Что называется модулем комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: .
Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r.

Пусть и — вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда

Полезное

Смотреть что такое «Модуль комплексного числа» в других словарях:

модуль комплексного числа — kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. modulus of complex number vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. модуль комплексного числа, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

МОДУЛЬ — (modulus) Величина числа с точки зрения его расстояния от 0. Модуль, или абсолютное значение реального числа х (обозначается |х|), является разностью между х и 0 независимо от знака. Следовательно, если х>0, то |х|=х и если х <0, то |х|=–х … Экономический словарь

МОДУЛЬ — комплексного числа см. Абсолютная величина. Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Большой Энциклопедический словарь

Модуль числа — Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия

Модуль (в математике) — Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… … Большая советская энциклопедия

МОДУЛЬ — (в математике) мера для сравнения однородных величин и для выражения одной из них помощью другой; м. выражается числом. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907. МОДУЛЬ (лат.). 1) число, которым множатся… … Словарь иностранных слов русского языка

МОДУЛЬ (в математике) — МОДУЛЬ комплексного числа, см. Абсолютная величина (см. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА). Модуль перехода от системы логарифмов при основании a к системе при основании b есть число 1/logab … Энциклопедический словарь

Модуль — I Модуль (от лат. modulus мера) в архитектуре, условная единица, принимаемая для координации размеров частей здания или комплекса. В архитектуре разных народов в зависимости от особенностей строительной техники и композиции зданий за М.… … Большая советская энциклопедия

модуль — я; м. [от лат. modulus мера] 1. чего. Спец. Величина, характеризующая какое л. свойство твёрдого тела. М. сжатия. М. упругости. 2. Матем. Действительное число, абсолютная величина отрицательного или положительного числа. М. комплексного числа. М … Энциклопедический словарь

Источник

Модуль комплексного числа

Что такое комплексное число

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

В этом виде \(\left|z\right|\) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если \(\left|z\right|\;=\;r,\) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол \(\varphi\) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу \(z\;:\;\varphi\;=\;arg\;z\) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — \(360^\circ\;\cdot\;k\) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Как вывести формулу модуля

Примеры решения задач

Задача

Найти модуль числа \(z\;=\;-5\;+\;15i\)

Решение

\(x\;=\;Re\;z\;=\;-15\) — действительная часть, а \(y\;=\;Im\;z\;=\;15\) — мнимая часть комплексного числа \(z\;=\;-5\;+\;15i.\)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

Задача

Найти расстояние между числами \(z_1\;=\;1\;-\;3i,\;z_2\;=\;-2\;+\;2i\) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа \(\sqrt<34>\) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль.

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

Задача

Решение

Источник

Модуль и аргумент комплексного числа

Пример №1 Найти модуль и аргумент числа и представить число в тригонометрической и показательной формах.

, поэтому прибавляем и берем , то есть то что нужно.

Кроме алгебраической формы записи комплексного числа имеются тригонометрическая и показательная формы записи. Модуль и аргумент числа нужны для остальных двух форм записи комплексных чисел. В тригонометрической форме записи число выглядит так:

а в показательной форме:

При переходе от показательной форме к тригонометрической используется формула Эйлера:

Зачем нужны три формы записи? Дело в том, что некоторые действия удобно производить с конкретно одной формой. Например, сложение удобно проводить с числами в алгебраической форме и неудобно с числами в двух других формах. Умножение и деление очень хорошо получается с числами в показательной и тригонометрической формах. Но одно важно: чтобы произвести арифметическое действие с комплексными числами нужно перевести их в одну форму. Приведем несколько примеров.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримерыГлавное
значение
аргументаАргументПримеры

x zТретий
квадрантЗнаки x и y

x zОтрицательная
мнимая
полуосьЗнаки x и y

y zЧетвёртый
квадрантЗнаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник