Что называется множеством истинности

Предикаты и кванторы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие предиката

Предикатом в программировании является функция, которая принимает один или более аргументов и возвращает значения булева типа.

Предикат называется тождественно-истинным, если на любом наборе аргументов он принимает истинное значение:

Предикат называется тождественно-ложным, если на любом наборе аргументов он принимает ложное значение:

Предикат называется выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает истинное значение.

Примеры предикатов

Таким образом, предикатом является все то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Готовые работы на аналогичную тему

Операции над предикатами

Рассмотрим применение операций алгебры логики к предикатам.

Логические операции:

Над предикатами помимо логических операций можно выполнять квантовые операции: применение квантора всеобщности, квантора существования и т.д.

Кванторы

Чаще всего используют кванторы:

В математической логике существует понятие связывание или квантификация, которые обозначают приписывание квантора к формуле.

Примеры применения кванторов

С помощью квантора всеобщности можно записать следующие ложные высказывания:

который будет иметь вид:

Для записи истинных высказываний используем квантор существования:

Запись будет иметь вид:

Таким образом, предикат можно превратить в высказывание, если поставить перед предикатом квантор.

Операции над кванторами

Для построения отрицания высказываний, которые содержат кванторы, применяется правило отрицания кванторов:

Рассмотрим предложения и выделим среди них предикаты, указав область истинности каждого из них:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата написания статьи: 07 04 2016

Источник

Вопрос30. Предикат. Множество истинности предиката. Кванторы общности существования. Виды формулировок теорем (прямая и обратная теоремы, теорема о необходимых и достаточных условиях).

Предика́т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.Выражения: х > 5, x > y – предикаты.Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений <0,1>(или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.Предикат — один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. дКва́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего поминают:Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Примеры

Обозначим P(x) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

любое натуральное число кратно 5;

каждое натуральное число кратно 5;

все натуральные числа кратны 5;

следующим образом: .

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

существуют натуральные числа, кратные 5;

найдётся натуральное число, кратное 5;

хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись: .Введение в понятие

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющееся нечётным» (например, х=3).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

Высказывание означает, что область значений переменной x включена в область истинности предиката P(x).

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Вопрос31 Граф и его элементы. Основные понятия. Инцидентность, кратность, петля, смежность. Типы графов. Маршрут в графе и его длина. Классификация маршрутов. Матрицы смежности ориентированного и неориентированного графов.

Граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин v_i , для которой все пары (v_i,v_{i + 1}) являются (ориентированными) рёбрами.Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины u и v являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u,v,u) является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.

Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.

Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Петля — элементарный цикл.Граф или неориентированный граф G — это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены следующие условия:

V это непустое множество вершин или узлов,E это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

V (а значит и E, иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | — порядком, число рёбер | E | — размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = <u,v>. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = <v,v>.Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.Ориентированный граф (сокращённо орграф) G — это упорядоченная пара G: = (V,A), для которой выполнены следующие условия:V это непустое множество вершин или узлов,A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины v к вершине w.Смешанный графСмешанный граф G — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G: = (V,E,A), где V, E и A определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы(?)Граф G называется изоморфным графу H, если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот — если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f − 1 (A) в вершину f − 1 (B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.

Функция — понятие, отражающее связь между элементами множеств. Функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Способы задания функции

Аналитический способ

, .

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее

Графический

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

Основные характеристики и свойства гиперболы:

— область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;

— функция монотонная ( убывающая ) при x 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0);

— функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

— нулей функция не имеет.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

Основные характеристики и свойства показательной функции:

— область определения функции: — 0 ;

— функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 0,а область значений: — 1 и убывает при 0 m ( B ). Однако если мы имеем дело с бесконечными множествами, то пересчитать элементы множества уже не удастся. Но иногда можно, как говорят, установить взаимно однозначное соответствие между двумя бесконечными множествами.

Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.

1

Множества и счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:

Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.

Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [ a ; b ] и интервала ( a ; b ), а также отрезка [ a ; b ] и луча ( a ; +∞). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.

f−1(f(x))=f(f−1(x))=x.
Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.

ОпределениеЧисло называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Источник

Урок 22
§18. Алгебра логики

Содержание урока:

	18.4. Предикаты и их множества истинности
18.3. Логические выражения		САМОЕ ГЛАВНОЕ Вопросы и задания

18.4. Предикаты и их множества истинности

Равенства, неравенства и другие предложения, содержащие переменные, высказываниями не являются, но они становятся высказываниями при замене переменной каким-нибудь конкретным значением. Например, предложение х 2 + у 2 = 1) — множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Следует отметить, что многие задания, выполняемые вами на уроках математики, прямо связаны с предикатами. Например, стандартное задание «Решить квадратное уравнение x 2 — 3x + 2 = 0» фактически означает требование найти множество истинности предиката Р(х) = (x 2 — 3x + 2 = 0).

Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.

Пусть А и В соответственно являются множествами истинности предикатов А(х) и В(х). Тогда пересечение множеств А и В будет являться множеством истинности для предиката А(х) & В(х), а объединение множеств А и В будет множеством истинности для предиката А(х) ∨ В(х).

Пример 5. Найдём все целые числа 2, превращающие предикат

Зачастую задания такого рода формулируют несколько иначе.

Например, так: «Найдите все целые числа х, для которых истинно высказывание (50 (х + 1)2)».

Проанализируем отдельно каждый из элементарных предикатов (50 2 ) и (50 > (x + 1) 2 ), решив соответствующие неравенства:

Cкачать материалы урока

Источник

Лекция 3. Логика предикатов. Логические операции над предикатами

3.1. Понятие предиката

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Средства, предоставляемые логикой высказываний, оказываются недостаточными для анализа многих математи­ческих рассуждений. В алгебре логики не рассматриваются ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

3.2. Логика предикатов

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат(буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Логи­ка предикатов – это расширение логики высказываний за счет использова­ния предикатов в роли логических функций.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, х = 13, х = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10, х = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) называется всякая функция одного переменного, в которой аргумент x пробегает значения из некоторого мно­жества M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина или ложь.

Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения предиката.

Множество , на котором предикат принимает только истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).

Определение 2. Предикат Р(х), определённый на множестве M, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если

Определение 3. Двухместным предикатом P(x, у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М=М₁×М₂ и принимающая значения из множества <1,0>.

В качестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(x, у) – «х = у» предикат равенства, определённый на множестве R 2 =R×R; F(x, у) – «х || у» прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Говорят, что предикат Р(х) является следствием предиката Q(х) , если ; и предикаты Р(х) и Q (х) равносильны , если .

Пример 1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности:

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х).

Определение 4. Конъюнкциейдвух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)&Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Очевидно, что областью истинности предиката Р(х)&Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е. пересечение .

Так, например, для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(х): « х кратно 3» конъюнкцией Р(х)&Q(х) является предикат «х – четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».

Определение 5. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях , при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «исти­на» во всех остальных случаях. Ясно, что областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), то есть объединение .

Определение 6. Отрицаниемпредиката Р(х) назы­вается новый предикат , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях , при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях , при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина». Очевидно, что, .

Определение 7. Импликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат , который является ложным при тех и только тех значениях , при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(х) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что при выполнении логических операций над предикатами к ним применимы и равносильности алгеб­ры логики. Для детального изучения темы необходим курс «Дискретной математики».

Источник