 2;
Таким образом, с использованием опции переименования as, у машины не возникнет «вопросов», по поводу совпадающих имен двух исходных отношений-операндов.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Продолжение на ЛитРес
Читайте также
Операция
Операция В третьей сверху секции прямоугольника записываются операции или методы класса. Операция (operation) представляет собой некоторый сервис, предоставляющий каждый экземпляр класса по определенному требованию. Совокупность операций характеризует функциональный
R.16.3.1 Операция #
R.16.3.1 Операция # Если непосредственно перед параметром в строке замены идет лексема #, то при подстановке параметр и операция # будут заменены на строку литералов, содержащую имя соответствующего параметра макровызова. В символьной константе или строке литералов,
R.16.3.2 Операция ##
R.16.3.2 Операция ## Если в строке замены между двумя лексемами, одна из которых представляет параметр макроопределения, появляется операция ##, то сама операция ## и окружающие ее обобщенные пробелы удаляются. Таким образом, результат операции ## состоит в конкатенации.Пусть
11.10. Вычисление скалярного произведения
11.10. Вычисление скалярного произведения ПроблемаИмеется два контейнера, содержащих числа, причем они имеют одинаковую длину, и требуется вычислить их скалярное произведение.РешениеПример 11.19 показывает, как можно вычислить скалярное произведение, используя функцию
2. Операции декартового произведения и естественного соединения
2. Операции декартового произведения и естественного соединения Операция декартового произведения и операция естественного соединения являются бинарными операциями типа произведения и основываются на операции объединения двух отношений, которую мы рассматривали
1. Операция выборки.
1. Операция выборки. Операция выборки на языке SQL реализуется оператором Select следующего вида: Select все атрибуты From имя отношения Where условие выборки; Здесь вместо того, чтобы писать «все атрибуты», можно использовать значок «*». В теории языка структурированных запросов
2. Операция проекции.
2. Операция проекции. Операция проекции на языке структурированных запросов реализуется даже проще, чем операция выборки. Напомним, что при применении операции проекции выбираются не строки (как при применении операции выборки), а столбцы. Поэтому достаточно перечислить
3. Операция переименования.
3. Операция переименования. Операция переименования атрибутов на языке структурированных запросов осуществляется довольно просто. А именно воплощается в действительность следующим алгоритмом:1) в списке имен атрибутов фразы Select перечисляются те атрибуты, которые
1. Операция объединения.
1. Операция объединения. Для того чтобы реализовать операцию объединения двух отношений приходится использовать одновременно два оператора Select, каждый из которых соответствует какому-то одному из исходных отношений-операндов. И к этим двум базовым операторам Select
2. Операция пересечения.
2. Операция пересечения. Операция пересечения и операция разности двух отношений на языке структурированных запросов реализуются похожим образом (мы рассматриваем наиболее простой способ представления, так как, чем проще метод, тем он экономичнее, актуальнее и,
3. Операция разности.
3. Операция разности. Как уже было сказано ранее, унарная операция разности двух отношений реализуется аналогично операции пересечения. Здесь также, кроме главного запроса с оператором Select, используется второй, вспомогательный запрос – так называемый подзапрос.Но в
7.12 Операция Логическое ИЛИ
Операция @
Операция @ Операция @ применяется к переменной и возвращает ее адрес. Тип результата представляет собой типизированный указатель на тип переменной. Например: var r: real; pr: ^real := @r;
Операция new
Операция new Операция new имеет вид: new ИмяКласса(ПараметрыКонструктора) Она вызывает конструктор класса ИмяКласса и возвращает созданный объект.Например: type My = class constructor Create(i: integer); begin end; end; var m: My := new My(5); Эквивалентным способом создания объекта является вызов
Свойства операции нахождения декартова произведения
1) Так как декартовы произведения А´B и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.
2) Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.
3) Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
(AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).
Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = <3; 4; 5>, В = <5; 7>, С = <7; 8>.
Решение. Найдем объединение множеств А и В: AÈB = <3; 4; 5;7>. Далее перечислим элементы множества (AÈB) ´ С, используя определение декартова произведения: (AÈB) ´ С = <(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)>.
Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:
Найдем объединение полученных декартовых произведений:
Видим, что множества (AÈB) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (AÈB) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).
Выясним теперь, как можнонаглядно представить декартово произведение множеств.
· Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы.
Декартово произведение множеств А = <1; 2; 3>и В = <3; 5>можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2
 | |
| (1,3) | (1,5) |
| (2,3) | (2,3) |
| (3,3) | (3,3) |
· Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.
Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.
