Что называется наименьшим общим кратным нескольких чисел
Наименьшее общее кратное
Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.
Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
24 = 2 · 2 · 2 · 3
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства
Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.
Общие кратные – определение, примеры
В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.
Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.
Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.
0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.
Для всех ли чисел можно найти НОК?
Общее кратное можно найти для любых целых чисел.
Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?
Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.
Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры
Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.
Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.
Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.
Связь между НОК и НОД
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.
Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.
Теорема имеет два важных следствия:
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.
Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:
Наименьшее общее кратное НОК.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).
НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.
Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.
— Коммутативность: 
— Ассоциативность: 
— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):
— В частности, если 
и 
— взаимно-простые числа, то: 
— 
при 
— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).
— Асимптотики для 
могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.
Так, функция Чебышёва 
. А также:
— 
.
Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).
— 
, что следует из закона распределения простых чисел.
Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).
НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:
1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
где p1. pk — различные простые числа, а d1. dk и e1. ek — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).
Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:
Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:
Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
— разложить числа на простые множители;
— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.
Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.
Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.
Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.
Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
2) записать степени всех простых множителей:
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:
Как найти наименьшее общее кратное, НОК для двух и более чисел
Школьникам задают немало заданий по математике. Среди них очень часто встречаются задачи с такой формулировкой: имеются два значения. Как найти наименьшее общее кратное для заданных чисел? Необходимо уметь выполнять такие задания, поскольку полученные навыки применяют для работы с дробями при разных знаменателях. В статье разберем, как найти НОК и основные понятия.
Основные понятия
Прежде чем найти ответ на вопрос как находить НОК, нужно определиться с термином кратное. Чаще всего формулировка этого понятия звучит следующим образом: кратным некоторому значению А называют такое натуральное число, которое без остатка будет делиться на А. Так, для 4 кратными будут 8, 12, 16, 20 и так далее, до необходимого предела.
При этом количество делителей для конкретного значения может быть ограниченным, а кратных бесконечно много. Также есть такая же величина для натуральных значений. Это такой показатель, которое делится на них без остатка. Разобравшись с понятием самого меньшего значения для определенных показателей, перейдем к тому, как его находить.
Находим НОК
Наименьшее кратное двух или больше показателей является наименьшим натуральным числом, которое целиком делится на все указанные числа.
Существует несколько способов найти такое значение, рассмотрим следующие способы:
Теперь мы знаем, какова общая методика нахождения самого небольшого значения для двух, трех и более значений. Однако есть и частные методы, помогающие искать НОК, если предыдущие не помогают.
Как находить НОД и НОК.
Частные способы нахождения
Как и для любого математического раздела, имеются частные случаи нахождения НОК, которые помогают в специфических ситуациях:
Частные случаи встречаются реже, нежели стандартные примеры. Но благодаря им можно научиться работать с дробями различной степени сложности. Особенно это актуально для дробей, где имеются неодинаковые знаменатели.
Немного примеров
Разберем несколько примеров, благодаря которым можно понять принцип нахождения наименьшего кратного:
Благодаря примерам можно понять, как находится НОК, какие есть нюансы и в чем заключается смысл таких манипуляций.
Находит НОК гораздо проще, чем может показаться изначально. Для этого применяется как простое разложение, так и умножение простых значений друг на друга. Умение работать с данным разделом математики помогает при дальнейшем изучении математических тем, в особенности дробей разной степени сложности.
Не забывайте периодически решать примеры различными методами, это развивает логический аппарат и позволяет запомнить многочисленные термины. Изучайте методы нахождения такого показателя и вы сможете хорошо работать с остальными математическими разделами. Удачного изучения математики!
Видео
Это видео поможет вам понять и запомнить, как находить наименьшее общее кратное.
Наименьшее общее кратное НОК.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
— число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
— число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).
НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.
Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.
— Коммутативность:
— Ассоциативность:
— Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):
— В частности, если и — взаимно-простые числа, то:
— при
— Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).
— Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.
Так, функция Чебышёва . А также:
— .
Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).
— , что следует из закона распределения простых чисел.
Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).
НОК(a, b) можно вычислить несколькими способами:
1. Если известен наибольший общий делитель, можно использовать его связь с НОК:
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
где p1. pk — различные простые числа, а d1. dk и e1. ek — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).
Тогда НОК (a,b) вычисляется по формуле:
Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b, причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:
Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
— разложить числа на простые множители;
— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.
Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.
Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300. ), которому кратны все заданные числа.
Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.
Правило. Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
2) записать степени всех простых множителей:
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их: