Что называется момент инерции
Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Что такое момент инерции? В чем измеряется момент инерции? Пример задачи
Механика представляет собой один из основных разделов физики, в котором рассматриваются законы движения и равновесия тел. При количественном описании движения вращения важной величиной является момент инерции. В данной статье изучим эту величину. Кроме того, ответим на вопрос о том, в чем измеряется момент инерции твердого тела.
Понятие о моменте инерции для точки материальной
Как физическую величину, его определяют в виде произведения массы на квадрат радиуса вращения. Предположим, что существует некоторая материальная точка, которая имеет массу m. Она вращается вокруг оси, при этом радиус окружности равен r. При заданных условиях инерции, момент вычисляется в соответствии со следующей формулой:
Вам будет интересно: Посад — это что такое? Значение слова
Этой формулой можно пользоваться даже в случаях изучения тел со сложной формой. Главным условием справедливости равенства является наличие огромной разницы между расстоянием до оси вращения r и геометрическими размерами самого тела. Например, при расчете величины I для нашей планеты, которая вращается вокруг Солнца по круговой траектории, можно считать Землю материальной точкой, поскольку расстояние до звезды на несколько порядков превышает радиус планеты.
Величина I для тела произвольной формы
В случае, если геометрические размеры вращающегося тела незначительно отличаются от радиуса r, тогда следует принимать во внимание форму тела. С учетом названного фактора рассчитывают момент инерции с использованием следующей формулы:
По сути, это равенство является суммой моментов инерций всех материальных точек, которые образуют тело. При проведении практических вычислений, записанной формулой пользуются в несколько ином виде, который представлен ниже:
Как видно, интегрирование по массе m заменяется на интегрирование по объему V. Здесь греческой буквой ρ обозначена плотность. Если тело является однородным, то ρ будет постоянной величиной, которую можно вынести за знак интеграла. Если же масса неоднородно распределена по телу, то плотность будет функцией параметра r. Записанную формулу удобно использовать при определении I разных тел, потому что расчет выполняется с помощью мысленного деления тела на элементарные объемы dV.
Результаты применения записанного выше равенства для геометрических тел идеальной формы, например, для сферы, цилиндра или стержня, собраны в соответствующие таблицы. В чем измеряется момент инерции? Ниже на рисунке приводятся величины I для некоторых тел. Как видим, все формулы линейно зависят от массы тел и от квадрата геометрического параметра.
В чем измеряется момент инерции тела?
Получив необходимые теоретические сведения для величины I, каждый легко сможет ответить на поставленный вопрос. Действительно, если взглянуть на формулу для I материальной точки, то, отвечая на вопрос о том, в чем измеряется момент осевой инерции, следует ответить, что в килограммах на квадратный метр. Сокращенно эта единица записывается кг*м2. Очевидно, что ту же самую единицу мы получим, если воспользуемся интегральным выражением через объем и плотность.
Отметим, что кг*м2 также можно записать, как м2*кг. Такая форма записи тоже допускается, однако, в практической физике ее не используют.
Поскольку и килограмм, и метр являются системными единицами измерения массы и длины, соответственно, то кг*м2 является также единицей СИ для момента инерции.
Не следует изучаемую единицу путать с другой, которая обозначается, как кг/м2. Хотя ее используют редко, и она не является единицей СИ, тем не менее она позволяет рассчитать соответствующее давление, если ее умножить на ускорение свободного падения.
Пример задачи
Разобравшись, в чем измеряется момент инерции, и как его вычислять, решим следующую задачу: необходимо определить момент инерции Земли, полагая ее материальной точкой.
Для успешного решения этой задачи следует знать всего два параметра: массу планеты и средний радиус ее солнечной орбиты. Оба значения можно посмотреть в соответствующих справочниках. Масса M и радиус орбиты R Земли равны:
Воспользовавшись выражением для вычисления инерции момента точки материальной, приходим к следующему результату:
I = M*R2 = 5,972*1024*(149,6*109)2 = 1,34*1047 кг*м2.
Мы получили гигантское значение. Если сравнить его с моментом инерции Земли относительно ее собственной оси, то окажется, что он будет в миллиард раз меньше рассчитанной величины. Таким образом, приближение материальной точки вполне уместно для рассмотренной задачи.
Момент инерции в физике
Содержание:
Что такое инерция?
Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.
Определение момента инерции
Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.
В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.
Формула
Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:
J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.
Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:
Теорема Гюйгенса – Штейнера
Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.
Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:
Где d – расстояние между осями
Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.
Моменты инерции простейших объектов
Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.
Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.
Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.
Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.
Рекомендованная литература и полезные ссылки
Видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.
Момент инерции
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.
Содержание
Осевой момент инерции
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
,
где 
— полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции Ja |
|---|---|---|---|
 | Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная |  |
 | Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 | Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра |  |
 | Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 | Ось цилиндра |  |
 | Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |  |
 | Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |  |
 | Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс |  |
 | Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец |  |
 | Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы |  |
 | Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара |  |
 | Конус радиуса r и массы m | Ось конуса |  |
| Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину |  | |
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс |  | |
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |  |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (
0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. [3] [4]
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида
где 
— расстояние от центральной оси 
до любой элементарной площадки 
относительно нейтральной оси.
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.
| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
Прямоугольника высотой  и шириной  : | 
|
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам  и  , а по внутренним и соответственно | 
|
Круга диаметром  |  |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции 
(или момент инерции относительно точки O) — это величина
,
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: 
.
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором 
, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:
(1),
где 
— тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры 
и состоит из компонент центробежных моментов:
, 
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где 
— ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины 
— главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
,
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на 
и произведя замены:
,
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах 
:
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Момент инерции» в других словарях:
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая… … Физическая энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, механическая величина, играющая при вращательном движении ту же роль, что масса при движении поступательном. Например ускорение при поступательном движении обратно пропорционально массе, ускорение вращательного движения (угловое… … Большая медицинская энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… … Современная энциклопедия
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… … Большой Энциклопедический словарь
Момент инерции — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — (обозначение I), для вращающегося тела сумма произведений, полученных путем умножения масс точек вращающегося тела на квадраты их расстояний от оси вращения. Нахождение этого распределения массы важно при определении силы, необходимой, чтобы… … Научно-технический энциклопедический словарь
Момент инерции — – величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. [Полякова, Т.Ю. Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский терминологический… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
момент инерции — 3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси. Источник: ГОСТ Р 52776 2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Момент инерции — (Moment d inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
момент инерции — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… … Энциклопедический словарь