Пример. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение A ´ В, если: а) А = <1; 2; 3>и В = [3; 5]; б) А = [1; 3], В = [3; 5]; в) А = R, В = [3; 5]; г) А = R, В = R.
Решение. а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение A ´ В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3; 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.
б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.
у
в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества A ´ В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.
y
г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.
Декартово (прямое) произведение множеств
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ, ОТНОШЕНИЯ
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ – изучение свойств декартова произведения множеств, и связанных с ним соответствий, функций и отношений.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Помимо рассмотренных в первой лекции традиционных операций над множествами существуют и другие действия с множествами, которые позволяют решать много задач, имеющих практическое применение. В частности, к таким действиям относится декартово (прямое) произведение множеств. Свое название декартово произведение получило оттого, что предложенное Декартом координатное представление точек плоскости, являлось исторически первым примером прямого произведения.
Декартово (прямое) произведение множеств
Декартово (прямое) произведение множеств Х и 
– это множество, обозначаемое 
, элементами которого являются упорядоченные пары 
, первая компонента которых принадлежит множеству Х, а вторая множеству .
.
Согласно определению элементами прямого произведения множеств являются упорядоченные пары, составленные из элементов исходных множеств. В этих парах первый элемент (компонента) всегда принадлежит первому множеству, а второй элемент (компонента) второму. Порядок множеств определяется исходной записью и, если 
, то 
, так как в упорядоченной паре 
компонента 
имеет номер 1, а компонента 
– номер 2, но в упорядоченной паре 
: – номер 1, а – номер 2.
Множество содержит mn элементов, где m и n – количество элементов Хи соответственно.
Геометрическое представление этого множества приведено на рис. 2.1, а.
Пример 2.2. Пусть A и B – отрезки вещественной оси. Прямое произведение изобразится заштрихованным прямоугольником, показанным на рис. 2.1, б.
Пример 2.3. Найти декартово произведение множеств 
и 
.
Решение. A × B 
.
Порядок перечисления элементов безразличен, важен только порядок элементов в паре (упорядоченная пара).
B × A 
.
Из приведенных примеров видно, что свойства прямого произведения отличаются от свойств обычного произведения в арифметическом смысле. В частности, прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей, то есть 
, следовательно, декартово произведение не коммутативно. При этом он не только не коммутативно, но и не ассоциативно, но дистрибутивно относительно объединения, пересечения и симметрической разности множеств
;
;
.
Прямое произведение множеств – операция многоместная
.
В результате получаются множества, состоящие из упорядоченной последовательности вида
, где 
; 
;…; 
.
Такие последовательности называются кортежами или векторами.
Кортеж длины 
– конечная последовательность элементов 
, в которой каждый элемент занимает определенное место в соответствии с записью исходных множеств 
декартова произведения.
Сами элементы при этом называются компонентами (координатами) кортежа, которые нумеруются слева направо (первая компонента, вторая компонента и т.д.).
Примеры кортежей: множество людей, стоящих в очереди, числа, выражающие координаты точки на плоскости и т.п. Во всех этих множествах место каждого элемента является вполне определенным и не может быть произвольно изменено.
Основные отличия понятий кортежа (вектора) и множества заключаются в следующем:
1) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;
2) в множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.
Таким образом, в отличии от обычного множества в кортеже (векторе) могут быть одинаковые компоненты: два одинаковых слова в фразе, одинаковые численные значения координат точки на плоскости и т.п.
Таким образом, декартово произведение позволяет получать вектора любых размерностей. Эта операция отличается от операций объединения и пересечения тем, что в результате перемножения прямым способом получаются объекты, содержащие элементы, отличающиеся по своей природе от элементов исходных множеств.
Если перемножить n раз одно и то же множество, то получится множество 
, называемое степенью множества
.
Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.
Декартово произведение
Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.
Содержание
Прямое произведение в теории множеств
Произведение двух множеств
| в | в | в | в | в | в | в | в |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| и | и | и | и | и | и | и | и |
| к | к | к | к | к | к | к | к |
| Произведение множества <в, и, к> на множество цветов радуги | |||||||
Отображения произведения множеств в его множители ( 
и 
) называют координатными функциями.
Аналогично строятся произведения нескольких множеств.
Декартова степень
Прямое произведение семейства множеств
Прямое произведение отображений
Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.
Воздействие на математические структуры
Прямое произведение групп
Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.
Прямое произведение других алгебраических структур
Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения 1i (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.
Прямое произведение топологических пространств
Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество I имеющим дискретную топологию).
Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).
Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова (а иные пространства и не рассматриваются).
Прямое произведение графов
Множество вершин прямого произведения двух графов G и H задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:
Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.