Что называется моментом импульса материальной точки

Электронная библиотека

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки ( ) называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

Модуль вектора момента импульса равен:

где – угол между векторами и ; – плечо вектора относительно точки O.

Моментом импульса относительно неподвижной оси (z) называется скалярная величина ( ), равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки (О) данной оси. Момент импульса ( ) не зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцировав уравнение (4.1) по времени получим:

Это выражение есть еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Физический смысл этого выражения: скорость изменения момента импульса равна моменту сил.

В векторной форме это можно записать так:

Выражение (4.2) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, то есть с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение:

Источник

Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Изменение импульса.

Моме?нт и?мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

отсюда или .

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

— если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

— если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z = 0, то dL_z / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы.

Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , Получаем

(1.8)

Где вектор называется Моментом импульса материальной точки, а вектор — Моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил.

В результате получим:

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

(1.17)

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается Закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

(1.18)

Где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется

.

Источник

Закон сохранения момента импульса: формула, применение и особенности

При решении задач на движение тел в пространстве часто используют формулы сохранения кинетической энергии и импульса. Оказывается, что аналогичные выражения существуют и для вращающихся тел. В данной статье подробно рассматривается закон сохранения момента импульса (формулы соответствующие также приводятся) и дается пример решения задачи.

Процесс вращения и момент импульса

Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.

Вам будет интересно: Нарративный анализ: понятие и применение

На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:

Вам будет интересно: Сульфат стронция: нахождение в природе, растворимость, применение

Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:

L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).

На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:

Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м2/с.

Направление вектора момента импульса

Поскольку рассматриваемая величина является вектором (результат векторного произведения), то она будет иметь определенное направление. Из свойств произведения двух векторов следует, что их результат даст третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя. При этом направлен он будет таким образом, что если смотреть с его конца, то тело будет вращаться против часовой стрелки.

Результат применения этого правила показан на рисунке в предыдущем пункте. Из него видно, что L¯ направлен вверх, поскольку, если смотреть на тело сверху, его движение будет происходить против хода стрелки часов. При решении задач важно учитывать направление во время перехода к скалярной форме записи. Так, рассмотренный момент импульса считается положительным. Если бы тело вращалось по часовой стрелке, тогда в скалярной формуле перед L следовало бы поставить знак минуса (-L).

Аналогия с линейным импульсом

Вам будет интересно: Самые старые горы в мире: где находятся, фото, названия

В итоге формула для момента импульса преобразуется в следующую форму записи:

L¯ = I *ω¯, где ω¯= v¯/r и I=m*r2.

Выражение демонстрирует, что направление момента импульса L¯ и угловой скорости ω¯ совпадают для системы, состоящей из вращающейся материальной точки. Особый интерес представляет величина I. Ниже она рассмотрена подробнее.

Момент инерции тела

Введенная величина I характеризует «сопротивляемость» тела любому изменению скорости его вращения. То есть она играет точно такую же роль, что и инерция тела при линейном перемещении объекта. По сути I для кругового движения с физической точки зрения означает то же самое, что и масса при линейном движении.

Как было показано, для материальной точки с массой m, вращающейся вокруг оси на расстоянии от нее r, момент инерции рассчитать просто (I = m*r2), однако для любых других тел этот расчет будет несколько сложным, поскольку предполагает использование интеграла.

Для тела произвольной формы I можно определить при помощи следующего выражения:

Вам будет интересно: Архаический период Древней Греции (IX–VIII вв. до н.э.)

Выражения выше означают, что для вычисления момента инерции следует разбить все тело на бесконечно малые объемы dV, умножить их на квадрат расстояния до оси вращения и на плотность и просуммировать.

Для тел разной формы эта задача решена. Ниже приводятся данные для некоторых из них.

Материальная точка: I = m*r2.

Диск или цилиндр: I = 1/2*m*r2.

Стержень длиной l, закрепленный по центру: I = 1/12*m*l2.

Момент инерции зависит от распределенной массы тела относительно оси вращения: чем дальше от оси будет находиться большая часть массы, тем больше будет I для системы.

Изменение момента импульса во времени

Рассматривая момент импульса и закон сохранения момента импульса в физике, можно решить простую проблему: определить, как и за счет чего он будет изменяться во времени. Для этого следует взять производную по dt:

dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.

Первое слагаемое здесь равно нулю, поскольку dr¯/dt = v¯ и произведение векторов v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Второе же слагаемое может быть переписано следующим образом:

dL¯/dt =r*m*a¯, где ускорение a = dv¯/dt, откуда:

Величина M¯, согласно определению, называется моментом силы. Она характеризует действие силы F¯ на материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от оси вращения.

Какие моменты сил могут изменить L¯ системы?

Существует два вида моментов сил M¯: внешние и внутренние. Первые связаны с силовым воздействием на элементы системы со стороны любых внешних сил, вторые же возникают за счет взаимодействия частей системы.

Согласно третьему закону Ньютона, любой силе действия соответствует направленная противоположно сила противодействия. Это означает, что суммарный момент силы любых взаимодействий внутри системы всегда равен нулю, то есть он не может повлиять на изменения момента импульса.

Величина L¯ может измениться только за счет внешних моментов сил.

Формула закона сохранения момента импульса

Формула для записи выражения сохранения величины L¯ в случае, если сумма внешних моментов сил равна нулю, имеет следующий вид:

Любые изменения момента инерции системы пропорционально отражаются на изменении угловой скорости таким образом, что произведение I*ω не меняет своего значения.

Применение закона сохранения момента импульса находит себя в целом ряде процессов и явлений, которые кратко охарактеризованы ниже.

Примеры использования закона сохранения величины L¯

Следующие примеры закона сохранения момента импульса имеют важное значение для соответствующих сфер деятельности.

Решение задачи на закон сохранения L¯

Учеными установлено, что через несколько миллиардов лет Солнце, исчерпав энергетические запасы, превратится в «белого карлика». Необходимо рассчитать, с какой скоростью оно будет вращаться вокруг оси.

Для начала необходимо выписать значения необходимых величин, которые можно взять из литературы. Итак, сейчас данная звезда имеет радиус 696 000 км и один оборот вокруг своей оси делает за 25,4 земных суток (значение для области экватора). Когда она подойдет к концу своего эволюционного пути, то сожмется до размеров 7000 км (порядка радиуса Земли).

L = I*ω = 2/5*m*r12*ω1 = 2/5*m*r22*ω2.

ω2 = (r1/r2)2*ω1 = (696000000/7000000)2*2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.

То есть в конце своего жизненного цикла данная звезда будет делать один оборот вокруг своей оси быстрее, чем за 222 секунды.

Источник

Лекция №5. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.

Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.

Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс

Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.

4.2. Момент импульса. Момент силы.

Момент силы. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенному из полюса в точку приложения силы, на силу F называется моментом силы материальнойточки относительно некоторого центра

Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.

Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:

Момент импульса. Векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора r точки, проведенного из центра на ее импульс m υ называется моментом импульса материальной точки относительно некоторого центра

Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.

Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.

Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.

Запишем уравнения движения частиц:

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствующий радиус-вектор и получим

Преобразуем данные уравнения

Сложим эти уравнения и получим

В последнем уравнении:

Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде

4.4. Закон сохранения момента импульса.

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую систему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изменяется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент импульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механической системы можно применить и к вращательному движению твердого тела.

4.5. Момент инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно данной оси называется физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) следует заменить на интегрирование:

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.

4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности

Существуют два свойства момента инерции:

1) Теорема Штейнера: момент инерции тела I_z относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

2) Правило аддитивности: сумма моментов инерции частей системы относительно оси равен моменту инерции системы относительно данной оси:

Источник